非線性耦合的非局部擴散系統的臨界曲面

楊麗麗，李中平

(西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637009)

0 引 言

在這篇文章中，我們研究了以下非局部擴散系統的柯西問題，其初值

(1)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),w(x,0)=w0(x),x∈RN,

(2)

其中p,q,r>1,J∈Cc(RN)是具有緊支集且單位可積的非負函數。*表示RN內的卷積，u0,v0,w0都是非負有界的非平凡函數。

由文獻[1]可知，柯西問題(1)(2)可以表示三個相互影響的非局部擴散系統，其中u,v,w表示三個不同生物種群各自的密度,J(x,y)可以表示種群從x到y的遷移密度分布。由文獻[2]可知

(3)

(4)

他們證明了柯西問題(4)與經典半熱性熱方程的柯西問題

(5)

關于Fujita對臨界指標的研究起源于文獻[4]，而Lee和Ni在文獻[5]中得出了區分柯西問題(5)的全局解與爆破解的臨界初值。也即對于柯西問題(5)，在p>pc這種情況下，如果令u0(x)～x-a,x→，那么對于及0

在文獻[6]中，Escobedo和Herrero已經研究過耦合熱方程組的柯西問題

(6)

(1)如果1

(2)如果pq>pqc，其全局解和爆破解都有可能存在。

在文獻[8]中，Renclawowicz研究了柯西問題

(7)

其中

u(x,0)=u0(x)，v(x,0)=v0(x)，w(x,0)=w0(x)，x∈RN,

(8)

他得到以下結論：

(1)當1

(2)當pqr>(pqr)c時，柯西問題(7)(8)的全局解與爆破解都有可能存在。

在文獻[9]中，Yang研究了柯西問題

(9)

其中p,q>1，他證明了如下結論：

(1)當1

(2)當pq>(pq)c時，柯西問題(9)的全局解和爆破解都有可能存在。

Ia={φx∈CbRN|φx≥0,liminfx→xaφx>0}，

Ia={φx∈CbRN|φx≥0,limsupx→xaφx<},

受以上研究的啟發，我們研究了柯西問題(1)(2)并給出如下結論。

定理1 柯西問題(1)(2)的Fujita臨界曲面是

也就是說，當1(pqr)c時，在合適的初值條件下，柯西問題(1)(2)既存在全局解也存在爆破解。

在柯西問題(1)(2)中，令

設(a0,b0,c0)T是(A-I)X=2,2,2T的解，則有

其中det(A-I)=pqr-1，也即得到柯西問題(1)(2)的第二臨界曲面。即有下面結論：

定理2 假設u0x=λβx,v0x=μφx,w0x=ντx,x∈RN都是非負非平凡初值。若pqr>pqrc,則(1)當a>a0,b>b0,c>c0,β∈Ia,φ∈Ib,τ∈Ic且λ,μ,ν都足夠小時，柯西問題(1)(2)存在一個全局解；(2)當0

1 Fujita臨界曲面

在這一節，我們將證明與Fujita臨界曲面有關的定理1。

然后在Q∶=RN×0,上對(1)中第一個式子的兩邊同時乘以αRβR，再作積分得

(10)

(11)

其中C是R中的非負常數，利用分部積分法得

(12)

利用Fubini定理，(10)式右邊的第二個式子可化為

(13)

再由ex≥1+x,有

又因為J是徑向對稱的，所以

(14)

那么(J*αR-αR)≥-AJR-2αRx。因而

(15)

(16)

同理可得

將以上兩式代入(16)的右邊，再結合Young不等式可得

(17)

化簡后，有

若1

若pqr=1+2max{pq+p+1,qr+q+1,pr+r+1}/N=1+2(pq+p+1)/N,令R→，有

(18)

為了研究這種臨界情況，我們構造函數ψ(x)∈D(B2),且當x∈B1時,ψ≡1。 定義

用(1)中的第一個式子乘以ψR(x)βR(t)，再在Q上作積分，

(19)

又由(11)知

(20)

結合泰勒公式，可得

其中0≤θ≤1,再結合(14)式有

令R→,則

(21)

(22)

同理可得

(23)

及

(24)

又因為pqr=1+2pq+p+1/N，則有

結合(18)，令R→，有

也即v=0，這與假設矛盾。第二種臨界情況由定理1.2推理而得，在下一小節會給出詳細的說明。

2 第二臨界曲面

第二臨界曲面是在pqr>pqrc這種情況下，用來區分全局解與爆破解在空間中的初值衰減速率的臨界值。我們在證明與第二臨界曲面有關的定理2前，由文獻[12]，可以給出如下引理。

引理1 假設a∈(0，N)，γ(x)∈Ia，則

(25)

(26)

其中W在(3)中已經被定義過了，C>0僅與N,J有關，且

L(RN)={φ∈L(RN)|‖φφ‖L<}。

定理2的證明(1)當a0a1,c1q-2>b1,a1r-2>c1，顯然有u0∈Ia1,v0∈Ib1,w0∈Ic1.由文獻[12]，我們可以構造Banach空間

其中

且(u,v,w)∈X。由文獻[12]可知，‖W‖L1RN=1-e-t，再結合(25)及b1p-2>a1，得

又因為

所以

(27)

其右邊的第一個式子由引理1得到。因為b1p-2>a1，那么結合X的定義及(26)，有

所以

(28)

由以上類似討論可得

再結合(27)和(28)，有

(2)不失一般性，設a∈(0,a0),u0∈Ia，則存在一個R0，使得對任意的x≥R0，都有u0≥Cx-a成立。為了構造矛盾，設柯西問題(1),(2)存在一個非負非平凡全局解(u,v,w)，結合(17) 及Young不等式可知

即對任意的R≥0，都有

成立。那么1≥CRN-a0，令R→得到矛盾。