行列式的計算方法與解析研究

徐建中

（亳州學院，安徽 亳州 236800）

1 前言

行列式的計算在高等代數學習中起著舉足輕重的作用，最常用的是利用行列式的性質和展開定理，進行計算.但是對于具體的題目需根據其具體特點采用不同的計算方法，本文主要采用7種方法歸納總結了行列式的算法.下面主要針對具有不同形式的行列式利用不同的方法進行計算加以說明.

2 計算方法及解析

2.1 化三角形法

例1 計算n階行列式Dn的值，

解 這個行列式的特點是每一列有一個元素a,其余n-1項個元素為b,根據行列式其一性質（若行列式的某一行元素乘以同一個數后加到另一行的對應元素上去，則行列式的值不變.），把第二行加到第一行，d不變，再把其余各行也加

(-1)乘第一列后分別加到其余各列，則有：

2.2 提取公因式法

2.3 利用拉普拉斯（Laplace）定理法

例3 計算2n階行列式

解 根據拉普拉斯定理，在d2n中按第1行與第2n行展開得

右端2n-2階行列式的結構完全與d2n一樣，于是

在與dn同型的2n-2階行列式d2n-2中，按第一行與第2n-2行展開，有

如此繼續下去，可得

2.4 利用范德蒙(Vandermonde)行列式法

例4 計臬n階行列式

解 從dn中第n-1行開始到第1行止，每行乘以（-an）加到下一行，得

按第n列展開有

提取各列因子后得

右端行列式結構與dn完全一樣，用dn-1表示，于是

這個式子稱為遞推關系式.對dn-1同樣的方法可得

依次類推，得

從而有

這里∏是連乘符號，上式表示滿足1≤i≤k≤n所有因子(ak-ai)的連乘積.

2.5 特征根法

例5 已知I-A的特征根之模長均小于1，

證明：0＜|detA|＜2n.

證明 首先A沒有零特征根，否則存在可逆陣P，使得

所以，1為I-A的特征根矛盾.

所以，|1-λi|＜1 即 1＞|λi|-1 即 |λi|＜2,所以，|λ1λ2…λn|＜2n即0＜|detA|＜2n.

2.6 數學歸納法

例6 用數學歸納法證明：

假設n=k時，命題成立，要證n=k+1時，等式成立.

b按最后一行展開得：

注：本題可按行列式定義展開，也可按行或者列展開，還可將第i+1行(i=1,2,…,n+1)乘以(-ai)都加到第1行，再按第1行展開.同樣可證得此式.

2.7 利用行列式乘法規則

3 總結

總之，計算行列式的方法很多，本文只歸納總結了7種方法.理解和掌握以上7種方法，遇到一些具有以上形式的行列式就能計算出它們的值，此外還會有其他形式的行列式，可以通過變相轉換的方法轉化為這幾種方法來計算.