考慮溫度效應(yīng)的懸索超諧波共振響應(yīng)研究

趙珧冰 金波 趙躍宇 黃超輝

摘 要：引入與張拉力和垂度相關(guān)的無量綱參數(shù)，可推導(dǎo)出整體溫度變化影響下懸索面內(nèi)非線性運動微分方程.首先利用Galerkin法得到離散后的無窮維方程，然后運用多尺度法求解其二階和三階單模態(tài)超諧波共振響應(yīng)的近似解，并得到幅頻響應(yīng)方程，最后通過數(shù)值算例探究三種垂跨比的懸索，溫度變化對其單模態(tài)超諧波共振響應(yīng)的影響.研究結(jié)果表明：當(dāng)垂跨比較小時，一定程度的溫度變化會導(dǎo)致其超諧波共振響應(yīng)發(fā)生定性和定量的改變，改變系統(tǒng)軟硬彈簧的性質(zhì)和程度，即改變其幅頻響應(yīng)曲線的偏轉(zhuǎn)方向和程度；溫度變化會改變激勵-響應(yīng)幅值曲線的單值/多解情況.然而當(dāng)垂跨比逐漸增大后，溫度變化對其共振響應(yīng)僅會產(chǎn)生定量的影響，且溫度變化與幅頻響應(yīng)曲線向左偏轉(zhuǎn)程度呈正比，即溫度上升，曲線向左偏轉(zhuǎn)程度加劇，軟彈簧特性增強，反之則減弱.由于懸索存在初始張拉力，升高和降低相同溫度對超諧波共振特性影響呈現(xiàn)出不對稱性.

關(guān)鍵詞：懸索；溫度變化；多尺度法；超諧波共振；幅頻響應(yīng)曲線

中圖分類號： 文獻標(biāo)志碼：A

Investigation of Super-harmonic Resonances of Suspended Cables Considering Temperature Variation Effects

ZHAO Yaobing 1?， JIN Bo 2， ZHAO Yueyu 2， HUANG Chaohui 1

（1.College of Civil Engineering， Huaqiao University， Xiamen 361021 China；

2. College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410082 China）

Abstract： By introducing two non-dimensional parameters on the cable tension force and sag， the in-plane nonlinear equations of motion of the suspended cable considering the temperature effects were derived. Firstly， the nonlinear partial differential equation was discretized by the Galerkin method. Then， the approximate solutions of the second and third order single mode super-harmonic resonances of the suspended cable were obtained by the multiple scales method， and the corresponding frequency response equations were also derived. Finally， the effects of temperature variations on the single mode super-harmonic resonances of the suspended cable with three different sag-to-span ratios were illustrated by the numerical calculations. The numerical results show that： in the case of the small sag-to-span ratio， the nonlinear vibration characteristics would be changed by a certain degree of the temperature change quantitatively and qualitatively， and the softening and hardening spring behaviors are changed， and it means that the degree and direction of the frequency response curves are changed. The single/multi-valued of the excitation-response amplitude curves are also varied by the temperature variations. However， with the increasing of the sag-to-span ratio， only some quantitative changes are found under the thermal effects. With the increase of the temperature changes， the frequency response curves are bent to the left much more， and the softening spring characteristic is also increased. Moreover， due to the initial tension force of the suspended cable， the effects of warming and cooling conditions on the vibration characteristics of the suspended cable are not symmetric.

Key words： suspended cable； temperature variations； multiple scales method； super-harmonic resonance； frequency response curves

在土木建筑、水利水電、機械工程、橋梁工程、海洋工程和航空航天領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的索結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)特性受周圍環(huán)境因素（如太陽輻射、溫度變化、濕度、風(fēng)以及降水等）影響非常明顯，而其中以溫度變化的影響較為突出.研究表明，索結(jié)構(gòu)的振動頻率、模態(tài)振型、阻尼系數(shù)、材料彈性模量，甚至是邊界條件等，都或多或少與溫度變化相關(guān)[1].研究發(fā)現(xiàn)：溫度效應(yīng)與損傷效應(yīng)對索結(jié)構(gòu)振動特性的影響處于同一個數(shù)量級[2].由此不難看出研究溫度變化影響下索結(jié)構(gòu)的振動特性意義重大.近年來，在索結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、損傷識別和索力測試等實際工程中[3]以及大跨度斜拉橋的非線性動力學(xué)等理論研究中[4]，研究人員越來越重視溫度效應(yīng)對索結(jié)構(gòu)振動特性的影響.

