平方反比有心力作用下的二體系統(tǒng)的一套初等教案

周國(guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430072)

自然界中典型的兩種引力——萬(wàn)有引力與靜電引力, 都屬于平方反比有心力系統(tǒng)[1-3], 除了遵守通常的有心力系統(tǒng)所滿足的機(jī)械能與角動(dòng)量守恒定律、比耐微分方程與位力(Viary) 定理之外[4-7], 還滿足其獨(dú)有的高斯定理和LRL(Laplace-Runge-Lenz的縮略)守恒矢量[6-12]。

科學(xué)史告訴我們，開普勒先后發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系的3個(gè)行星定律，牛頓由此推導(dǎo)出萬(wàn)有引力公式，但有關(guān)太陽(yáng)系行星的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，教材、文獻(xiàn)一般采用的求解是基于牛頓的萬(wàn)有引力理論及其經(jīng)典力學(xué)的比耐微分方程，或者運(yùn)用其他高等方法加以解決[4-7，13]，文獻(xiàn)[8-12]采用隆格-楞次守恒矢量方法，它是一種優(yōu)雅而精致的初等方法，僅需學(xué)生理解并使用三矢量混合積的輪換恒等式，以及四矢量混合積的拉格朗日公式等數(shù)學(xué)知識(shí)。本文面向大學(xué)理工科低年級(jí)大學(xué)生以及中學(xué)物理競(jìng)賽的師生，總結(jié)了自己長(zhǎng)期從事奧林匹克物理競(jìng)賽的培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)，并未遵循天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)史的發(fā)現(xiàn)軌跡，而從教學(xué)的方便性需要和理論的邏輯連貫性的目的出發(fā)，展示了有關(guān)這一問(wèn)題的另一套初等解決方案，即運(yùn)用牛頓的萬(wàn)有引力公式，以及有心力系統(tǒng)的機(jī)械能E的守恒性質(zhì)，并僅僅基于行星質(zhì)心繞太陽(yáng)質(zhì)心的周期性橢圓運(yùn)動(dòng)規(guī)律(開普勒第一定律)和公轉(zhuǎn)角動(dòng)量L的守恒性質(zhì)(等價(jià)于開普勒第二定律)，力避求解復(fù)雜的微分方程，突出利用一元二次方程的韋達(dá)定理等初等數(shù)學(xué)技巧，給出了在平方反比有心力作用下，開普勒系統(tǒng)之軌道問(wèn)題的一套初等教案。具體而言，本文推導(dǎo)了其軌道方程之諸參數(shù)、能量公式、特殊點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)(速率與曲率半徑)；再結(jié)合萬(wàn)有引力公式，用巧妙的初等方法逆向推導(dǎo)出開普勒三定律；進(jìn)而通過(guò)引入質(zhì)心系中二體開普勒系統(tǒng)的等效的單體描述，給出了前述理論對(duì)二體情形的修正和統(tǒng)一的表達(dá)形式。

1 有心力系統(tǒng)的一般性質(zhì)

自然界中存在著一類特殊力系——有心力系統(tǒng)，作用在質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)上，它可表達(dá)為

F(r)=f(r)r/r∥r

(1)

其中，r是質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)繞質(zhì)量為M的不動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)作開普勒運(yùn)動(dòng)的相對(duì)位置矢量。平方反比有心力系統(tǒng)具有一般有心力系統(tǒng)所共有的如下性質(zhì)：

(1) 角動(dòng)量守恒，即滿足開普勒第二定律。開普勒觀察太陽(yáng)系行星系統(tǒng)所得到的開普勒第二定律，即太陽(yáng)質(zhì)心(力心)與運(yùn)動(dòng)行星的質(zhì)心連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積是不變的、守恒的，亦即掠面速度守恒。它體現(xiàn)的不僅是平方反比有心力系統(tǒng)所特有的性質(zhì)，更是一般有心力系統(tǒng)普遍滿足的角動(dòng)量守恒這一共性規(guī)律。事實(shí)上，由于有心力關(guān)于力心的力矩為零r×F(r)=0，自然導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)關(guān)于力心的角動(dòng)量L=r×p=r×m守恒，稱為角動(dòng)量守恒定律

dL/dt=0

(2)

