閉環系統穩定性的多角度分析

邢書劍　諸葛晶昌

摘要：閉環系統穩定性判斷是《自動控制原理》課程中的重要教學內容之一，為了學生能夠靈活掌握線性系統的時域分析、根軌跡分析和頻域分析三部分，本文從勞斯表、根軌跡、奈奎斯特軌跡和伯德圖四種角度對閉環系統穩定、臨界穩定和不穩定三種狀態的判斷進行了分析，使學生能夠更好掌握系統穩定性判定的問題，為后續的自動控制系統校正打下良好的基礎。

關鍵詞：閉環系統穩定性；時域分析；根軌跡；頻域分析

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）29-0092-03

一、引言

《自動控制原理》是高等學校工科類專業的重要課程，是一門理論性較強的基礎科學。通過本課程的學習可以使學生掌握建立控制系統數學模型的一般方法，掌握控制系統分析和綜合的方法，為今后學習現代控制理論、航空發動機控制、飛機計算機控制等課程提供相關的理論基礎。其中，閉環系統的穩定性分析是《自動控制原理》課程中非常重要的教學內容之一，很多章節都是圍繞穩定性判斷和分析展開的。然而，各個章節都是介紹本章知識點，學生在學習之后往往很難前后串聯，為了使學生更好的理解和掌握閉環系統穩定性分析的內容，能夠全方位的靈活應用所學知識，本文將從時域分析、根軌跡分析及頻域分析三個方面對系統穩定性問題進行深入分析。

二、系統穩定性

系統穩定性：如果系統受到擾動后，偏離了原來的平衡狀態，而當擾動取消后，系統又能夠逐漸恢復到原來的狀態，則稱系統具有穩定性，否則稱系統是不穩定的，因此系統狀態可分為穩定狀態、臨界穩定狀態和不穩定狀態三種形式[1-2]。

線性系統穩定的充分必要條件是它的所有特征根都位于S平面的左半平面。因此，在判斷一個閉環系統是否穩定時，需要確認它的閉環極點是否都位于S平面的左半平面。

通常，單位負反饋系統的開環傳遞函數可表示為

式中，K為比例系數；m和n分別為自然數且m≤n；γ表示系統為γ型系統；τ 和T 為時間常數。

即系統的閉環特征方程。

由式（3）可知，閉環特征方程的階數取決于n，而通過人工計算求解高階方程（n>2）是非常困難的，因此判斷高階系統穩定性通常會采用其他手段進行，常用的方法為勞斯穩定判據、根軌跡分析法、奈奎斯特穩定判據及伯德圖判據幾種方法。

三、勞斯穩定判據

勞斯穩定判據可以通過對特征方程系數的適當代數運算得到S平面右半部及虛軸上是否存在閉環極點。為了便于理解，本文在各種方法的討論中假設系統的開環傳遞函數皆為

由勞斯穩定判據可知，當060時，系統不穩定。

四、根軌跡分析法

根軌跡是指當K從0到∞連續變化時，閉環極點在S平面上對應的連續變化軌跡[3]。式（4）對應的根軌跡方程為

=- （6）

根軌跡如圖1所示。可見，當060時，系統有一對共軛閉環極點位于S平面的右側，系統不穩定。

五、奈奎斯特穩定判據

奈奎斯特穩定判據是根據閉環控制系統的開環頻率響應判斷閉環系統穩定性的常用方法之一[4]，本質上屬于圖解分析方法，且開環頻率響應很容易計算。若閉環系統的開環傳遞函數為式（4），則開環頻率響應為

其幅頻特性和相頻特性分別為

當K分別為10，60，80時的奈奎斯特軌跡如圖6所示，可見，當K=10<60時，奈奎斯特軌跡不包含（-1，j0）點，且系統的開環極點全部在S平面左側，則系統沒有在S平面右側的閉環極點，系統閉環穩定；當K=60時，奈奎斯特軌跡經過（-1，j0）點兩次，說明系統有兩個在S平面虛軸上的閉環極點，系統臨界穩定；當K=80>60時，奈奎斯特軌跡順時針包含（-1，j0）點兩次，則系統有兩個在S平面右側的閉環極點，系統不穩定。

六、伯德圖判定

伯德曲線是頻率特性的另一描述形式[5]，其對數幅頻特性和相頻特性分別表示為

L（ω）=20lgA（ω）=20lg -20lg -20lg -20lg （10）

φ（ω）=-arctanω-arctan -arctan （11）

當K=10，60，80時的伯德曲線分別如圖3所示，對應的截止頻率分別為ωc1、ωc2、ωc3。可見，K取值不同時的相頻曲線保持不變，而由于K不同將導致在低頻端時的初始對數幅頻值不同，影響到每種情況下的截止頻率ωc不同，從而使得在0<ω<ωc這一段利用相頻特性曲線判斷穩定性的結果不同。圖3中，K=10時，相頻特性曲線沒有穿越-180°線，所以正穿越次數N+和負穿越次數N-都為0，且開環不穩定極點數P為0，此時2（N+-N-）=0=P，則系統閉環穩定；K=60時，交界頻率ωg=ωc，則系統臨界穩定；K=80時，正穿越次數N+為0，負穿越次數N-為1，則2（N+-N-）=-2≠P，則系統不穩定。

七、結語

閉環系統是否穩定是系統正常工作的前提，本文分別通過勞斯表、根軌跡、奈奎斯特軌跡和伯德圖四個方面對系統的穩定、臨界穩定和不穩定三種工作狀態進行分析。通過多角度分析使學生更加清晰《自動控制原理》中時域分析、根軌跡分析和頻域分析三個章節之間的內在聯系，掌握知識更加立體，為后續的自動控制系統校正打下基礎。

參考文獻：

[1]任彥碩.自動控制原理[M].北京：機械工業出版社，2006.

[2]唐超穎.淺談“欠阻尼二階系統階躍響應”的教學方法[J]. 教育教學論壇，2017，（27）：163-164.

[3]季畫，李素玲，邢雪寧.自動控制原理根軌跡分析法教學中的新思考[J].教育教學論壇，2013，（52）：116-117.

[4]常俊林，陳穎.“自動控制原理”中頻域分析部分的教學探討[J].教育教學論壇，2016，（52）：228-229.

[5]陳鳳祥.自動控制原理之相對穩定性概念的教學[J].教育教學論壇，2017，（3）：207-209.