在操作中探究 于變式中生成

周杰

[摘 要] 認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程. 本文以“線段的軸對(duì)稱性”為例，闡述操作、變式在教學(xué)中的作用.

[關(guān)鍵詞] 操作；探究；變式；設(shè)計(jì)說(shuō)明

分析教材

“線段的軸對(duì)稱性”這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱的性質(zhì)后繼續(xù)學(xué)習(xí)的一節(jié)課，本節(jié)內(nèi)容既是前面知識(shí)的深化和應(yīng)用，又是后續(xù)學(xué)習(xí)“角的軸對(duì)稱性”“等腰三角形的軸對(duì)稱性”的基礎(chǔ)，它所采用的“操作—探究—?dú)w納—證明”是今后研究幾何的基本數(shù)學(xué)思想方法. 因此，本節(jié)內(nèi)容在教材中占據(jù)著至關(guān)重要的地位，起著承上啟下的作用.

確定學(xué)生認(rèn)知?dú)v程維度

本節(jié)課的授課對(duì)象是初二學(xué)生，該階段的學(xué)生經(jīng)歷了一年的初中學(xué)習(xí)，基本掌握了平面幾何圖形的特征和類比歸納方法，但動(dòng)手操作能力、語(yǔ)言表達(dá)能力等方面還有待加強(qiáng). “線段的軸對(duì)稱性”“角的軸對(duì)稱性”“等腰三角形的軸對(duì)稱性”這幾個(gè)課時(shí)的學(xué)習(xí)有著相似的地方，需要用類比的方法進(jìn)行探究，所以上好起始課顯得尤為關(guān)鍵. 根據(jù)布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)原理，確定本節(jié)課學(xué)生的認(rèn)知?dú)v程維度如表1.

學(xué)生之前所學(xué)習(xí)的垂直平分線的概念是本節(jié)課的事實(shí)性知識(shí)，需要回憶才能進(jìn)行后續(xù)探究，因此本節(jié)課的研究重點(diǎn)是線段的垂直平分線的相關(guān)性質(zhì)，所以垂直平分線的性質(zhì)定理應(yīng)作為本節(jié)課的概念性知識(shí)進(jìn)行呈現(xiàn). 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，教師需要讓學(xué)生感悟到探究數(shù)學(xué)性質(zhì)時(shí)的一般路徑和方法，并培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和表達(dá)的條理性——初中階段需要通過(guò)合情推理、演繹推理來(lái)有條理地進(jìn)行說(shuō)理，得出性質(zhì). 因此，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)就是圍繞這樣的程序性知識(shí)來(lái)串聯(lián)各項(xiàng)活動(dòng)，即操作—探究—?dú)w納—證明.

分層設(shè)定教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)三維目標(biāo)要求，分層設(shè)定教學(xué)目標(biāo)如下：（Level 1）探索并掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，并能運(yùn)用性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；（Level 2）經(jīng)歷探索線段軸對(duì)稱性的過(guò)程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的性質(zhì)，發(fā)展空間觀念；（Level 3）在“操作—探究—?dú)w納—證明”的過(guò)程中發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力. 圍繞以上教學(xué)目標(biāo)，本課時(shí)著重采用實(shí)驗(yàn)操作及變式探究組織教學(xué).

分步設(shè)計(jì)教學(xué)流程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，也了解了軸對(duì)稱的相關(guān)性質(zhì)，線段是我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｓ龅降膸缀螆D形，它是軸對(duì)稱圖形嗎？

生（齊）：是.

師：為什么說(shuō)線段是軸對(duì)稱圖形呢？

生（齊）：沿著一條線折疊后可以重合.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 此環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生從軸對(duì)稱圖形的概念角度來(lái)進(jìn)行判斷，在初步判斷的基礎(chǔ)上，引入實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證，為下一教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)做好鋪墊.

2. 引入操作，探究新知

（1）活動(dòng)一：畫一畫，折一折

師：請(qǐng)?jiān)谀闶种械目瞻准埳袭嬕粭l線段AB，并驗(yàn)證你的想法.

驗(yàn)證后歸納：線段是軸對(duì)稱圖形.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 課前每位學(xué)生發(fā)一張課堂用紙，讓學(xué)生在紙上任意畫線段AB，然后通過(guò)折疊、重合得出結(jié)論. 此時(shí)教師需要追問(wèn)：折痕所在的直線是什么？學(xué)生可能回答對(duì)稱軸或垂直平分線，對(duì)于出現(xiàn)的兩種回答，教師均需給予肯定. 接著，教師繼續(xù)追問(wèn)：剛剛有同學(xué)說(shuō)這條線不僅是線段的對(duì)稱軸，而且是線段的垂直平分線，那么如何去說(shuō)明呢？請(qǐng)同學(xué)們把這條線畫出來(lái)，標(biāo)記為直線l，進(jìn)行說(shuō)理. 引導(dǎo)學(xué)生從垂直、平分兩個(gè)角度去驗(yàn)證.

（2）活動(dòng)二：猜一猜，量一量

師：線段AB的垂直平分線l上有一點(diǎn)P，連接PA，PB，猜想PA與PB有何數(shù)量關(guān)系，量量看！再任意找一點(diǎn)Q，連接QA，QB，QA與QB還有上述數(shù)量關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明 設(shè)計(jì)此活動(dòng)的目的，旨在讓學(xué)生從動(dòng)手量的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)線段之間的相等關(guān)系. 通過(guò)任意找一點(diǎn)Q，讓學(xué)生感知這樣的結(jié)論應(yīng)該具備一般性，為下面的證明設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.

