基本模型在中考壓軸題中的應用研究

朱悅

[摘 要] 基本模型作為一種重要的解題思路，能夠將壓軸題型進行分類，幫助學生快速找到突破口，完成問題的解答. 本文結合教學實踐對基本模型展開論述，為一線數學教師講解壓軸題奠定基礎.

[關鍵詞] 基本模型；壓軸題；解題策略

隨著新課程改革的實施，中考數學的考試重點也發生了變化，單純的基礎知識和基本解題技能的考查逐漸減少，更多的是對學生數學解題綜合能力的考查. 尤其是中考數學的壓軸題，對學生的邏輯推理、數學知識的綜合運用能力提出了更高的要求. 通過近些年對中考數學題的觀察發現，壓軸題具有較強的選拔性，能夠拉開學生之間的得分，外加它較強的綜合性，很多學生都會產生畏懼心理. 作為一線教師，要注重數學方法的滲透，引導學生進行審題，找出關鍵信息，進而總結解題的策略.

基本模型概述

通過對中考數學壓軸題的分析發現，在這些形式多樣的題目中，都會隱藏一些最基本的特點，將這些題目中的不同信息剝離以后，就會發現它們存在著共同的基本模型. 通過教師的引導，讓學生認識不同題目之間的共性問題，幫助他們總結壓軸題的解題策略. 在中考數學壓軸題中，最常見的基本模型有以下幾類：A型、8型、K型、反A型等（如圖1～圖4）.

基本模型解題意義

在解決中考數學壓軸題的時候，我們需要通過問題的分析，構造出一個基本的思維輪廓，然后根據這個思維輪廓去填充條件，這個思維輪廓就是基本模型，一旦掌握了基本模型，很多壓軸題就可以迎刃而解，這個過程就是建立數學模型的過程.

數學建模思想是學生必須要掌握的一種解題思想方法，通過這一思想方法，能夠將復雜的問題簡單化，將抽象復雜的數學關系剝離出來，還原成為自身熟悉能夠識別的數學問題，從而達到解題的目的. 另一方面，對于中考數學的壓軸題，涵蓋的知識較多，如果教師在課上進行講解，需要花費大量的時間，每節課最多講1～2個問題，這給很多數學教師帶來了困擾. 而借助數學基本模型，將不同基本模型的解題方式教給學生，再遇到問題的時候，學生只需要從復雜的壓軸題中提取出基本模型，就可以完成解題，這樣大大地提高了教師關于壓軸題的教學效率.

基本模型在壓軸題中的應用

1. 基本模型在動態幾何類壓軸題中的應用

動態幾何問題是中考數學壓軸題的熱門考點，它主要考查學生結合圖形的分析和認知能力. 該部分的知識主要包含了點動、線動、面動等問題，主要研究這些數量關系的動態變化過程. 在動態幾何變化的過程中，它的規律是不變的，我們只需要抓住這一規律來分析題目就可以很好地解決這一問題，其中這一“規律”就是我們所說的基本模型.

通過對該壓軸題的分析可以看出，該題目涉及的是動態幾何問題，我們首先要挖掘出它的基本模型. 通過圖像我們可以看出該題目中的圖形主要涉及了A型、8型、K型，我們就圍繞這幾種模型圖的解法來對這一問題展開求解.

2. 基本模型在平面幾何類壓軸題中的應用

模型的思想不僅蘊藏于概念、公式等部分的知識中，還與數感、空間觀念密切聯系. 對于中考數學的壓軸題來說，它們重點考查學生的推理能力、綜合分析能力，很多時候基本模型不容易尋找，這個時候就需要我們去合理地構造基本模型，這樣才能夠完成壓軸題的求解. 在構造基本模型的時候，重點要抓住節點，一般情況下這類節點主要涉及比例、倍數的關系，這是構造輔助線和基本模型的關鍵所在. 例如，圖7、圖8中的D，E，O三點就屬于節點.

例：如圖9，在三角形ABC中，AD是BC的中線，E是AD的中點，連接CE 且CE的延長線交AB于點F，那么AF和BF之間存在什么樣的數量關系？

在解決這一問題的時候，首先要尋找節點，圍繞節點來構造基本模型. 在這一問題中，首先過D點作DG平行于AB交CF于點G，再證明三角形AEF和三角形DEG全等，然后證明三角形CGD和三角形CBF相似，這樣就可以求出AF和BF的數量關系.

3. 基本模型在代數幾何綜合類壓軸題中的應用

對于代數幾何綜合類的中考壓軸題來說，主要分為兩種，一種是借助簡單的幾何圖形來考查學生的計算能力，另一種就是側重幾何圖形，借助幾何圖形的性質來完成解題. 不論是哪一種題型，都需要我們去尋找其中的基本模型，進而簡化問題，完成問題的解答.

在解決這一問題的時候，尋找題目中的基本模型是解題的關鍵，題目中涉及到了直角三角形，我們就可以尋找關于K型圖的基本模型來求解. 在這一問題中，三角形PAE為直角三角形分為三種情況，分別是A為直角頂點的三角形、E為直角頂點的三角形和P為直角頂點的三角形.

基本模型思想教學建議

1. 培養學生基本模型的直觀感受

中考壓軸題綜合性較強，重在考查學生的推理分析能力和合理猜想能力，很多時候很難發現題目中的基本模型，需要我們深入分析，有時候還需要我們去構建基本模型，一旦找出基本模型，壓軸題就可以迎刃而解，因此，基本模型的尋找與構造非常關鍵.

首先，要教會學生看圖與識圖，在平時的教學中向學生滲透數形結合的思想，遇到問題先從直觀的角度去分析，然后再研究它們的數量關系. 其次，要培養學生分析問題的能力，想要解決壓軸題，就必須理清題目中所蘊含的數量關系，弄清楚所給的小題之間的關系，這樣能夠幫助我們更加快速有效地尋找基本模型. 需要注意的是，在解決壓軸題的時候，不要將精力放在押題上，那樣會事倍功半，我們要將基本模型的尋找和構造作為教學的重點來展開，這樣才能夠提高壓軸題部分教學的效率.

2. 教授學生基本模型的構造方法

通過前邊的分析我們可以看出，在課上進行壓軸題的講解耗時耗力，效率較低，借助基本模型，將壓軸題進行分類，能夠幫助我們高效地完成壓軸題的教學. 因此，發現和構造基本模型是解決壓軸題的關鍵所在. 學生在審題的時候，不要因題想題，要根據具體題型，尋找題目中隱含的基本模型，如有需要，還要去構造基本模型. 在教學中，教師不能夠因題去講題，要注重知識體系的講解，借助基本模型將知識構成體系，這樣才能夠幫助學生更好地分析壓軸題. 一旦掌握了基本模型，學生再遇到壓軸題，就不會望“圖”興嘆了.

總結

中考數學的壓軸題，涵蓋的知識較多，借助基本模型能夠將這些復雜的知識和題目加以分類，教師在對壓軸題的教學中就不需要花費大量的時間和精力以單個問題的形式來對學生講解，只需要借助基本模型，將這幾類壓軸題型加以說明，讓學生通過模型對號的方式完成教學，從而大大提高中考壓軸題的教學效果，提高學生解決中考數學壓軸題的能力.