對膜簧片型汽笛頻率影響因素的研究

馮艦銳 陳 聰 吳秀文 董愛國

(中國地質大學(北京)，北京 100083)

汽笛是一種氣動裝置，旨在產生一種非常大的聲音，起到警示的作用。它通常由一個產生壓縮空氣的源組成，通過把空氣壓入簧片或膜，再進入一個噴管，空氣氣流使簧片或薄膜振動，從而產生聲波[1]。

手按式汽笛由于音量大而且攜帶方便，也常被用來作為運動競賽或集會游行的造勢器材。使用高壓瓶或壓縮機的空氣喇叭音量更大，一般作為鐵路機車，貨車的安全警示裝置[2]。但是，目前的汽笛發聲部位主要由硬質金屬簧片組成[3]，且出于本質安全的需要，其頻率集中在較高的范圍，音色不夠友善。在其他應用中，例如機車鳴笛噪聲，在距軌道5m處，其聲壓級達到120dB之高。鳴笛聲的頻率成分主要在500～2000Hz的范圍內，它恰好與人的語言頻率相重，因此對人具有強烈的干擾性和煩躁影響[4]，并且該噪聲對人體最直接的危害是對聽覺器官的損害。基于該問題，拓寬汽笛的聲音頻域范圍具有重要實際應用價值。

膜簧片汽笛發聲主要是由薄膜的一階振動與空氣柱內的空氣振動發聲引起，目前，國內外的研究主要集中在簧片的振動[5，6]與聲音的激發[7]，而綜合考慮薄膜與空氣柱同時振動對聲音頻率影響的理論與實驗研究鮮見報道。在本研究中，汽笛內簧片由通常的硬質簧片改為軟質橡膠膜，減少金屬制品損耗的同時，拓寬汽笛所能達到的頻域范圍。該項改進對提高汽笛的性能、壽命和可靠性等有重要作用。

1 振動模型

1.1 薄膜振動模型

在聲學上，圓形薄膜上一點自由振動的動力學方程為[8]

(1)

其中，z(m)是薄膜上一點離開平衡位置的垂直薄膜面方向的位移；r(m)是薄膜上一點到圓心的距離；σ(kg/m2)是薄膜的面密度；T(N/m)為薄膜的張力。方程(1)的解為零階貝塞爾函數

(2)

根據膜邊界振動位移為零，即zRcon,t=0，代入公式(2)，得到

(3)

由公式(3)的第一個正根得到

(4)

其中，x01為零階柱貝塞爾函數J0x的第一個正根；Rcon(m)是薄膜的半徑或共振腔的半徑。

當插入的管子貼靠在薄膜的正中間時，圓形薄膜上某點的振動動力學方程為

(5)

其中，z，r和T同上；σc(kg/m2)是薄膜等效面密度；p(Pa)為腔體內壓強；p0(Pa)為標準大氣壓。由于空氣造成的附加質量mα在薄膜上均勻分布，為方便求解，定義σc滿足如下公式[9,10]

πR2σ+mα=πR2σc

(6)

由于腔體內壓強受充氣速率、薄膜性質等因素影響，并且與上一時刻的氣體狀態亦有關系，所以無法精確給出壓強對于時間的函數關系。

由于薄膜凸起的體積相對整個汽笛體積極小，故可忽略管內氣體體積的變化。由質量守恒定律和理想氣體狀態方程，可得汽笛腔內氣體質量對時間t的微分等于進出管子內部的氣體質量流速變化

(7)

其中，Qin(kg/s)是進氣質量流速；Qout(kg/s)是出氣質量流速；mintube(kg)是在管子內的氣體質量。

此外，出氣質量流速與流速的關系如下式

Qout=ρSinc

(8)

其中，ρ(g/cm3)是氣體密度；Sin(m2)是氣體流動截面的截面積；c(m/s)是氣體速率。

一般情況下，由于頻率為每秒幾十至幾百赫茲，即空氣的一個振動周期時間很短，因此進氣過程可視為絕熱流動。式(9)是將氣體的密度與溫度和壓強聯系起來的物態方程

ρ=MpT-1R-1

(9)

其中，M(g/mol)為空氣摩爾質量;R(8.314J/(K·mol))是理想氣體常數;T(K)是汽笛內空氣的溫度。式(10)是絕熱條件下的噴管流速公式[11]

(10)

其中，比熱容比γ=Cp/Cv;p0(Pa)為標準大氣壓。

由式(7)，式(8)，式(9)和式(10)聯立求解，并依據理想氣體狀態方程得到

(11)

