“用數對確定位置”教學研究報告

一、問題

“用數對確定位置”是人教版小學數學教材五年級下冊的教學內容，在此之前，學生通過數軸認識到數軸上的點和數存在一一對應的關系，如果確定起點、方向和順序，則可以用數表示某個點在一條直線上（一維空間上）的位置。那么，二維空間上的點的位置怎么用數表示呢？笛卡爾的坐標系給出了用數對表示點的位置的方法。我們的教學旨在讓學生理解并掌握用數對確定位置的方法，感受數與形之間的聯系，發展空間觀念。

那么，教學用數對確定位置這一內容，我們到底從哪個點切入，才能讓學生掌握相關的基礎知識，拓寬視野？

1.教學中存在的問題

教材在編寫時選用學生熟悉的座位圖作為學習材料。老師們在教學這個內容時遇到了兩個問題：一是，將內容定位于“數學規定”的教學，教學時停留在用數對表示點的位置，或者反過來通過數對找到相應的點，內容單調枯燥，沒有進一步挖掘這一內容的數學意義。學生也無法通過本課的學習，感知后續將要學習的有關坐標系的知識。二是，課本上的座位圖是面向學習者，左下方是（0，0）的起點位置，學生能借助坐標確定位置。而學生用數對確認教室當中自己或者其他同學的位置時，由于坐標的起點和方向發生改變，與課本上的方向不一致，學生的空間轉換發生困難。如果教師使用教材例題提供的座位圖進行教學，學生容易與現實生活中教室的座位坐標混淆，不利于教學目標的達成。

2.對問題的分析

數確定位置這一內容，從空間的角度來說，應該分為三個層次，分別是數軸上的數的位置，平面直角坐標系中用數表示點的位置，空間直角坐標系中用數表示點的位置。我們的內容是在平面直角坐標系中研究用數表示位置，教學設計中，我們可以縱向地承前啟后，按照這樣的層次設計課堂。

通過研究教材我們發現，教材除了讓孩子們掌握用數對確定位置的方法外，還設置了這樣的練習讓學生理解：數對中數的運算引起圖形位置的變化；圖形位置發生變化，則表示圖形中相應的點的數對的數值也將有規律地變化。簡而言之，就是數的變化引起形的變化。為此，我們可以橫向地拓展教學內容。在學生學會用數對表示位置以后，可以將平面圖形放在平面直角坐標系中進行研究，讓學生體驗數的有規律的變化引起形的有規律的變化，初步感悟數形結合的思想。

基于以上思考，我們認為在本課的教學中，教師可以創造性地運用教材，借助情境幫助學生掌握用數對表示位置的方法，之后通過豐富的體驗讓學生感知數對中數的有規律的變化會引起圖形的變化，從而感知數與形之間的聯系。

二、實踐

（一）情境導入，探究新知

師：（課件出示圖1）小烏龜和小青蛙是好朋友，小烏龜來找小青蛙玩，調皮的小青蛙故意躲在一片荷葉下面。我們一起幫小烏龜喊：“小青蛙，你在哪？”

生：小青蛙，你在哪？（播放聲音：呱—呱—呱—呱，呱—呱）

師：小青蛙在告訴我們它的位置，你們聽懂了嗎？有什么想說的嗎？

生1：小青蛙先叫了4聲，再叫了2聲，我覺得應該是從左往右數的第四列，從下往上數的第二行。

生2：我覺得是從上往下數的第四行，從左往右數的第二列。

生3：我覺得是從左往右數的第四列，從上往下數的第二行。

生4：我認為是從右往左數的第四列，從上往下數的第二行。

師：（課件出示圖2）現在我們一共找到了4個位置，好像都有可能，看來只知道4，2這兩個數還不夠，小青蛙到底躲在哪片荷葉下面呢？沒辦法，我們把小青蛙請出來吧！（課件出示圖3）原來它躲在這！剛才是誰聽懂了蛙語？請你再來翻譯一下這個4，2分別表示什么意思。

生1：4表示的是從左往右數的第四列。（板書：4，列）2表示的是從下往上數的第2行。（板書：2，行）

師：有了這些規定，4，2確定的這個點就是小青蛙的準確位置。像這樣的一對數，在數學上我們把它叫做數對，并且用括號括起來（4，2），讀作“數對4，2”。我們一起讀一遍（生讀）。今天這節課我們就來玩用數對確定位置。（貼出課題）剛剛我們還找到了其他幾個位置，按照這個規定，用數對怎么表示？

