基于孔結構分形維數的水泥基材料宏觀性能的研究

金仁東,許修超,林清輝

(臺州職業技術學院 建筑工程學院,浙江 臺州 318000)

1 引言

水泥基材料是一種多孔介質,其內部微觀孔隙結構特征決定著材料的力學和耐久性等宏觀性能。因此研究水泥基材料微觀孔結構有助于進一步分析宏觀性能的變化機理和預測相應的變化趨勢。傳統的SEM只能定性地反映多孔材料內部的孔隙結構,而分形理論則可以通過分形維數來量化孔結構的復雜性。另外工程中常用的水泥基材料,其孔結構在孔隙體積、孔形、孔隙通道和面積方面都表現出明顯的分形特征,因而孔結構和宏觀性能的研究就具備了新途徑。近年來,眾多學者借助分形理論開展了水泥基材料微觀孔結構和宏觀性能的理論和試驗研究。隨著對孔結構和分形理論的深入研究,基于孔結構分形維數的水泥基材料宏觀性能的研究取得了長足的進展,也逐漸成為水泥基材料孔結構性能研究的重要方向。

2 分形及分形理論概況

2.1 分形

分形是美國教授B.B.Mandelbrot在1973年根據拉丁語Frangere這一詞匯創造得到的,其本來的意義為支離破碎的、不規則的和分數的物體[1]。與此相關的分形幾何學則是一門研究非規則幾何形態的學科,而自然界普遍存在不規則物體和相關現象,因而它又是一門描述大自然的幾何學。它的研究對象主要為處處不規則、處處不可微、復雜并具有自相似性的幾何體。分形結構的幾何體一般具有的特征：①具有不規則性,其局部和整體均無法通過幾何語言進行描述；②具有精細的結構,無論在何種尺度下它都是復雜的；③具有自相似性,這種自相似性可以被統計亦可以是近似的[2]。

2.2 分形理論的歷史沿革

經典的歐式幾何對諸如汽車、飛機、建筑等人造物體可以用直線、方形、圓圈、立方體、球體等規則幾何形狀加以描述,但遇到自然界中許多復雜非線性的山川景色、巖石結構、海岸邊界等真實事物卻無法通過傳統的幾何學去描述和解決[3]。其中分形理論是研究此類問題的重要工具,它源于“大不列顛海岸線有多長”的課題研究。分形幾何學創始人B.B.Mandelbrot將相關研究者對于該課題的早期結論與周長無限的結構進行聯系,發現了整體和局部形態之間相似的性質。此后,Mandelbrot在1967年發表在《科學》上的論文“英國海岸線有多長”引起學界的高度重視；在1973年首次在法蘭西講學中提出分形幾何學的概念；在1977年出版的著作《Fractal, Form, Chance and Dimension》又創造了“fractal”一詞,標志著分形理論的誕生[4]。近年來,因分形理論可以較為精確的描述被研究對象的復雜不規則性這一特點,所以隨著學科之間的交叉發展,它被各學科廣泛借鑒而應用于生物、物理、化學、材料學、斷裂力學、勘探等多個工程領域之中,也成為目前學界的熱門課題。

3 孔分形維數

分形維數是一種能量化分形特征的重要參數,它能夠定量的表征一個復雜體系的不規則性和復雜程度。習慣上常說的維數是歐幾里得空間維數,常用來確定幾何圖形和空間物體定位所需的獨立坐標數目,它所體現的維數數值為整數。分形理論則認為空間維數是連續變化的,它可以是整數也可以是分數。分形集的維數有多種定義,如盒維數、信息維數、關聯維數、容量維數等,而Hausdorff維數則是其中最具代表性的維數,也可以稱為分形維數。以下是根據不同分形模型所確定的各種與孔結構相關的分形維數。

3.1 孔表面積分形維數

根據Menger海綿模型來模擬混凝土中的孔結構：將邊長為R的初始立方體等分成m3個邊長均為R/m的小立方體,然后以一定的規則隨機取出其中n個立方體,剩余立方體數目為N1=m3-n。按此方法經過k次迭代后,余留的小立方體邊長rk=R/mk,相應數目為Nk=(m3-n)k。