由于存在垂度和初始張拉力，使得懸索成為一類典型的、運動方程中同時包含平方和立方非線性項的柔性結(jié)構(gòu)[5-6].在各類荷載或支座運動激勵下，懸索很容易發(fā)生各類共振響應(yīng)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生大幅運動，比如：主共振、超諧波共振、次諧波共振、聯(lián)合共振、組合共振、參數(shù)共振和內(nèi)共振等[7-8].對于懸索的非線性動力學(xué)方程，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有可能由與激勵相同頻率的特解及自由振動項所組成.而由于運動方程中平方和立方非線性項的存在，其自由振動項的頻率有可能恰好變?yōu)榧铑l率的2倍或3倍，此時懸索將發(fā)生二階或三階超諧波共振[9].已有研究針對考慮溫度效應(yīng)影響下索和索梁結(jié)構(gòu)的頻率、張拉力、非線性自由振動和主共振等特性開展了相關(guān)研究[10-21]，但是對于常見的二階及三階超諧波共振的情況，溫度變化的影響仍值得進一步深入探討.

綜上所述，由于非線性項的次數(shù)將改變超諧波共振的階數(shù)，因此本文針對考慮溫度變化影響下的懸索非線性運動微分方程，首先利用Galerkin法將方程離散，然后采用多尺度法求得懸索單模態(tài)超諧波共振響應(yīng)的二階近似解，并得到其幅頻響應(yīng)方程.最后通過數(shù)值算例，從幅頻響應(yīng)曲線和激勵-響應(yīng)幅值曲線等方面，探究三種垂跨比的懸索，溫度變化對其二階和三階超諧波共振響應(yīng)的影響.

1 數(shù)學(xué)模型

圖1所示為水平懸索構(gòu)型及其特性，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB連線的方向為x方向，重力加速度g的方向為y方向，建立O-xy坐標(biāo)系.其中懸索跨徑為L，跨中垂度為b，x處的位移分別用u（x，t）和v（x，t）表示，P（x，t）為外激勵的分布函數(shù).根據(jù)增量熱場理論，當(dāng)周圍溫度發(fā)生整體變化時，懸索會形成新的熱應(yīng)力構(gòu)型，此時懸索的張拉力和垂度均會發(fā)生變化，從而影響其線性和非線性振動特性.懸索在溫度變化狀態(tài)下的靜力學(xué)特性可參考文獻[15-16]，不贅述.

1.1運動微分方程

本文不考慮溫度變化對懸索阻尼系數(shù)、線密度、彈性模量、橫截面面積以及邊界條件的影響.研究表明[12]：溫度效應(yīng)可通過引入兩個量綱為1的參數(shù)2和來體現(xiàn).具體而言，和2分別表示溫度變化后與溫度變化前的懸索張拉力的比值和垂度的比值[12，18].

基于上述假設(shè)，引入擬靜態(tài)假設(shè)，利用哈密頓變分原理建立懸索面內(nèi)非線性運動微分方程[18]：

2.2 超諧波共振（≈）

同理，對于三階超諧波共振，令：$$$$

.

3 算例研究

假設(shè)懸索彈性模量、線重和阻尼系數(shù)等均與溫度變化無關(guān)，其余各項物理參數(shù)分別為：L=200.0 m、A=7.069×10-2 m2、E=200 GPa、ρ=7 800.0 kg/m3、=1.2×10-5 /℃以及g=9.81 m/s2，無量綱的激勵幅值及阻尼系數(shù)分別為0.02和0.005.溫度變化越劇烈，系統(tǒng)振動特性受溫度效應(yīng)的影響也就越明顯，結(jié)合實際工程情況，本文溫度變化的范圍選擇為℃.當(dāng)溫度發(fā)生改變時，利用直接力法對懸索展開靜力分析，從而求得兩個無量綱參數(shù)2和大小[12，18]，結(jié)果見表1.