學生運用數對表示出其他幾個位置，然后教師說數對，讓學生指位置。

【設計意圖】利用找青蛙的情境巧妙地引出數對，學生初步感知數對可以確定位置。

（二）鞏固練習，玩轉數對

1.體驗數對與點之間的一一對應關系

師：小青蛙除了會呱呱呱，還是抓蟲高手，請你用數對將小蟲所在的位置告訴小青蛙，讓它能夠迅速地捉到小蟲。（課件出示圖4）

生5：（4，3）。

師：嘿！吃掉啦。第二只！（生：略）謝謝你們，在你們的幫助下，小青蛙一下就把所有的蟲子給吃光了，請看小青蛙剛剛捉蟲的路徑，像一個什么圖案？（課件出示圖5）

生：這個圖案像小魚。

師：我也覺得像。看來小青蛙不但捉蟲厲害，還有畫畫的天賦。為了表示感謝，它畫了一幅畫送給大家，請看！（課件出示圖6）說好的畫呢？這不是數對嗎？有誰明白小青蛙的意思？

生6：我知道，是要將這些數對表示的點描出來。

師：你們覺得是這個意思嗎？請大家打開練習紙，將這些數對所表示的點標出來。（學生動手描點）

師：（課件出示圖7）同學們標出來的是這些點嗎？這是什么？我們聽聽小青蛙怎么說。（課件播放：再將數對中的兩個數交換位置）原來還沒有畫完呢。將兩個數字交換位置，那A點的兩個數字交換位置，還是（2，2），交換后A點還在這里，那其他點交換之后會在哪呢？請同學們接著畫。（學生繼續描點）標好了嗎？現在我們把這些點連起來，（課件出示圖8）大家看看這是什么？（生：是一顆愛心）仔細觀察這顆愛心，它是我們學過的什么圖形？（生：軸對稱圖形）是的，它就是一個軸對稱圖形，它的對稱軸就在這里。原來我們可以根據數對描出點，并連成圖形。

【設計意圖】學生根據點說出數對，根據數對描出點并連成圖形，充分體驗數對與點之間的一一對應關系。

2.體驗圖形的運動變化與數對行、列變化之間的聯系

師：這里有個三角形，它可以用哪些數對表示呢？（生：略）不錯！都找對了，這個三角形是可以運動的，別眨眼睛，看它是怎么動的。（生：向右平移了）沒錯，它向右平移了，此時它的三個頂點的數對又是多少？（生：略）真棒！都找對了，請同學們仔細觀察平移后的數對與原來的數對相比，有什么變化？（課件出示圖9）

生：列都加了3，行沒變。

師：其他同學發現了嗎？看來圖形變化，數對也會有相應的變化，比如剛才圖形向右平移了3格，它的列都加了3，行不變。如果列不變，行都加上一個相同的數，會怎么樣呢？（生：會向上平移）真的是向上平移嗎？我們試一下。（課件動態演示）看來行增加，它會向上平移；列增加，會向右平移。如果列和行同時加上一個相同的數，又會怎么樣呢？

生7：會往右上方平移。

生8：我認為會先往右平移再往上平移，或者先往上平移再往右平移。

師：我們來試一下，（課件動態演示，如圖10所示）可以看成是先往右平移5格再往上平移5格，或者先往上平移5格再往右平移5格，都可以到這里。這兩次平移加起來就是斜著移，如果此時每個數對的數字同時減去一個相同的數呢？當然是斜著移回來。數對可以加著玩，可以減著玩，還可以怎么玩？（生：還可以乘、除）如果每個數對的數字同時乘同一個數又會怎么樣呢？發揮你的想象力！

生9：我覺得會變大。（位置，形狀，大小）

生10：我覺得也會平移。

師：到底會怎樣呢？這次你們自己試一試。請翻開練習紙，將數對的兩個數都乘一個相同的數，看看圖形到底有什么變化。（學生動手畫，然后匯報）

生11：我都乘了3，我發現圖形變大了，位置也變了。

生12：我也發現三角形的大小變了，而且位置也變了。

師：你們都發現它們的大小變了，位置變了，還有什么發現？

生13：我發現這些圖形的大小和位置不一樣。

師：這是為什么呢？

生13：因為它們乘的數不一樣，乘的數越大，圖形就會越大，位置也會越遠。

師：其他同學還有什么發現嗎？

生14：我發現它們的形狀沒有變！

師：是的，剛剛我們探索發現，乘的數越大，圖形也會越大，位置也會越來越遠，而形狀是不變的。（課件動態演示，如圖11所示）

【設計意圖】學生初步體會給數對做有規律的運算，圖形也會有相應的變化；圖形有規律的變化，數對也會有相應的變化。

（三）數對與生活

師：同學們，有了數對，數和形就緊密地聯系起來了，在以后的學習當中，我們可以利用數來研究圖形，也可以利用圖形來探索數。這么偉大的發現，是法國著名的數學家笛卡爾帶給我們的。（播放課件，講述笛卡爾創立坐標系的故事，以及數對在生活中的運用）