其中，L(m)是管子的長度;Rtube(m)是管子半徑;Mmol是空氣的平均摩爾質量(29g/mol)。

圖1 膜簧片型汽笛結構示意圖

圖2 膜的部分振型(a) x01零階柱貝塞爾函數的第一個根對應的膜的形狀； (b) x02零階柱貝塞爾函數的第二個根對應的膜的形狀； (c) x11一階柱貝塞爾函數的第一個根對應的膜的形狀

式(11)具有柱貝塞爾函數的特征。用Matlab可解出周期函數p(t)的數值解確定周期(圖1)。由式(11)可見，當進氣質量流速增大時，膜通氣時的振動頻率減小，且通氣時振動頻率比固有頻率低。

1.2 管子內空氣柱振動模型

聲音傳出不僅通過振膜左側直接帶動空氣中的傳播，右側則通過插入的管道中的空氣振動進行傳播。聲音在管道內傳播的柱坐標波動方程為[3]

(12)

其中，p(Pa)是聲壓;r(m)是某點與管子軸線的距離;θ(rad)是該點的方向;z(m)是該點距離膜側管口的距離;vvoice(m/s)是氣體的速度。式(12)的解為[12]

pm=AmJmkrrcosmθ-φmexpjωt-kzz

(13)

當聲源關于軸對稱時，會產生造成膜振動頻率突變的截止頻率，其上界數值可以通過下面經驗公式(14)得到

(14)

2 實驗部分

在實驗中，通過改變氣球皮面密度、管子長度與半徑、共振腔半徑，以及進氣速率探究其對聲音基頻的影響。為了控制實驗變量，通過改變閥門的大小控制進氣速率。

2.1 實驗裝置

本實驗所用的膜簧片型汽笛是由PVC硬管，氣球皮和KT板搭建而成(圖1)。采用捷豹OLF-2524空氣壓縮機(額定排氣壓力為0.7MPa)來模擬人口吹氣，該方式也是實現實驗參數的定量化要求。測量壓強的設備為EDIS-GPS200。

2.2 聲音信號的采集與分析方法

使用SHURE MV51數字麥克風與iPhone手機對聲音信號進行采集[11]。聲音信號的分析方法是采用Matlab對采集到的聲音信號進行頻域解析，并在解析前首先用Matlab 降噪工具箱對聲音信號進行降噪處理。由于薄膜的頻率無法直接通過儀器測量得到，所以用薄膜產生的空氣振動頻率代替。

3 結果與討論

圖3 汽笛腔內壓強隨時間的變化關系

圖4 薄膜振動頻率與薄膜面密度的關系

圖3是膜簧片型汽笛腔內壓強即共振腔內部的壓強隨時間變化的關系曲線。由圖3可見，腔內壓強隨時間作周期性變化。在0～16ms內，腔內氣體壓強介于92.4kPa～92.8kPa范圍內變化，其變化差值為0.4kPa。可以看出，腔內氣體壓強的變化范圍在±0.43%，壓強可以看作基本不變，其與振膜的頻率一致。

圖4是薄膜振動頻率與薄膜面密度的關系。由圖4可見，隨著薄膜面密度從4mg/cm2增加到41mg/cm2時，膜振動頻率從243Hz減小到78Hz，分別對實驗數據進行二次非線性擬合得到

其中，f固(Hz)是薄膜固有振動頻率;f受(Hz)是氣體激勵下的薄膜振動頻率;σ(mg/m2)是薄膜面密度;用R2表示擬合優度，R2的值越接近1，說明回歸直線對觀測值的擬合程度越好。由于薄膜振動可以等效為在薄膜中心附加一個重物，而薄膜的面密度增大時，這個等效重物的質量也增大。根據阻尼振動方程

(17)

圖5是薄膜振動頻率與共振腔半徑的關系。當共振腔半徑由2cm增大到7cm時，氣體激勵下的薄膜振動頻率從168Hz減小到47Hz，分別對實驗數據進行非線性擬合后得到關系式為

圖5 薄膜振動頻率與共振腔半徑的關系

該結果說明，當Rcon=2Rtube時，共振腔半徑對薄膜振動基頻的影響，隨著共振腔的半徑增加，薄膜振動的固有頻率和氣體激勵下的薄膜振動頻率都下降。該結果與理論分析的式(4)和式(5)的結果相吻合。另一方面，在一維振動的情況下，共振腔的半徑可以等效為振動表面的波長，當共振腔的半徑增大時，等效波長也增大。由于擾動在薄膜上的傳播速率不變，當共振腔的半徑增大時，氣體激勵下的薄膜振動頻率減小。