（3）活動(dòng)三：想一想，證一證

師：你能用之前所學(xué)的知識(shí)證明你的結(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明 大部分學(xué)生都能用之前學(xué)過(guò)的全等理論解釋這樣的規(guī)律，此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生從翻折的角度（即圖形運(yùn)動(dòng)的角度）進(jìn)行說(shuō)理，為后續(xù)學(xué)習(xí)角的軸對(duì)稱性、等腰三角形的軸對(duì)稱性打好基礎(chǔ).

（4）活動(dòng)四：歸納定理

文字語(yǔ)言：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

符號(hào)語(yǔ)言：∵PO垂直平分線段AB于點(diǎn)O（即PO⊥AB，OA=OB），

∴PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）.

圖形語(yǔ)言：如圖1.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 通過(guò)數(shù)學(xué)三大語(yǔ)言（符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言）的板書呈現(xiàn)，規(guī)范學(xué)生書寫的同時(shí)，讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶，從而提升應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

3. 運(yùn)用新知，注重變式

例1 已知：如圖2，線段AB的垂直平分線l分別與PA，AB交于點(diǎn)Q和點(diǎn)E，PA=12，PB=9，求△PQB的周長(zhǎng).

變式1 如圖2，線段AB的垂直平分線l分別與PA，AB交于點(diǎn)Q和點(diǎn)E，PA=12，△PQB的周長(zhǎng)為21，求PB的長(zhǎng).

變式2 如圖2，線段AB的垂直平分線l分別與PA，AB交于點(diǎn)Q和點(diǎn)E，PB=9，△PQB的周長(zhǎng)為21，求PA的長(zhǎng).

變式3 如圖3，若點(diǎn)P是線段AB的垂直平分線l外一點(diǎn)，那么PA與PB還相等嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 設(shè)計(jì)變式1、變式2的目的是讓學(xué)生熟練運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)給定邊長(zhǎng)求周長(zhǎng)、給定周長(zhǎng)求邊長(zhǎng)的變式練習(xí)，得到“知二求一”的簡(jiǎn)單模型，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想. 設(shè)計(jì)變式3的目的是讓學(xué)生在討論中認(rèn)識(shí)到：不在線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離不相等，從而從側(cè)面證實(shí)：只有線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離才相等，為下一節(jié)課學(xué)習(xí)線段垂直平分線的判定打下良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ). 變式3還注重引導(dǎo)學(xué)生得出：初中階段體現(xiàn)線段不等關(guān)系的定理要從三角形三邊關(guān)系方面進(jìn)行思考，并嘗試?yán)眠@樣的定理進(jìn)行證明.

例2 如圖4，DM，EN分別是△ABC中AB，AC邊的垂直平分線，兩條垂直平分線分別交BC邊于D，E兩點(diǎn)，已知BC=10，求△ADE的周長(zhǎng).

變式 如圖5，EN，DM分別是△ABC中AC，AB邊的垂直平分線，兩條垂直平分線分別交BC邊于E，D兩點(diǎn)，已知BC=10，你能求出△ADE的周長(zhǎng)嗎？若不能，還需要添加什么條件？

設(shè)計(jì)說(shuō)明 例2的設(shè)計(jì)重在讓學(xué)生感受遇到兩條垂直平分線時(shí)的處理機(jī)制. 變式設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生感受到圖形中的變與不變，感受到圖形的變化給結(jié)論帶來(lái)的改變. 通過(guò)變式，能讓學(xué)生更加清晰、明了圖形之間的線段關(guān)系，從而鞏固線段垂直平分線的性質(zhì)定理.

一些思考

操作探究教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)在于，能讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)，豐富大腦想象，促進(jìn)學(xué)生把外界生活實(shí)際和自身思維活動(dòng)緊密聯(lián)系起來(lái)，能促使其感性認(rèn)識(shí)深化為理性認(rèn)識(shí). 上述教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)設(shè)計(jì)諸如“畫一畫，折一折”“猜一猜，量一量”“想一想，證一證”等活動(dòng)，讓學(xué)生多感官參與到學(xué)習(xí)中，從而提高課堂學(xué)習(xí)效率. 教學(xué)過(guò)程中滲透了“從特殊到一般”“轉(zhuǎn)化”的思想，建構(gòu)了探究數(shù)學(xué)的一般方法，明確了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般路徑，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例題變式在檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)、技能掌握情況的同時(shí)，通過(guò)變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論使學(xué)生掌握研究對(duì)象的本質(zhì)屬性，其一定程度上克服和減少了思維定式，增強(qiáng)了學(xué)生主動(dòng)探究的欲望，能使學(xué)生真正成為課堂的主人. 上述教學(xué)設(shè)計(jì)中的例題變式使得一題多用，多題重組，喚起了學(xué)生的好奇心和求知欲，特別是例2的變式，能培養(yǎng)學(xué)生的“問(wèn)題”意識(shí)，通過(guò)設(shè)計(jì)開放性問(wèn)題，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，使定理在變式中得以升華.