纖維模型柔度法迭代的討論

趙航李竅

（1.陜西工業職業技術學院土木工程學院 咸陽 712000 2.山東省建筑科學研究院 濟南 250031）

1 前沿

Takayanagi and Schnobrich[1]的論文中，沿縱向將單元劃分為有限個尺寸較短的單元，用轉動彈簧來表示單元特性的非線性。而單元特性是由分割的小單元的中間位置處的特性所決定的。基于靜態凝聚的方法，單元的整體剛度、位移等特性由多個彈簧性質凝聚而來。Mariand Scordelis[2]在1984年提出了通過引入位移模式，求解節點位移變化，并將節點位移變化和單元截面變形結合起來，積分求取單元截面性質和單元抗力。截面的變形與抗力和單元節點的位移與抗力由插值函數聯系起來，與剛度法的差異在于將力的分布作為插值函數，通過迭代求解變形和抗力，本文將討論柔度法的迭代方式，并給出更簡潔的迭代方式。

2 柔度法迭代的討論

（1）位移模式

柔度法要預設單元受力的分布模式，而力的分布模式比較固定，單元再節點荷載作用下，力的平衡方程變化能保持穩定，只需要劃分較少的單元即可獲得較為準確的結果。

在未考慮剛體為位移模式的情況下，單元力向量為：

其中：M1，M2為桿端彎矩，N3為單元桿軸力。

假定單元內部彎矩線性分布，軸力為常值，則單元截面荷載向量為：

其中力的插值函數矩陣b（x）為：

由虛功原理可得單元柔度矩陣：

其中：δs（x）為單元截面的柔度矩陣。

剛度法中是基于Hermite位移插值函數，通過節點位移求解單元內部變形，再結合單元截面剛度，來求解截面受力，進而反推出單元抗力，再將單元抗力和節點荷載之差重新進行迭代計算，直到滿足限值要求，從而求解單元效應。而柔度法中則基于力的插值函數進行迭代，而主要求解截面殘余變形，并通過凝聚來求解單元殘余變形并反求荷載，反復進行迭代達到限值，從而確定單元狀態，最后把柔度陣轉為剛度陣，融入到結構層面里即可銜接到原有的剛度法處理軟件中，求解結構狀態。

（2）單元狀態的確定

在剛度法中，單元狀態和整體結構是同步迭代的，如圖1（a）所示，而力法中，單元和整體迭代非同步，每一個單元狀態下要進行獨立的迭代，并滿足力的分布模式如圖1（b）和圖1（c）所示。

文獻[3]在剛度法基礎上引入柔度法，有效的將力的位移模式與位移的位移模式融合起來。整體結構第i步的迭代如圖1所示。

（3）對柔度法迭代方式的討論

現對上述過程中殘余荷載的表達方式進行討論，單元殘余變形為：

圖1 單元狀態確定

在上述分析中，我們可以看到在迭代過程中，隨著截面殘余平衡力的減小，殘余變形也越來越小，當達到限值時，在整體結構層面的單元位移之間的協調關系仍然可以滿足，求解截面殘余變形及單元殘余變形是可以避免的，而計算機的優點在于其強大的計算能力，在基本計算環節中減少了不必要的步驟，在整個迭代過程中，則可避免大量不必要的計算過程，節省計算資源，提高運算效率。

現將具體過程表達為流程圖如圖2所示，省略了殘余變形，基本程序不受影響。

圖2 省略殘余變形的求解

3 結論

本文探討了的柔度法迭代的基本原理，并基于柔度法基本原理，通過調整迭代路徑，減少了截面殘余變形及單元參與變形的過程，從而簡化迭代步驟，而計算機解決此類問題的本質是依賴計算機強大的數據計算能力，基于基本的計算程序，進行多次的迭代計算，在基本程序的計算過程中，簡化步驟，可以大大提高整個對象的計算效率。