而掠面速度

(3)

即單位質(zhì)量的角動(dòng)量h=L/m之半。這是因?yàn)閨r×dr|/2正是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r在dt時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的無(wú)窮小三角形(扇形)的面積。

(2) 保守力特性與機(jī)械能守恒。

運(yùn)用文獻(xiàn)[14]的一個(gè)有關(guān)微分矢量的定理及其推論, 從F(r)∥r可得F(r)·dr=F(r)dr，進(jìn)而可證明一切有心力系統(tǒng)均為保守力系，滿足機(jī)械能守恒定律

mv2/2+V(r)=E

(4)

其中E，V(r)分別為有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能與勢(shì)能。

(3) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的平面曲線特性，即有心力作用下質(zhì)點(diǎn)必作平面軌道運(yùn)動(dòng)。

在相對(duì)力心(不動(dòng)質(zhì)點(diǎn)M)的慣性系，并以力心為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)(m)的位置矢量r(x,y,z)與其守恒的角動(dòng)量常矢量L(a,b,c)之間滿足正交關(guān)系L·r=0，這是因?yàn)長(zhǎng)=r×m⊥r，于是

L·r=ax+by+cz=0

(5)

這個(gè)平面方程說(shuō)明運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下必作平面軌道運(yùn)動(dòng)。容易驗(yàn)證，力心(0,0,0)就在此軌道平面上, 這正好符合開普勒第一定律的表述：“太陽(yáng)是這些橢圓軌道的焦點(diǎn)”,當(dāng)然必須在其軌道平面上。

(4) 有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的平面極坐標(biāo)(r(t),θ(t))滿足運(yùn)動(dòng)微分方程組

(5) 位力定理(Virial theorem)是一個(gè)帶有統(tǒng)計(jì)平均性質(zhì)的定理。無(wú)論宏觀或微觀領(lǐng)域，也無(wú)論經(jīng)典或量子情形，它都可以表示為〈T〉=-〈F·r〉/2。其中符號(hào)〈…〉表示對(duì)時(shí)間的平均。T是總動(dòng)能；F和r分別是作用于質(zhì)點(diǎn)上的力和質(zhì)點(diǎn)的位矢。克勞修斯(Clausious)把上式右邊叫作均位力，所以上式也稱位力定理。當(dāng)作用力具有勢(shì)能V時(shí)，F(xiàn)=-V,位力定理可表達(dá)為

〈T〉=-〈V·r〉/2

(8)

特別是對(duì)于平方反比有心力，位力定理可表達(dá)為

E=-〈T〉=〈V〉/2

(9)

(6) 在極坐標(biāo)系中，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌道r=r(θ)滿足比耐微分方程

mh2u2d2u/dθ2+u=-f1/u

(10)

其中u(θ)=1/r(θ)的第4、5、6條性質(zhì)式(6)～式(10)是本文力避使用的高等方法。

2 平方反比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的二次軌道問(wèn)題的初等方法

2.1 平方反比有心力系統(tǒng)的一般性質(zhì)

對(duì)于平方反比有心力系統(tǒng)，其勢(shì)能的表達(dá)式V(r)=k/r(設(shè)定無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零)，當(dāng)其中的常系數(shù)k=-GMm時(shí)，適用于萬(wàn)有引力系統(tǒng), 而當(dāng)常系數(shù)k=Qq/4πε0時(shí), 適用于質(zhì)量為M,電量為Q的點(diǎn)電荷與質(zhì)量為m, 電量為q的點(diǎn)電荷之間在M?m條件下的靜電場(chǎng)庫(kù)侖引力系統(tǒng)。其中勢(shì)能V(r)與相應(yīng)的平方反比引力場(chǎng)的引力F的關(guān)系為