【設計意圖】學生了解數對的產生以及在生活中的運用，感受數對的價值。

（四）數對抽獎

師：原來數對在生活中的運用也這么廣泛，同學們，我們現在所坐的位置可不可以用數對表示？先規定這是第一列，這是第一行，請把自己的位置用數對記下來。接下來我要用數對來抽獎，抽中誰誰就站起來領獎品！

教師第一次抽出（4，3），第四列第三行的孩子站起來領獎。第二次抽出（5，2），第五列第二行的孩子站起來領獎。第三次抽出（3，y），第三列的孩子都站起來。第四次抽出（x，4），第四行的孩子都站起來。

生：老師，他被抽中了兩次。

師：你太幸運了！你為什么會被抽中兩次呢？

生：我的位置用數對表示是（3，4），因為前面的（3，y）表示的是第三列，后面的（x，4）表示的是第四行，也就是（3，4）這個數對都在里面。

師：說得很好。那我最后抽一次吧！

教師抽出（x，y）。

生：哇，我們全中了！

師：全中了那就都站起來吧！每個人都有獎品，下課！

【設計意圖】數對與抽獎游戲融合，向學生滲透用字母表示數的思維方法。

三、討論

對于“用數對確定位置”這個內容，我們研究時首先思考的就是，如何處理用數對確定位置中規定性知識的教學。我們知道，在平面內，用兩個數組成一個有序數對就能表示任意一點的位置（這個看起來非常簡單。實則無比深刻的事實是17世紀法國哲學家、數學家笛卡爾發現的）。但是，在平面直角坐標系中，這個數對具體如何書寫，行寫在前面還是列寫在前面，是用括號表示還是用其他方式等有關細節都是一種人為的規定，屬于規定性知識。那么本節課，這些規定性知識以什么方式教給學生？應該花多少時間在這些規定性知識的學習上才合適？

通過閱讀相關的研究文章與課例，我們發現，很多老師喜歡把這個內容當作一個探究性問題來教，試圖重現笛卡爾數對的發現過程。其中不乏一些名師成功的優秀課例。但是，老師們紛紛效仿這種思路進行教學時卻常常碰壁，無法達到預期的效果。一個重要的原因就是，行還是列、哪個寫在前面、用不用括號等規定性知識都是人為的偶然選擇，有它的合理性，卻并無多少必然性。實際教學中，如果把握不好，容易陷入死胡同，導致教學進程推進得太慢，大半節課過去了，一個數對的規范寫法還沒有歸納出來。這就促使我們思考：一節課只圍繞數對產生的必要性和表示方法的優化上做文章，有沒有必要？一節課就教這些內容，課堂容量是否過小？換句話說，從數學的角度看，我們可不可以適當地多教給孩子們一些東西呢？

由此，我們逐步形成了本節課的設計思路。一是淡化數對的探究教學，將數對的規定性知識變為接受性學習。上課伊始就利用青蛙的叫聲提供一個數對。接著，拋出問題“小青蛙藏在哪里？”讓學生猜測這個數對表示的意義。這樣做的好處是：一方面，學生由于明確了是猜測和理解數對的意義及寫法，就不會產生“為什么要這樣”的疑問，從而自然地接受這些規定性知識；另一方面，要準確猜測小青蛙的位置，就必須弄清數對書寫的細節要求，這也確保了學生對規范書寫的學習。二是深挖用數對表示位置的數學價值，滲透數形結合思想。我們知道，用一個有序數對表示平面內任意一點的位置是數學史上一個偉大的發現。正因為如此，老師們教學“用數對確定位置”時都有一個共識：讓學生體會數對產生的必要性。然而，不得不承認，小學生要真正理解和體會這一思想是比較難的。小學生沒有學過解析幾何知識，無法感知笛卡爾的發現給數學帶來的飛躍和變化。在他們看來，用兩個數組成一個數對表示一個點的位置無疑是可行的，但卻沒有什么了不起，最多就是用來排個座位而已。我們認為，要讓學生對這一思想真正有所體會，恐怕提供給學生的材料還得更數學化一些才行。于是，教學中，我們提出一個大膽的設想，增加一個教學環節，讓學生探究數對的變化會引起圖形怎樣的變化。通過一個個具體的例子，學生觀察數對的變化引起了圖形相應的變化（軸對稱、平移、放大和縮小等），從中感受和欣賞數學的美，體會數對的價值。實際教學中，學生的學習熱情很高，無一不被數對變化后所帶來的美妙的圖形變化所折服。從這節課的研究中我們得到一個啟示：原來，像數對的變化引起圖形的變化，這種看起來更抽象的、更數學的東西，只要教學方式巧妙也是可以打動小學生的。這種具體的、看得見的數學美其實學生是能夠欣賞的。

（執筆：周璟、鄭志剛、王樹坤、徐旺、李闖）