圖6 實際測量的振動頻率與管子長度的關系(共振腔的長度為10cm)

圖6是實際測量的振動頻率與管子長度的關系。當管子的長度由0.12m增加到0.18m時，實際測量的振動頻率在211～243Hz之間波動；但是，當管子長度由0.4m增加到1.40m時，實際測量的振動頻率從294Hz減小到116Hz。實驗得到的趨勢與理論分析的公式(4)相吻合。對管子長度由0.4m變化到1.40m范圍內的數據進行非線性擬合后得到的關系式為

(20)

在一維振動的情況下，管子的長度可以等效為管子內基頻的波長，當管子的長度增大時，基頻的波長也增大。由于空氣中波的傳播速率不變，當管子的長度增大時，雖然氣體激勵下的薄膜振動頻率不變，但是，聲音的傳播通過管子，兩種振動的波耦合對外表現為實際測量的振動頻率減小。雜亂的點表示在l從0.12～0.18m時f基本不變，所以沒有進行擬合，這個時候主要是空氣柱振動發聲。在氣體從汽笛腔體內進入管道時，與管口摩擦形成頻率有一定連續寬度的邊棱音，邊棱音激發管道內氣柱形成耦合共振，聲音的頻率會限制在管子內空氣中振動的基頻，所以基本不變，但是由于測量誤差會有波動。

圖7是氣體激勵下的薄膜振動頻率與管子半徑的關系。在Rcon=0.02m的條件下，當管子半徑RTube由0.40cm增大到1.0cm時，氣體激勵下的薄膜振動頻率從330Hz減小到317Hz，呈現反比關系，與理論部分的式(11)結果相吻合。經過非線性擬合后得到的關系式為

(21)

圖7 氣體激勵下的薄膜振動頻率與管子半徑的關系

圖8 氣體激勵下的膜振動頻率與進氣速率的關系

圖8是氣體激勵下的薄膜振動頻率與進氣速率的關系。由圖8可以看出，當進氣速率在0.4g/s以下及2g/s以上時，采集不到聲音; 而當進氣速率從0.4g/s增大到1.2g/s時，聲音信號的頻率從146Hz減小到95Hz，對進氣速率由0.4g/s增大到1.2g/s范圍內的數據進行非線性擬合后得到關系式為

(22)

當進氣速率增大時，氣體作用在薄膜上的沖量增加，導致薄膜的振動幅度增大，聲音信號頻率減小；另一方面，由于管內部的體積可以認為近似不變，進氣速率增大必然導致薄膜附近的氣體壓強增大，氣體密度增大，附加質量增大，從而導致聲音信號的頻率減小。此外，進氣速率在1.2～1.4g/s之間時，聲音信號的頻率存在斷層，即從95Hz躍變到56Hz，并且該現象重復性良好，與理論部分的式(14)相吻合。當邊棱音接近二倍基頻時空氣柱振動頻率發生躍變。在本實驗室所能達到的條件下，影響聲音信號頻率的部件排序為空氣柱>薄膜。

由于膜振動與空氣柱振動都是主要聲源，當質量流速Q增加時，頻率下降，音色改變，當空氣柱發聲消失時，頻率有向低的一次突變的趨勢。當薄膜離開管口，在管口附近會出現激波。間斷面迅速坍塌產生頻率極高的聲波，但是，這部分聲波會被管道抑制。由于音色主要由高階的振動決定，并且在管道傳聲的過程中，聲音的高頻部分被抑制，所以管道在傳聲過程中對音色有影響。

4 主要結論

本文解決了基于膜簧片的新型汽笛的頻率的影響因素，并且依據理論模型與實驗之間的對比，驗證了簡化模型的正確性。根據理論模型和得到的實驗結果，改善了汽笛性能。理論公式中，壓強關于時間的表達式無法求解析解和數值解，但能給出變化趨勢。對于薄膜而言，當薄膜半徑減小，面密度減小，膜張力增大時，聲音信號的頻率也增大；對于空氣柱而言，當管子長度和半徑增大，聲速減小時，聲音信號的頻率卻減小。但是，半徑的影響不是由于它是聲源，而是它抑制高頻的截止頻率的變化和它引發的聲速變化的共同作用。總體來看，整體的基頻為膜和空氣柱的基頻交替作用，同時管道傳聲對高頻部分的抑制作用還會改變音色，提高汽笛的性能。