表1給出了溫度變化條件下，兩個無量綱參數(shù)的大小.由于懸索的垂跨比f大小對其非線性動力學(xué)特性影響明顯，因此本文研究三類垂跨比的懸索.由表1可知：當(dāng)不考慮溫度變化時，兩個無量綱參數(shù)恒等于1，此時本文所有推導(dǎo)的方程可以退化到已有文獻的計算結(jié)果[22]；隨著垂跨比由小到大，溫度變化對張拉力和垂度的影響會出現(xiàn)峰值，溫度效應(yīng)并不會隨著垂跨比增加而一直增強[15]；由于懸索存在初始張拉力，升高和降低相同溫度對其張拉力和垂度的影響不對稱[16].

研究表明：溫度變化與懸索固有頻率之間的正、反比例關(guān)系及初始張拉力有關(guān)[16]，而平方和立方非線性項的系數(shù)大小則與溫度變化基本呈正比例關(guān)系.圖2和圖3分別描繪了對于上述三類垂跨比懸索，發(fā)生單模態(tài)超諧波共振時，整體溫度變化對其幅頻響應(yīng)曲線的影響.懸索發(fā)生超諧波共振響應(yīng)時，會出現(xiàn)多值和跳躍現(xiàn)象，而初始條件決定了系統(tǒng)在物理上最終的穩(wěn)態(tài)解.溫度變化對懸索超諧波共振的影響非常明顯，其影響程度與垂跨比密切相關(guān).

圖2給出了當(dāng)外激勵頻率≈時，懸索發(fā)生超諧波共振時的幅頻響應(yīng)曲線.根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可以對所得穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性進行判斷，其中實線表示穩(wěn)定解，虛線表示不穩(wěn)定解.圖2（a）中，懸索垂跨比非常?。╢=0.006），此時相比于自由振動和主共振而言[17-18]，溫度變化對超諧波共振不僅僅是定量的影響.當(dāng)不考慮溫度變化時，曲線向右偏轉(zhuǎn)，展現(xiàn)出硬彈簧特性；溫度下降時，曲線向右偏轉(zhuǎn)加劇，硬彈簧特性增強；然而當(dāng)溫度上升時，幅頻響應(yīng)曲線向左偏轉(zhuǎn)，此時由硬彈簧特性轉(zhuǎn)變?yōu)檐洀椈商匦?

而圖2（b）中，懸索的垂跨比為0.01，當(dāng)不考慮溫度變化影響時，曲線向左偏轉(zhuǎn)；溫度升高，曲線向左偏轉(zhuǎn)加劇，軟彈簧特性增強；當(dāng)溫度下降時，曲線向右偏轉(zhuǎn).不難看出，對于垂跨比較小的懸索（f=0.006和f=0.01），溫度變化會導(dǎo)致其超諧波共振響應(yīng)發(fā)生定性和定量的改變，改變幅頻響應(yīng)曲線的偏轉(zhuǎn)方向和偏轉(zhuǎn)程度.

對于圖2（c），此時垂跨比的大小為0.015，不難看出在溫度變化影響下，振動特性并沒有發(fā)生定性的改變.從定量角度看，當(dāng)溫度上升時，幅頻響應(yīng)曲線向左偏轉(zhuǎn)加劇，軟彈簧特性增強；當(dāng)溫度下降時，曲線向左偏轉(zhuǎn)程度減弱，軟彈簧特性降低.假如懸索的垂跨比繼續(xù)增加（如f=0.02），與f=0.015類似，溫度變化僅會導(dǎo)致幅頻響應(yīng)曲線發(fā)生定量改變，此處不再贅述.