分形維數和立方體數目的關系式為：

Nk=(rkR)-D

(1)

式中：D為分形維數,D=lgN1/lgm。

那么相應余留的立方體體積為：

(2)

轉化得：

(3)

基于Menger海綿模型所確定的孔表面分形維數一般研究的對象是中低強度等級的水泥基材料,若遇到高強水泥基材料適用性不強。張宇等就該問題進行研究,根據壓汞法中外界環境壓汞的功等于入孔汞液表面能的增加而建立了基于熱力學關系的分形模型,相應關系式為：

lnWn=lnQn+lnC

(4)

式中C為常數,Wn和Qn為通過壓汞試驗數據計算得到。另外將Qn和Wn取對數后繪制曲線圖,若該曲線斜率趨近于1時,則表明式中所含的D為相應試樣的表面積分形維數,否則需重新假設并計算直至曲線斜率約等于1為止。另外式(4)因多次迭代循環擬合致計算量過大,進而簡化可得：

(5)

式中Vn為進汞總量,δn為第n次進汞相應的孔徑。利用此式進行線性回歸,確定相應斜率即為簡化后高強水泥基材料的孔表面積分形維數D。

孔表面積分形維數隨著孔表面積、中值孔徑和平均孔徑的增大而增大,它與孔隙率結合使用可更為合理高效地表征高強水泥基材料的孔結構情況[5]。

3.2 孔體積分形維數

Ji等人基于水泥混凝土水化反應的特點構建空間填充模型：將1m3的立方體作為初始單元并等分為m3個相等的小立方體,為模擬水泥水化過程而按一定規則填充其中n個立方體,剩余未被填充的部分則視為孔隙,此部分立方體數目為m3-n。據此規則經歷k次迭代并根據分維定義得到空間填充模型的分形維數D=lg(m3-n)/lgm,同時結合壓汞測孔法建立分形維數和孔隙體積的關系,經過一定的推導得到：

lgV=lgt+(3-D)lgr

(6)

將壓汞數據按照式(3)繪制相應曲線,孔體積分形維數D的數值即為該曲線斜率[6]。

然而空間填充模型的模擬過程與壓汞測孔之間存在一定的差異,那么直接由壓汞儀得到的數據關聯至該模型進而求得的分形維數也會存在一定的誤差,并影響后續分析的精準性。相比之下,Menger海綿模型在一定程度上與壓汞測孔法在過程上更為接近。因此對式(1)亦可推導出：

lgVk∝(3-D)lgrk

(7)

然后利用壓汞數據求得Vk和rk并據式(7)繪制函數曲線圖,則該曲線斜率即為孔體積分形維數。

水泥基材料的孔體積分形維數和孔結構參數相關性良好,該分形維數越大,則該孔隙率越高、中值孔徑越大,抗拉壓強度越小。所以,孔體積分形維數既能有效評價微觀孔結構特征,又能合理反映宏觀力學性能。

3.3 孔軸線分形維數

前文所述Menger海綿模型,空間填充模型和基于熱力學關系的分形模型所考慮的混凝土孔隙通常是平滑直線型的圓柱孔,而實際上孔隙一般是非平滑的曲線型復雜孔。為形象描述其迂曲程度,以更接近真實情況的Von Koch曲線特征模型為基礎如圖1所示,構件孔軸線分形維數模型具體過程如下：

將長度為1的直線初始單元按照一定規則等分得到N個小直段,每段長度為1/m,則相應曲線長度為L1=N/m,以這樣的操作經過k次迭代后得到最終曲線長度為Lk=(N/m)k。同時依據分形維數相關概念得到曲線長度關于分形維數的函數表達式為：Lk=(1/mk)1-D。結合壓汞法試驗原理可導出：

(8)