F(r)=f(r)r/r=kr/r3=-(k/r)=-V(r)

(11)

因此

E=Ek+V(r)=mv2/2+k/r； dE/dt=0

(12)

因而根據(jù)牛頓第二定律,質(zhì)點(diǎn)(m)的動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為

dP/dt=-V(r)=kr/r3

(13)

其中P=m和分別為質(zhì)點(diǎn)(m)相對(duì)于不動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)(M)的動(dòng)量和速度。

2.2 平方反比有心力作用下的橢圓軌道問(wèn)題的初等方法

先討論單體質(zhì)點(diǎn)繞不動(dòng)的力心F2作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的理想情形(相當(dāng)于力心處質(zhì)點(diǎn)因其質(zhì)量遠(yuǎn)大于單體質(zhì)量而不動(dòng)的情形)。對(duì)于中學(xué)生，我們避開動(dòng)力學(xué)原因而直接承認(rèn)開普勒第一定律，(8大行星各自獨(dú)立地在一個(gè)以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道上作周期運(yùn)動(dòng))；并接受有心力的前述兩條性質(zhì)——機(jī)械能守恒、角動(dòng)量守恒(進(jìn)而滿足開普勒第二定律)；可將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能E與其繞力心的角動(dòng)量L(及其大小L)作為初始條件。如圖1所示, 在以橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為

x2/a2+y2/b2=1

(14)

圖1 平方反比有心力作用下的二次曲線軌道(以橢圓為例)

r(θ)≡r0/(1+ecosθ)

(15)

其中，r0為半正焦弦長(zhǎng)；e≡c/a為橢圓的偏心率。設(shè)r1，r2分別為右側(cè)焦點(diǎn)到左右兩拱點(diǎn)的距離(即到遠(yuǎn)日點(diǎn)及近日點(diǎn)的距離)，它們之間的幾何關(guān)系為

因此有

(18)

而偏心率

(19)

在拱點(diǎn)，r⊥，且

從式(20)、式(21)中消除v，可得拱點(diǎn)的位矢長(zhǎng)r，它們是如下一元二次方程的解

2Er2-2kr-mh2=0

(22)

韋達(dá)定理給出其兩根之如下關(guān)系

由式(16)及式(23)、式(24)立即可得橢圓軌道的能量公式

E=k/2a=-mh2/2b2=-L2/2mb2

(25)

再?gòu)氖?20)、式(21)中消除r，可得拱點(diǎn)的速率v，它們是如下一元二次方程的解

v2+2k/mhv-2E/m=0

(26)

韋達(dá)定理給出其兩根之如下關(guān)系

將式(23)、式(24)代入

(29)

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)在其機(jī)械能E<0的情形，0≤e<1，屬于橢圓運(yùn)動(dòng)；在其E=0的情形，由式(22)知軌道只有一個(gè)拱點(diǎn)，即近日點(diǎn)，偏心率e=1，屬于拋物線運(yùn)動(dòng)；在其機(jī)械能E>0的情形，e>1，屬于雙曲線運(yùn)動(dòng)。

對(duì)于橢圓軌道情形，由式(23)、式(25)，可得其諸軌道參數(shù)如下，半長(zhǎng)軸為

a=(r1+r2)/2=k/2E

(30)

焦距之半為

(31)

半短軸為

(32)

半正焦弦長(zhǎng)(對(duì)于e<1的橢圓情形)為

(33)

其中，守恒量E、L由系統(tǒng)初值或任意時(shí)刻/位置的瞬時(shí)值給定。另外，相應(yīng)于圓軌道情形，一元二次方程式(22)必有等根，其判別式Δ=4k2+8Emh2=0；或在式(29)中令偏心率e=0，可得如下圓軌道的能量公式

(34)

