理論力學課程教材研究探討

丁持坤

摘要：本文介紹了理論力學課程教材研究過程中，在總體把握教材、矢量積及矢量微分、空間曲線、剛體轉動、坐標系和非慣性系動力學等方面的幾點認識。

關鍵詞：理論力學；教材研究；空間幾何；參考系

《理論力學》這門課程是在普通物理《力學》基礎上的進一步理論深化，它既有基礎理論性質又有應用技術性質，是很多物理專業后續課程的基礎。這門課程的教學最大難處在于一個矢量方程中，包含了很多分量方程，尤其是涉及到多維的情況后。要學生能學會，關鍵在于教師首先要深入研究教材，總體把握教材各部分的聯系以及它和物理專業其它課程之間的聯系與區別。因此，作者將自己的一些教學經驗和對教材的研究把握情況寫下來，供讀者參考。

一、教材總體把握。現在大部分高校使用的理論力學教材為文獻[1]。教材[1]涉及的都是牛頓力學，而國外的力學教材包含的范圍更廣一些，如文獻[2，3]都包含了愛因斯坦力學——相對論性力學。所有力學現象都是在一定的時間和空間里發生的。牛頓力學以時間t為運動軌跡的參數，用三維空間幾何來研究物體的運動；而愛因斯坦力學以間隔s為參數，用四維時空幾何來研究物體的運動。四維愛因斯坦力學是三維牛頓力學的一個自然延拓?？梢?，首先就要一定的幾何知識做基礎，而文獻[2]在第一、二章就專門講幾何知識。因此，教師要試圖灌輸一些幾何觀念。分析力學部分，包含了拉格朗日力學和哈密頓力學，在后續課程《量子力學》、《電動力學》等課程中有廣泛應用。拉格朗日力學用r個自由坐標（稱為廣義坐標，相應為r維廣義空間）來描述物體的運動，哈密頓力學用2r個坐標（廣義坐標和對應的廣義共軛動量，相應為2r維相空間）來描述物體的運動。2r維的哈密頓力學是r維拉格朗日力學的一個自然拓展。

二、矢量積及矢量微分。矢量叉積A=B×C的分量式：Ai=BjCk-BkCj，ijk對應著123、231、312，如A2=B3C1-B1C3；又如J=r×p，則J1=x2p3-x3p2。矢量的雙重叉積J=A×（B×C）的分量式：可以構建張量Tij=BiCj，T?A=∑TijAj，A?T=∑AjTji，則有J= T?A–A?T。矢量r的微分dr和d2r：這實際上就是微分幾何的知識了。對于把空間幾何結構完全用數來描述，如點和數、線段和矢量、片段和二階矢量、體段和三階矢量等，讀者可參看文獻[2]。dr和d2r總可以分為兩部分，沿r的部分和與r垂直的部分。如果r=rer，則dr=drer+rdθeθ，d2r=[d2r–（rdθ）2]er +（2drdθ+rd2θ）eθ，式中θ為r繞其始端轉動的角度。

三、空間曲線。主法線、副法線和切線：空間曲線的一點，總可以建立一個局域直角坐標系，這個坐標系的3個軸便是主法線、副法線和切線，和通常的xyz軸一樣，只是名稱的不同而已。主法線就是z軸，切線就是y軸，副法線就是x軸。zx平面就是曲線的法平面，zy平面就是曲線的密切平面，而xy平面就是曲線的切平面。

四、剛體轉動。Euler角：自轉角ψ和兩個確定自轉軸方向的角θ、φ。這里的θ和φ其實與球坐標系下的兩個角是一樣的意義，完全沒必要為是章動角或進動角的名稱而苦惱。角速度 =dφ/dt沿空間的固定豎直軸， 沿剛體自轉軸， 垂直于前兩者構成的平面。進動：自轉軸繞空間豎直軸或公轉軸的旋進，地球進動周期為26000年。進動使地球北極指向的星星（北極星）不斷更換，5000年前是天龍座α星，5000年后將是仙王座α星，而現在是小熊座的α星。章動：英文為nutation，點頭的意思。地球的自轉軸的“點頭”周期為18.6年，而我國古代歷法中將19年稱為一章，因此將nutation翻譯為章動是由來歷的。

五、坐標系。直角坐標（x，y，z）的特點是它的單位矢量eiejek不隨時間變化，是固定矢量。此時物體的運動方程為xi=xi（t），qα=qα（t），r=r（t）；速度為v= （t）=dr/dt，加速度為a= （t）=d2r/dt2。

自然坐標系（et，en）的特點是它的單位矢量是隨時間和空間變化的變矢量，能很好的描述曲線的曲率。此時物體的速度為v=vet，速率v=ds/dt。加速度為a= et +v2/ρ en，其中ρ為軌跡的曲率半徑，s為軌跡上某段弧的長度。

六、非慣性系動力學。平動參考系r=r0+r'中，速度v=v0+v'，加速度a=a0+a'。加上慣性力F0=-ma0后，就滿足力學不變性原理（principle of equivalence，即在非慣性系中牛頓定律F'=F+（-ma0）=ma'仍然成立）。

轉動參考系r=r0+r'中，速度v=v0+v'+ω×r'，加速度a=a0+a'+ ×r+ω×（ω×r'）+ 2ω×v'，式中v'=dr'/dter'，a'=dv'/dter'，ω為參考系轉動的角速度。此時就要加上4個慣性力才滿足力學不變性原理（F'=F+F0+Fl+Fr+Fc=ma'）：F0=-ma0、慣性離心力Fl=-mω×（ω×r）、變速轉動慣性力Fr=-m ×r、Coriolis慣性力Fc=-2mω×v'。

另外，教材[1]中的動量矩，應當改成角動量，因為只有涉及轉動情況時才會將線動量去乘以距離。還有，書本的第232頁，不要詳細講勒讓德變換的數學過程，以免增加學生的負擔。對于函數f（x，y），它的全微分df=udx+vdy。如果要變為以u和y為變量的函數g（u，y）時，只需令g=f-ux，則有dg=xdu+vdy，就達到了目的。這是和熱力學統計物理中的從內能導出其它熱力學函數的過程一樣的，參見文獻[3]。

結束語：教材研究是一個教師的基本功，首先對課程要有一個總體把握，抓住課程的綱。然后研究不同種類的教材，取長補短，從不同角度去發現力學知識的構建方法。要提高自己的教學能力，就要抓住主要的問題，抓住問題的實質。

參考文獻：

[1]周衍柏. 理論力學教程[M].北京： 高等教育出版社， 2007第三版.

[2]D. Hestenes. New Foundations for Classical Mechanics [M]. 科學出版社， 1999年第二版.

[3]H. Goldstein， C. Poole and J. Safko. Classical Mechanics [M]. 高等教育出版社， 2002年第三版.