（a） f=0.006

（b） f=0.01

（c） f=0.015

圖3 溫度變化影響下懸索超諧波共振幅頻響應(yīng)曲線（≈）

Fig.3 Frequency response curves of the super-harmonic resonances of the suspended cable with thermal effects （≈）

圖3給出了當(dāng)外激勵頻率≈時，考慮溫度變化影響下，懸索超諧波共振時的幅頻響應(yīng)曲線.同理，通過研究方程奇點的性狀決定穩(wěn)態(tài)運動的穩(wěn)定性，圖中虛線和實線分別為不穩(wěn)定解和穩(wěn)定解.由圖3（a）可知（f=0.006），定性而言，當(dāng)溫度上升時，曲線會由原本的向右偏轉(zhuǎn)變?yōu)橄蜃笃D(zhuǎn)；從定量的角度而言，當(dāng)溫度下降時，共振響應(yīng)的幅值急劇減小，當(dāng)溫度上升時，共振響應(yīng)的幅值會明顯增大.

圖3（b）中（f=0.01），當(dāng)溫度下降時，共振曲線幾乎不發(fā)生偏轉(zhuǎn)和跳躍，曲線為單值曲線.同理從圖3（c）不難看出，當(dāng)懸索的垂跨比進一步增加時（f=0.015），溫度變化僅會導(dǎo)致共振響應(yīng)發(fā)生定量改變，跳躍點的位置和共振響應(yīng)幅值會發(fā)生明顯改變.此時溫度變化與幅頻響應(yīng)曲線向左偏轉(zhuǎn)的程度呈正比，溫度上升，軟彈簧特性增強.

圖4描繪了當(dāng)調(diào)諧參數(shù)-0.05時，懸索發(fā)生二次超諧波共振的激勵幅值和響應(yīng)幅值的關(guān)系曲線與溫度變化的關(guān)系.穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性判斷方法與之前一致，圖中虛線表示不穩(wěn)定解，實線表示穩(wěn)定解，而最終系統(tǒng)的真實響應(yīng)則取決于初始條件.如圖4所示，受溫度變化的影響，激勵-響應(yīng)幅值曲線有可能存在多解或者單值.具體而言，當(dāng)f=0.006時，若懸索周圍溫度上升（T=+40 ℃），則曲線會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，不再是單值曲線.當(dāng)f=0.01時，曲線在溫度下降的情況下（T=-40 ℃），是單值曲線，在不考慮溫度變化及溫度上升時，曲線均為多值曲線，存在明顯的跳躍現(xiàn)象.當(dāng)懸索垂跨比為0.015時，與幅頻響應(yīng)曲線類似，此時溫度變化僅僅產(chǎn)生定量的改變，曲線均會產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，存在多值區(qū)域.從激勵-響應(yīng)幅值曲線亦可看出，溫度變化會定性和定量地改變懸索的非線性振動特性.從上述分析結(jié)果來看，無論是從定量還是定性的角度，在懸索非線性動力學(xué)分析中，溫度變化是一個不容忽視且極其重要的影響因素.

（a） f=0.006

（b） f=0.01

（c） f=0.015

圖4 溫度變化影響下懸索超諧波共振激勵-響應(yīng)幅值關(guān)系曲線（≈）

Fig.4 Relationship between the excitation and response amplitudes of the super-harmonic resonances of the suspended cable with thermal effects （≈）

4 結(jié)論

溫度變化會直接影響懸索的張拉力及垂度，從而改變其非線性運動方程中線性項、平方和立方非線性項的系數(shù)大小.無論是二階還是三階，懸索單模態(tài)非線性超諧波共振響應(yīng)受溫度變化影響明顯.當(dāng)垂跨比較小時，一定程度的溫度變化會導(dǎo)致其超諧波共振響應(yīng)發(fā)生定性和定量的改變，即改變其幅頻響應(yīng)曲線的偏轉(zhuǎn)方向和偏轉(zhuǎn)程度大小，影響激勵-響應(yīng)幅值關(guān)系曲線的多值和單解性.當(dāng)垂跨比進一步增加時，溫度變化對其共振響應(yīng)會產(chǎn)生定量的影響，且溫度的變化與幅頻響應(yīng)曲線向左偏轉(zhuǎn)的程度呈正比，溫度上升，軟彈簧特性增加.由于懸索存在初始張拉力，相同程度的升溫和降溫條件對其超諧波共振響應(yīng)特性的影響不對稱.

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