2.3 第三點(diǎn)的速率3的計(jì)算

第三點(diǎn)P3即軌道與y軸的交點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)P3的速率有兩種推導(dǎo)法

方法一：能量法, 由r3=a及機(jī)械能守恒，有

可得如下比例關(guān)系及v3的表達(dá)式

因而可求得v3之值

(35a)

以及一個(gè)意外的比例中項(xiàng)關(guān)系式(由式(28)可得)

(35b)

方法二：角動(dòng)量守恒法。在第三點(diǎn)及第一、二點(diǎn)處應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律

r3×m3=r1×m1=r2×m2

其大小亦為守恒量，即

注意到α3=(r3,3)，亦即r3與x軸反方向之夾角；在圖(1)的直角三角形中sinα3=b/a，結(jié)合r1r2=b2，代入上式化簡(jiǎn)，也得到同樣的比例中項(xiàng)關(guān)系式v3=再由式(28)進(jìn)而可得即式(35a)。

2.4 軌道曲線3個(gè)特殊點(diǎn)P1、P2、P3的曲率半徑

首先計(jì)算軌道在第三點(diǎn)P3處的曲率半徑。由r3=a及如下運(yùn)動(dòng)方程

(36)

和圖1中的直角三角形的邊角關(guān)系sinα3=b/a，可得

ρ3=a2/b

(37)

又由拱點(diǎn)處的法向動(dòng)力學(xué)方程

(38)

將以上二式相乘可得

m2(v1v2)2/ρ1ρ2=k2/(r1r2)2

又根據(jù)橢圓軌道的對(duì)稱性ρ1=ρ2，因此由上式及式(24)、式(28)可得

ρ1=ρ2=b2/a

(39)

再由式(37)、式(39)可得ρ1ρ3=ab，于是橢圓面積S=πab=πρ1ρ3,即拱點(diǎn)處與第三點(diǎn)處的曲率圓面積的比例中項(xiàng)。

2.5 開普勒第三定律的證明

對(duì)于束縛態(tài)情形的封閉的周期性橢圓軌道，k<0時(shí)，還有一條著名的開普勒第三定律。雖然歷史上它是由開普勒發(fā)現(xiàn)的一條獨(dú)立的定律，但我們結(jié)合開普勒第一、第二定律和軌道的特征，運(yùn)用牛頓萬(wàn)有引力理論，也可給出開普勒第三定律的初等證明。根據(jù)開普勒第二定律，對(duì)拱點(diǎn)處運(yùn)用式(3)、式(20)，可得

(40)

將橢圓面積公式S=πab及韋達(dá)定理的表達(dá)式(24)、式(28)代入上式可得

(41)

整理即得

a3/T2=-k/4π2m，或T2/a3=4π2/(-k/m)

(42)

對(duì)于萬(wàn)有引力系統(tǒng)，上式中-k/m=GM稱為太陽(yáng)(對(duì)于太陽(yáng)-行星運(yùn)動(dòng))或地球(對(duì)于地球-衛(wèi)星系統(tǒng))的高斯常數(shù)。

3 對(duì)二體開普勒運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的修正

3.1 二體問(wèn)題的質(zhì)心系與等效的單體描述

仿照文獻(xiàn)[10]的方法, 引入質(zhì)心C和質(zhì)心系的概念，即可將以上理論推廣應(yīng)用于二體問(wèn)題；它既能描述質(zhì)量任意的二體開普勒運(yùn)動(dòng)，又能同時(shí)適用于平方反比有心力系統(tǒng)。我們?nèi)匀灰云椒椒幢扔行牧ψ饔孟碌臋E圓軌道運(yùn)動(dòng)為例，討論開普勒二體系統(tǒng)作各類二次曲線軌道運(yùn)動(dòng)的判據(jù), 以及開普勒二體系統(tǒng)在質(zhì)心系中作相對(duì)束縛態(tài)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的能量公式。

