一種直覺模糊熵的計算公式

徐 穎，黃天民，胡忠雪，曾 莊

(西南交通大學 數學學院，成都 611756)

0 引 言

1965年，美國加利福尼亞大學控制論教授Zadeh[1-2]首先發表了題為《模糊集》的論文。但模糊集僅通過隸屬度刻畫論域中某元素對于某集合的隸屬程度，過于單一且不能描述具有非此非彼性的問題。于是，在模糊集的基礎上，1986年，保加利亞學者Atanassov[3]提出直覺模糊集，增加了一個新的屬性參數—非隸屬度，更細膩地去描述模糊概念，既突破了傳統的二值邏輯束縛又可以描述具有非此非彼性的問題。直覺模糊集成為處理和描述具有不確定性和未知性問題的強有力工具。

直覺模糊熵是度量直覺模糊集不確定性和未知性的重要工具。1996年，Burillo[4]等首先提出用直覺模糊熵來刻畫直覺模糊集的不確定性和未知性。2001年，Szmidt[5]等利用距離度量，提出另一種直覺模糊熵的計算公式。隨后，王毅[6]等發展了Szmidt直覺模糊熵。2006年，Zeng[7]等基于相似度量，提出了直覺模糊熵的計算公式。2009年，彭芳艷[8]等基于不確定度和未知度，提出了直覺模糊熵的計算公式。后來，許多學者又相繼提出了新的直覺模糊熵[9-18]。雖然諸多學者提出了直覺模糊熵的計算公式，但一些計算公式存在一定的局限性。

本文利用余弦函數構造直覺模糊熵的計算公式，驗證該公式滿足直覺模糊熵公理化定義。最后將所提出的公式與現有的直覺模糊熵公式應用于實例，說明所提出公式的有效性。

1 預備知識

定義1[13]設X是一個非空集合，則稱A=〈xi,uAxi,vAxixi∈X〉為直覺模糊集IFSs，其中uAxi和vAxi分別為X中元素xi關于A的隸屬度和非隸屬度，即uA:X→0,1,xi∈X→uAxi∈0,1,vA:X→0,1,xi∈X→vAxi∈0,1,且滿足條件0≤uAxi+vAxi≤1。

定義2[13]設X中的任一直覺模糊集，若πAxi=1-uAxi-vAxi,xi∈X,則稱πAxi為元素xi屬于A的猶豫度或者不確定度，顯然0≤πAxi=1-uAxi-vAxi≤1,xi∈X。

定義3[11]實值函數E:IFSsX→0,1稱為直覺模糊熵，若滿足如下公理化要求：

1)EA=0?A是分明集；

2)EA=1?uAxi=vAxi=0,?xi∈X;

3)EA=EAC;

5)當πAxi=πBxi時，uAxi-vAxi≤uBxi-vBxi,?xi∈X,或當πAxi=πBxi時，uAxi-vAxi≤uBxi-vBxi,?xi∈X,πAxi≥πBxi,則EA≥EB。

2 直覺模糊熵計算公式

根據公理化定義3，定義如下的直覺模糊熵計算公式：設A=〈xi,uAxi,vAxixi∈X〉,A∈IFSsX,X=x1,x2,…,xm,

(1)

直覺模糊熵是度量直覺模糊集不確定性和未知性的重要工具。該計算公式通過隸屬度與非隸屬的絕對值來刻畫直覺模糊集的不確定性對直覺模糊熵的影響，通過猶豫度來刻畫直覺模糊集的未知性對直覺模糊熵的影響，較全面地度量了直覺模糊集的模糊性。而且利用余弦函數來構造直覺模糊熵的計算公式較容易體現出隸屬度和非隸屬的絕對值不變時，直覺模糊熵是關于猶豫度的增函數；在猶豫度不變時，直覺模糊熵是關于隸屬度和非隸屬的絕對值的減函數。

定理1 式(1)E(A)是一個直覺模糊熵。

3 與現有直覺模糊熵的比較

例1[11]設有直覺模糊集A1=〈x,0.1,0.9〉x∈X,A2=〈x,0.1,0.7〉x∈X,A3=〈x,0.2,0.7〉x∈X,A4=〈x,0.1,0.5〉x∈X,A5=〈x,0.2,0.5〉x∈X,A6=〈x,0.2,0.4〉x∈X,

A7=〈x,0.4,0.5〉x∈X,A8=〈x,0.3,0.4〉x∈X,A9=〈x,0.3,0.3〉x∈X,A10=〈x,0.5.0.5〉x∈X,A11=〈x,0,0〉x∈X。用文獻[11]和[12]以及本文的直覺模糊熵計算公式對直覺模糊集的不確定性和未知性進行度量，得到的結果如表1所示。

表1 三種直覺模糊熵計算結果的比較

通過分析數據可知，文獻[11]的方法無法區分直覺模糊集A4，A5，A7，文獻[17]改進的直覺模糊熵計算公式是文獻[11]的推廣，于是文獻[17]中的計算公式也存在局限性；文獻[12]的方法在區分A7，A8時，A7的直覺模糊熵比A8的直覺模糊熵要大，不符合實際也不符合直覺，通過對比發現，本文方法能夠較好地對直覺模糊集的不確定性和未知性進行度量。

4 結 語

本文通過直覺模糊熵公理化要求，利用余弦函數的性質優勢，提出直覺模糊熵的計算公式。通過實例對比文獻[11]和[12]中的直覺模糊熵計算公式，可以發現本文所提出的直覺模糊熵公式能夠更好地度量直覺模糊集的不確定性和未知性。但在公理化定義的規范化上，研究還不夠深入，需進一步完善。