平面剛架中剛性橫梁內力的確定

喬朋　譚晶晶

摘要：針對平面剛架中剛性橫梁內力的確定問題，利用位移法對帶剛性橫梁剛架的內力進行了分析。根據該類剛架的受力特點，提出了確定剛性橫梁內力的簡化計算方法。

關鍵詞：平面剛架；剛性橫梁；位移法；內力計算

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）30-0207-02

結構力學習題中經常會出現帶有剛性橫梁的剛架內力計算問題，實際工程中一些剛度很大的橫梁也可近似按剛性橫梁進行處理，從而大大地簡化分析過程。但在內力圖繪制時，學生往往會忘記計算剛性橫梁的內力，又或者錯誤地認為剛性橫梁內力為零。應注意，完整的剛架內力圖必須包含剛性橫梁的內力，以此作為橫梁的強度設計的依據。本文對平面剛架中剛性橫梁內力的確定進行研究。

一、問題的提出

以圖1所示一習題為例[1]，對平面剛架中剛性橫梁的內力進行討論。圖中橫梁的彎曲剛度為無窮大，忽略各桿件軸向變形，試求該剛架的內力圖。

分析可知，由于該剛架橫梁抗彎剛度無窮大，利用位移法求解時只有一個基本未知量，即橫梁的水平方向線位移。根據位移法即可求得該剛架橫梁的水平線位移，并進一步得到各柱的剪力和彎矩。然而，剛性橫梁ACE的內力并不能直接求出。利用結點A和結點E的平衡條件，可得到橫梁AC在A端的彎矩M 以及橫梁CE在E端的彎矩M ；C結點兩側彎矩M 和M 并不能確定。

二、剛性橫梁內力的分析方法

實際上，當忽略剛性橫梁兩端的結點角位移時，得到的結果實際上時如圖2a所示的內力，即加剛臂約束各結點角位移時外荷載引起的各柱的內力，此時剛臂內存在反力矩m （i=1，2，3），該反力矩與各柱頂彎矩相等，而橫梁內力為零。要求得橫梁內力，還需要將各剛臂的反力矩釋放，再進行一次內力重分配，如圖2b所示。圖2a和b疊加得到的才是整個剛架的內力。因此，求橫梁內力問題即轉化為求圖2b所示剛架內力問題。以下分析時假定集力偶和桿端彎矩均以順時針為正。

采用位移法分析圖2b剛架內力，研究與橫梁內力相關的參數。若暫不考慮橫梁抗彎剛度無窮大的條件，位移法分析的基本未知量包括結點A、C、E的角位移以及橫梁ACE的水平線位移。設各桿線剛度分別為i = 、i = 、i = 、i = 、i = ，各柱側移剛度為D = 、D = 、D = 。可建立位移法典型方程如下：

Z Z Z Z =-m -m -m 0 （1）

橫梁各梁端彎矩可表示為：

M =4i ·Z +2i ·Z ，M =2i ·Z +4i ·Z M =4i ·Z +2i ·Z ，M =2i ·Z +4i ·Z （2）

由于橫梁的抗彎剛度為無窮大，若各段橫梁線剛度不同，可假設i =N·i =∞，則

=N， →0， →0， →0， →0， →0， →0 （3）

即考慮橫梁的彎曲剛度無窮大后，式（1）變?yōu)椋?/p>

Z Z Z =-m -m -m · （4）

Z = （5）

解方程Z ～Z 并，代入（2）即可求得：

M =-m ，M =-m M =- m -μ m + m M = m -μ m - m （6）

式中，μ = ，μ = 。

由此可知，若剛性橫梁與柱單側連接，則橫梁梁端彎矩等于作用在該處的集中力偶；當剛性橫梁與柱兩側均連接，兩側橫梁梁端的內力與其相對線剛度、橫梁遠端彎矩有關。

三、簡化分析方法

在圖2b中，由于橫梁的抗彎剛度趨于無窮大，不論柱底的約束條件為剛接還是鉸接，各柱的抗彎剛度相對橫梁非常小。類似文獻[2]中的簡化思路，在圖示結點集中力偶作用下，橫梁各結點發(fā)生轉角位移時，各柱對結點的轉角約束作用可忽略不計，那么橫梁ABC各結點只受到豎向約束而轉角自由，其受力特點與下圖3所示的連續(xù)梁完全一致。

按位移法建立該連續(xù)的位移法典型方程為：

Z Z Z =-m -m -m （7）

上式與式（4）完全相同，則按其計算得到的連續(xù)梁內力與原框架中橫梁的內力相同。

故提出平面剛架中剛性橫梁內力的計算方法：

（1）按照位移法計算求得各柱頂截面彎矩m ，得到剛性橫梁各結點等效集中力偶-m ；

（2）建立-m 作用下的橫梁連續(xù)梁模型，利用等效連續(xù)梁來確定剛性橫梁的內力。

四、計算示例

如圖1所示框架結構，當EI=1kN·m ，橫梁長度l =l =3m，水平荷載F =100kN時，確定橫梁彎矩圖。

首先，根據位移法可求出各柱的剪力分別為

F =62.79kN，F =F =18.60kN

然后可求出各柱頂彎矩，進而得到橫梁各結點等效力偶為

-m =125.57kN·m，-m =-m =55.82kN·m

假定橫梁截面相同，則分配系數μ =μ =0.5，代入式（6）即可求得橫梁各端彎矩

M =125.57kN·m，M =55.82kN·m

M =45.35kN·m，M =10.47kN·m

五、結論

1.當平面剛架中存在剛性橫梁時，在繪制結構的內力圖時，應注意正確地計算剛性橫梁的內力，切勿錯誤認為剛性橫梁內力為零。

2.利用位移法對存在剛性橫梁的平面剛架進行內力分析，結合該類剛架的受力特點，提出了確定剛性橫梁內力的簡化方法。

參考文獻：

[1]王新華，賈紅英，李悅.結構力學[M].北京：化學工業(yè)出版社.

[2]石靜，高淑榮.利用彈簧支承巧解超靜定剛架[J].力學與實踐，2005，27（6）：77-78.