圖1 Von Koch曲線特征模型

4 研究現狀

4.1 力學性能方面

2003年,李永鑫等通過建立適用于水泥基材料的Menger海綿分形模型,并結合MIP實驗數據回歸分析得到粉煤灰-水泥凈漿的孔體積分形維數,重點分析了分形維數與孔結構參數之間的關系,并初步探討了分形維數與相應砂漿強度的關系,研究表明粉煤灰-水泥砂漿抗折及抗壓強度隨孔體積分形維數的增大而增大[7]。2006年,尹紅宇設計了對不同配比混凝土試件分別進行壓汞和單軸受壓試驗研究,得到孔隙體積分形維數和孔軸線分形維數與混凝土抗壓強度關系散點圖相關性良好,表明混凝土抗壓強度可用孔結構分形維數來評價[8]。2007年,喻樂文等通過壓汞法測得摻珍珠巖水泥石孔結構參數,結合Menger海綿模型計算出相應孔體積分形維數,并著重分析了該分形維數與微觀孔結構參數與宏觀力學性能之間的關系,結果表明它與抗壓強度成反比,同時也可綜合評定水泥基材料的微觀孔結構[9]。2014年,周明杰等借助MATLAB編寫程序并基于盒計數法原理計算得到不同粉煤灰摻量下泡沫混凝土的分形維數,另外將同等情況下的抗壓強度與之關聯對比研究,結果表明泡沫混凝土的分形維數和抗壓強度擬合良好,也說明分形維數可用于泡沫混凝土力學性能指標的預測和控制[10]。2016年,韋庭叢等通過壓汞法和Menger海綿模型計算出漂珠低密度水泥石孔體積分形維數,探討了該水泥基材料的孔體積分形維數和力學性能的關系,得出其抗拉壓強度隨著孔體積分形維數的增大而減小的結論,表明孔體積分形維數能在一定程度上反映水泥基材料宏觀力學性能的優劣[11]。

4.2 耐久性方面

2005年,唐明等以Menger海綿模型為基礎結合壓汞測孔試驗計算混凝土凍融循環后的孔隙分形特征,得到C40的普通混凝土和高性能混凝土在250次凍融循環后孔隙體積分形維數較受凍前明顯降低[12]。2009年,尹紅宇等結合壓汞試驗和Menger海綿分形模型研究了碳化后水泥砂漿的分形特征,結果表明水泥砂漿孔結構具備多重分形特點,其中凝膠孔孔隙體積分維降低,而毛細孔和大孔等有害孔體積分維增大[13]。2010年,張建波等利用壓汞法和Menger海綿模型定量研究含礦物摻合料混凝土孔體積分形維數,并據此探討了摻加不同礦物摻合料條件下混凝土氯離子滲透性與孔體積分形維數的關系,結果表明兩者之間相關性良好,且成反比關系,另外摻加摻合料活性越大,兩者負相關性越明顯[14]。2011年,楊帆引入分形理論,從孔隙通道屈曲分形維數Dτ和孔隙分布分形維數D入手研究水泥基材料的滲透性和孔隙復雜程度的關系,結果表明混凝土滲透率與孔隙分布分形維數D成正比,而與孔隙通道屈曲分形維數Dτ成反比[15]。2017年,鄧雷等基于分形理論并通過MIP法求得鋰渣混凝土孔分形維數,并得出鋰渣混凝土氣體滲透性與孔軸線分形維數相關性較差,而與孔體積分形維數相關性較好的結論[16]。

5 結語

通過以上綜述內容發現,經過國內外研究者的共同努力,在水泥基材料孔結構分形方面的研究已經已取得了一定的進展,在此基礎上也有眾多學者初步探討了水泥基材料宏觀性能和孔結構分形維數的相關關系,并取得了一定的研究成果,然而歸納現有成果發現,在這方面的研究仍然存在以下方面需要進一步研究：

(1)不同的分維模型因測試理論和結構參數的不同導致求得的分形維數差異較大,即使同一分維模型也因研究者關于物理意義和公式參數的理解差異而造成分形維數仍有計算偏差,因此進一步統一分維模型和強化理解是一項重要工作。

(2)絕大多數研究者關于水泥基材料孔結構分形維數和宏觀性能研究的重點偏向分形維數的求解上,對于如何定量反映分形維數和宏觀性能的相關關系缺乏深入研究。

(3)水泥基材料宏觀性能中的耐久性是目前研究的重點,尤其是其中抗凍、抗滲方面如何通過分形維數建立與孔結構的定量關系尤為重要,所以水泥基材料耐久性和孔結構分形維數的關系方面仍然有較大的研究空間。