四點共圓問題在幾何解題中的應用

摘 要：四點共圓問題在幾何解題中具有廣泛性和靈活性的特點，通常情況下，題目中不會明確說明需要用到四點共圓的知識。因此解答這類問題時需要學生靈活地開動腦筋，這也是這一類問題備受各種競賽和考試命題者青睞的原因。本文首先給出四點共圓的性質和判定定理，然后舉例說明了不同情況下利用四點共圓來解題的思路。

關鍵詞：四點共圓；幾何問題；解題思路

一、 四點共圓在幾何證明中的一般解法

在幾何證明題中，想要證明一個平面上四點共圓，首先是要找到需要證明的是哪四個點，然后將這四個點順次連接，得出一個四邊形，再根據這個四邊形的特點和題目中給出的條件選擇最優的解題思路；除此之外，對于一些常見的基本圖形，要能做到見圖知形，熟練地掌握這些基本圖形的性質，這樣在解題的時候才能做到游刃有余、得心應手。

二、 兩種經典四點共圓問題的解法

方法1：將要證明共圓的四個點連接成兩個同側的共底邊的三角形，如果我們可以證明出這兩個三角形的頂角相等，我們就可以肯定，這四個點是共圓的。這句話也可以理解為：如果一條線段同側的兩個點與這條線段連成的兩個夾角相等，那么我們就可以說這兩個點與這條線段的兩個端點四點共圓。

【例1】 在△ABC中，AB

分析：這道題沒有明確指出這是一道與四點共圓有關的問題，需要學生自己去發掘題目的隱藏信息。通過觀察圖1我們可以發現，圖中出現的三角形都位于線段的同一側，而且題目中給出了兩個相等的角，由此我們可以聯想到四點共圓的判定定理3，在此推測的基礎上，進行題目的解答，目標就會比較明確。

圖1

證明：如圖1所示，取AC的中點F，分別連接EF、DF（幾何證明中常用的輔助線做法）。

∵E、F分別是BC和AC的中點，

∴EF為△ABC的中位線，

∴有EF∥AB，∠AEF=∠EAB ①

又∵∠BAD=∠EAC（與題目中所給條件相聯系）

∴∠EAB=∠DAC ②

∵AD是△ABC上BC邊的高，

∴△ADC是一個直角三角形

∴DF=AF，∠ADF=∠DAC。

再結合①和②，可得∠ADF=∠AEF，（出現同一側的兩個角相等），

即A、D、E、F四點共圓（依據：四點共圓判定定理3）。

∴∠AFE=180°-∠ADE=90°，

繼而得出∠BAC=180°-∠AFE=90°。

方法2：由四點共圓的判定定理：當一個平面上四個點連成的四邊形對角互補，那么這四個點共圓。由此我們可以得出這樣的解題思路：把要證明共圓的四個點，連接成一個四邊形，如果我們可以證明這個四邊形的對角互補，我們就可以肯定這四個點共圓。

圖2

【例2】 如圖2所示，在Rt△ABC中，AC

分析：本題的第一小問就涉及了四點共圓的判定和應用，通過讀題我們發現：題目中出現了相切和直角三角形，兩個90°是互補的情況，而且這兩個角沒有緊挨著，所以很可能在一個圓里是一組對角的位置關系。由此我們很容易聯想到上文所說的定理1，基于這樣的推測，我們開始按照這個思路解題。

DE與AG的位置關系：DE∥AG；

證明：∵⊙O與邊AB相切于E點，

∴∠AEG=90°，

又∵∠ACG=90°

∴∠AEG與∠ACG互補，

∴A、E、C、G四點共圓（定理1）

∴∠AEC=∠AGC（同一圓弧所對的圓周角相等）。

又∵AB是⊙O的切線，

∴∠AEC=∠EDC，

∴∠AGC=∠EDC，

∴DE∥AG。

有關圓的知識在幾何證明中具有非常重要的地位，很多定理的證明也用到了圓的一些知識。在初中階段，四點共圓這一知識點在圓這一部分內容中具有非常重要的地位，尤其是在幾何證明中，利用四點共圓知識的題型非常多，而且一般有一定難度。因此，對于中學生來說，用好四點共圓具有非常重要的意義。

參考文獻：

[1]劉合財.四點共圓的判定及其應用[J].貴陽學院學報（自然科學版），2013，8（01）：24-27.

[2]孫志東.用“四點共圓”解題幾例[J].中學生數學，2018（08）：17-19.

作者簡介：

李華平，安徽省合肥市，安徽省合肥市第五十五中學。