圖2 實(shí)驗(yàn)室系中二體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)描述

E=Ek+V(r)=μv2/2+k/r=P2/2μ+k/r

(43)

相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為(本文不直接運(yùn)用)

μd2r/dt2=dP/dt=F(r)=kr/r3=-V(r)

(44)

由于質(zhì)心系中，二體系統(tǒng)不受外力及外力矩作用,因此質(zhì)心系中二體總角動(dòng)量L=r×μ=r×P也是守恒的。最終我們將二體問(wèn)題成功地轉(zhuǎn)化為在質(zhì)心系中折合質(zhì)量為μ的單體的軌道問(wèn)題。

3.2 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道曲線的平面極坐標(biāo)方程及分類判據(jù)，能量公式

基于以上等效的單體描述，可直接援引前文結(jié)論。在平方反比有心力作用下，二體運(yùn)動(dòng)的相對(duì)位置(r,θ)所滿足的極坐標(biāo)方程仍如式(15)，其偏心率e與半正焦弦長(zhǎng)r0在k<0時(shí)可分類表達(dá)。對(duì)于萬(wàn)有引力系統(tǒng)二體軌道運(yùn)動(dòng)的高斯常數(shù)修正為GM=G(m1+m2)。

而對(duì)于異號(hào)點(diǎn)電荷之間的靜電吸引力二體系統(tǒng)(k<0):

根據(jù)式(45)、式(47), 可得二體質(zhì)心系中相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌道曲線的判據(jù)。

當(dāng)總能量E<0，e<1，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于束縛態(tài)，其二體相對(duì)軌道為橢圓二次曲線; 尤其當(dāng)E=-μk2/2L2時(shí)，e=0, 軌道為圓形; 當(dāng)E=0時(shí),e=1，軌道為拋物線; 當(dāng)E>0時(shí), 軌道為雙曲線，又分為兩種情形：當(dāng)k=Qq/4πε0<0,總能量E>0時(shí)，即在異號(hào)電荷平方反比吸引力情形，由式(47)可知，e>1，相應(yīng)的二體相對(duì)軌道為焦點(diǎn)(質(zhì)心)在內(nèi)的雙曲線；而當(dāng)k=Qq/4πε0>0,總能量E>0時(shí)，即在同號(hào)電荷平方反比排斥力情形，計(jì)算可知，e>1，相應(yīng)的二體相對(duì)軌道為焦點(diǎn)(質(zhì)心)在外的雙曲線，極坐標(biāo)方程為：

r(θ)≡r0/(-1+ecosθ)

(49)

這是只有一個(gè)拱點(diǎn)(近日點(diǎn))，且焦點(diǎn)在外的散射型雙曲線軌道，其初等方法，作者擬另文專述。最后，二體各自相對(duì)質(zhì)心的軌道二次曲線分別為[10]

它們的軌道半正焦弦長(zhǎng)分別變?yōu)棣蘲0/m1及μr0/m2。而在平方反比有心吸引力作用下，二體Kepler系統(tǒng)的束縛態(tài)橢圓軌道的能量公式

E=k/2a

(52)

4 結(jié)語(yǔ)

基于有心力系統(tǒng)的機(jī)械能E的守恒性質(zhì)與開普勒第一、二定律，本文給出了開普勒二體問(wèn)題的一套初等的教學(xué)方案; 具體討論了運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在平方反比有心力作用下的束縛態(tài)橢圓軌道問(wèn)題，推導(dǎo)了其特征軌道參數(shù)、能量公式、軌道拱點(diǎn)等若干特殊點(diǎn)相對(duì)于力心的距離、速率與曲率半徑；并可推廣延伸到其他二次曲線(如拋物或雙曲線)軌道問(wèn)題，給出不同軌道類型的判據(jù)；這套解決問(wèn)題的初等方法，為從事普通物理與理論力學(xué)教學(xué)，以及參加物理競(jìng)賽或自主招生的師生們提供了一個(gè)參考教案。