利用Tracker研究氣墊導軌上彈簧振子運動

史振宇 丁益民 張余夢 殷子棋 蔣富麗

(湖北大學物理與電子科學學院,湖北 武漢 430062)

Tracker是國外針對物理教學而開發的視頻跟蹤分析和建模工具軟件，可以手動或自動跟蹤對象的位置、速度和加速度等并動態顯示[1]。氣墊導軌上的彈簧振子運動可以看作水平方向無摩擦的直線運動，在彈簧質量不能忽略的情況下,在氣墊導軌上研究彈簧振子的簡諧運動，將彈簧本身的動能考慮在內，可以來研究短時間內彈簧振子系統運動中的機械能守恒問題[2]。而對于系統中長時間的運動必然要考慮黏滯阻力的存在,一般阻尼系數的計算可從品質因數的角度推算,當阻尼很小時，采用最大速度衰減法的近似求得氣墊導軌的阻尼系數較為準確方便[3]。本文通過錄制氣墊導軌上彈簧振子從簡諧運動到阻尼振動全過程的運動視頻,分不同時間段利用Tracker軟件較為準確地追蹤氣墊導軌上彈簧振子運動中的位置，并得到其運動的相關數據。在此基礎上,通過建立坐標軸、定標桿，結合形象直觀的圖像、表格進行定量分析。研究短時間段彈簧振子運動圖像,驗證彈簧振子系統中的機械能守恒,并對長時間段的彈簧振子運動圖像進行函數擬合,研究其做阻尼振動的運動規律,并計算滑塊在氣墊導軌上運動中的阻尼系數。

1 實驗原理

氣墊導軌上彈簧振子的簡諧振動原理圖如圖1所示。兩彈簧l1,l2的勁度系數分別為k1=1.592N/m、k2=1.767N/m；質量分別為m1=0.0075kg、m2=0.0075kg；滑塊質量為M=0.2300kg。

圖1 氣墊導軌簡諧振動示意圖

(1)

(2)

對式(1)積分得

(3)

(4)

整個系統動能與勢能之和為

(5)

(6)

當滑塊在平衡位置時,彈簧l1、l2伸長后長度分別為x1=0.569m、x2=0.529m,以滑塊在平衡位置處為原點，滑塊位置為x時，Δx1=x1+x、Δx2=x2-x.令滑塊在不同位置的機械能為E0、E1、E2、E3、E4、…,前后位置機械能的差為

ΔE=En-1-En(n=1,2,3,…)

(7)

當ΔE=0時，系統機械能守恒，考慮到氣墊導軌上的阻力的影響，ΔE不可能為零，但ΔE越小，說明系統能量損失越小，實驗結果越精確。

2 實驗操作

(1) 實驗準備。下載安裝Tracker軟件，按圖1安裝好實驗設備，固定好拍攝設備(手機或普通數碼相機均可)，視頻幀率為25幀以上即可得到較好的效果。

(2) 拍攝視頻。為了方便捕捉滑塊的運動，在滑塊中心部位貼上邊長為2cm的白色方塊紙片作為質點對象。將滑塊移離平衡位置后釋放，讓滑塊開始運動，拍攝視頻。

(3) 導入并分析視頻。將拍攝的視頻導入Tracker,建立適當的坐標軸，選取合適的參照物確定定標桿長度，本實驗以滑塊自身為參照物，設置定標桿長度為0.16m。創建一個質點，在視頻中確定好質點對象，點擊搜索，軟件將自動搜索質點對象運動中的位置，并描繪相應的圖像。圖2為Tracker導出的滑塊x-t圖像,右側為相應的數據。

圖2 滑塊的位移(x)-時間(t)圖像

3 數據處理及分析

分析圖2可以得出，在將近5個周期內，系統的最大振幅基本相等，而在最大振幅處滑塊的速度為零，則此時系統的動能與勢能之和等于勢能大小，且系統的機械能趨近相等。為了更好地驗證系統的機械能守恒，利用Tracker分析得到滑塊運動的v-x圖像如圖3所示。

在經歷了這樣特殊的課程之后，從新加坡中學走出來的學生具有非常敏銳的“批判性思維”和“辯證思維”，他們的邏輯思維能力快速成長，也同樣對于他們的學術課程大有助益。

圖3 滑塊的速度(v)-位移(x)圖像

從圖3中選取5個點，記錄質點對象位置x與速度v，將選取的5組數據代入式(6)計算系統總的機械能，并按式(7)計算兩點之間的機械能損失量ΔE。取圖3第一行數據x0=0.158m,v0=0.379m·s-1為初始狀態，代入式(6)計算初始狀態的機械能E0得E0=0.559J。

表1 取5個點計算所得實驗數據

在數據表格中，每10行記錄的數據時間間隔為0.333s。從實驗結果可以看出，系統的振動在相鄰的幾個周期內損失的機械能ΔE非常小，可以近視看作總機械能守恒的簡諧運動。但時間間隔越大時，機械能損失也越大。

由于阻力不可避免，隨著時間的推移，系統的機械能也隨之減小，為了完整地研究這種振動，可利用Tracker記錄較長時間的振動圖像，進一步分析系統的阻尼系數。圖4是Tracker記錄滑塊運動2分鐘的x-t圖像。隨時間的增加，滑塊運動的最大振幅明顯減小，說明系統在長時間的運動過程中有較為明顯的機械能損失。

圖4 滑塊的位移(x)-時間(t)圖像

若考慮氣墊導軌上的粘滯阻力，

Ff=-bv

(8)

其與滑塊運動的速度成正比，b為阻尼系數。

-(k1+k2)x-bv=Ma+m0a

(9)

(10)

令M+m0=M0,式(10)可寫為

(11)

其解為

x=Ae-β tsin(ωdt+θ)

(12)

可得

(13)

對式(12)求導得

v=Ae-β t(-β)sin(ωdt+θ)+Ae-β tcos(ωdt+θ)ωd

(14)

將式(13)代入式(14)得

(15)

當x=0時，滑塊處于平衡位置

v=ωdAe-β t

(16)

由式(16)可知在平衡位置處滑塊速度關于時間呈現指數衰減。利用Tracker分析得到滑塊的v-t圖，在平衡位置處，滑塊的最大速度隨時間的衰減如圖5所示。

圖5 滑塊的速度(v)-時間(t)圖像

4 結語

綜上所述，氣墊導軌上的彈簧振子運動在短時間內機械能損失極小，可以近似地看作機械能守恒的簡諧振動。但對于其長時間的運動，必需要考慮氣墊導軌上阻尼的存在。利用Tracker軟件對氣墊導軌上彈簧振子運動進行分析，可以精確記錄氣墊導軌上滑塊運動的軌跡，并直接對其運動數據進行采樣，且數據量大，方便選擇處理。該方法方便、快捷、直觀、高效，其實驗結果與理論值相比誤差很小，具有很高的推廣價值。