淺談三視圖中棱錐問題

王惠惠 吳文娟

摘要：解決三視圖題目，可利用三色線相交畫法畫出立體圖形的頂點(diǎn)，從而解決立體幾何問題。

關(guān)鍵詞：三視圖 三色線 正投影

新課標(biāo)改革之后，三視圖是高考數(shù)學(xué)必考題目，2014年新課標(biāo)卷12題，是一個(gè)常見的三棱錐的立體圖形，只是放置的方向和位置不是一般情況。做為當(dāng)年高考數(shù)學(xué)選擇題壓軸題，當(dāng)年有百分之八十以上的學(xué)生寫錯(cuò)，如果使用本文講述的解法之可以提高正確率。

三視圖問題從初中數(shù)學(xué)教學(xué)到高中，再到大學(xué)與實(shí)際生活中都有研究意義。初中課本教學(xué)了基本的三視圖，正視圖側(cè)視圖與俯視圖，建立最初步的立體幾何概念。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中繼續(xù)學(xué)習(xí)了三視圖，能從正投影中了解復(fù)雜幾何體的三視圖，從三視圖中能夠抽象出一般立體幾何圖形，從而求出立體圖形的棱長，表面積與體積。在大學(xué)的學(xué)習(xí)中，三視圖對于土木工程系，機(jī)電工程系、數(shù)控技術(shù)系和汽車工程系電器自動(dòng)化，設(shè)計(jì)專業(yè)的學(xué)生，都是必學(xué)的一門重要的專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課，是為學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課鋪路的基礎(chǔ)課程。為以后機(jī)械師，工程師和設(shè)計(jì)師們能快速讀懂復(fù)雜的零件圖和裝配圖，繪制一般零件圖和簡單裝配圖墊造一定的基礎(chǔ)。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段，如何起到這個(gè)承上啟下的作用呢？本篇文章，針對棱錐來進(jìn)行具體講述，錐體一直是高考考查的重點(diǎn)，無論從小題到大題。通過多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)現(xiàn)部分立體感不好的學(xué)生，無法從三視圖中提取出相應(yīng)的立體圖形，找不出立體圖形需要的點(diǎn)線面，或都能找到部分和尋找不準(zhǔn)確，驗(yàn)證不充分。現(xiàn)發(fā)表拙見如下，以備各位同仁參考。

一、歷史常規(guī)教學(xué)方法

常規(guī)學(xué)方法為，教會(huì)學(xué)生用主俯長對正、主左高平齊、俯左寬相等。即：主視圖和俯視圖的長要相等，主視圖和左視圖的高要相等，左視圖和俯視圖的寬要相等。口訣：主俯看列，俯左看行，主左看層。此外還有切割法，棱邊滑動(dòng)法。

二、“三色線”畫法

一般一個(gè)思維靈動(dòng)性不強(qiáng)的學(xué)生，學(xué)生用上述幾種做法還是無法作出立體圖形，從而作者總結(jié)“三色線”畫法，能讓學(xué)生畫出具體的錐體的點(diǎn)，再連接棱即可。在講課過程中可利用紅、黃、藍(lán)三種顏色的粉筆來進(jìn)行示范，就以2014年全國新課標(biāo)卷一12題為例。做為選擇題的十二題壓軸題，這個(gè)立體圖形并不罕見，只是放置的形式不是常規(guī)形式，學(xué)生在抽象出立體圖形的時(shí)候有些困難。

（一）利用正方體或長方體

通觀察三視圖先選擇棱長為多少的正方體或者長方體。正投影的理解是三視圖的關(guān)鍵，正投影是垂直投影，比如說正投影是從前往后面，最終投影在后面的投影。側(cè)視圖是從左到右的投影，最終投影在右側(cè)的投影。俯視圖的投影是從上到下的正投影，最終投影在下面的投影。

（二）尋找三視圖中的投影點(diǎn)線

點(diǎn)是由棱相交得到的，所以關(guān)鍵點(diǎn)是找到點(diǎn)。首先先從正視圖看，正視圖是從前到后的正投影，形成點(diǎn)的線先找到，如圖正視圖中的投影點(diǎn)為D1，C1，C因此在棱A1D1中必有一個(gè)點(diǎn)，才能使正投影，投影到D1點(diǎn)，同理，棱B1C1上必有一個(gè)點(diǎn)，棱BC上必有一點(diǎn)，在演示過程中，可以用紅色粉筆，畫上這三個(gè)棱，此時(shí)C1C的中點(diǎn)處還有一個(gè)投影點(diǎn)，因此可先畫出C1C中點(diǎn)的投影點(diǎn)設(shè)為E，過C C1 D1D做的垂線EF，交B1B于，也先用紅線畫出。

其次，從側(cè)視圖看，側(cè)視圖是從左到右的正投影，這次按照正投影線的畫法，由于右側(cè)點(diǎn)為C1，C，F(xiàn)以這三個(gè)點(diǎn)為垂足，用黃色粉筆畫三個(gè)垂直于平面BCC1B1的垂線，最后，俯視圖為從上到下的正投影，投影點(diǎn)為D，C，B，畫出三個(gè)垂足為D，C，B垂直于平面ABCD的垂線，可以藍(lán)色線表示。當(dāng)紅黃藍(lán)三個(gè)的顏色線畫好后，

（三）尋找三色線的交點(diǎn)，

尋找三種顏色線的交點(diǎn)即為所求棱錐的頂點(diǎn)D1，C1，C，F(xiàn)，連接頂點(diǎn)即為所求錐體。通過此作法一部分棱錐題目可以輕松解決。

三、三色線畫法的不足

此做法不能只畫線就能解決所有問題，通多道題的驗(yàn)證，這種作法的局限性比較大，有時(shí)候有些點(diǎn)會(huì)多畫或少畫，有有些點(diǎn)需要驗(yàn)證進(jìn)行取舍。例如

這道題利用三色線相交會(huì)多一個(gè)點(diǎn)為C，這個(gè)點(diǎn)可以在后期的驗(yàn)證過程中舍去。如是棱柱的三視圖或者線條比較多的立體圖形就不太適合這種作法。

“三色線”畫法，是利用三視圖作出立體圖形的一個(gè)方法，針對棱錐的題目比較好來解決，尤其是三棱錐。對于一部分空間感不強(qiáng)的學(xué)生來說，能畫出具體點(diǎn)，再連接線，從而畫出立體圖形，能夠讓這一部分學(xué)生樹立三視圖能學(xué)好的信心，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。

作者簡介：

王惠惠（1983.11）；性別：女，籍貫：河南省商丘人，學(xué)歷：本科，畢業(yè)于河南大學(xué)；現(xiàn)有職稱：中教一級；研究方向：高中數(shù)學(xué)；

吳文娟 河南省民權(quán)縣高級中學(xué) 476000