考慮修形的斜齒輪系統非線性激勵與動力學特性研究

魏靜 王剛強 秦大同

摘要： 斜齒輪的嚙合剛度與輪齒誤差的求解是三維空間問題，其修形后的嚙合剛度計算方法不同于直齒輪，而傳統解析方法在計算斜齒輪嚙合剛度時沒有考慮斜齒輪嚙合線和嚙合位置的三維空間位置，無法準確得到修形后的斜齒輪系統嚙合剛度激勵與誤差激勵。建立綜合考慮齒廓修形和齒向修形的剛度與誤差非線性耦合激勵模型，研究不同齒廓修形參數與齒向修形參數對斜齒輪嚙合剛度以及系統動力學特性的影響規律；以系統振動加速度幅值最小為優化目標，確定斜齒輪系統的最佳修形值，利用數值方法得到斜齒輪系統的振動加速度幅頻響應曲線，研究結果發現：選取的最佳修形參數可有效降低斜齒輪齒數交替區嚙合剛度的波動，大幅度降低共振點附近的振動加速度幅值；最后通過建立的齒輪傳動系統實驗平臺進行系統動力學特性實驗研究，驗證了理論模型及分析結果的正確性。

關鍵詞： 斜齒輪； 齒廓修形； 齒向修形； 非線性激勵； 動力學特性

中圖分類號： TH132.4； O322文獻標志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0561-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.003

引言

齒輪傳動系統由于在齒數交替區載荷波動較大，會引起系統的振動和噪聲[1]；另一方面由于齒輪受載后產生彎曲變形和扭轉變形，造成輪齒沿齒寬方向接觸不均勻，出現偏載現象[2-3]。而齒廓修形可以補償齒輪實際嚙合過程中的基節偏差，減緩嚙合剛度波動，減小嚙合沖擊[4-5]；齒向修形能有效改善載荷沿輪齒接觸線的不均勻分布，避免邊緣接觸，從而提高齒輪承載能力。

剛度激勵計算方法主要有材料力學方法、近似代替法、切片法、有限元方法等。Chaari等[6]利用材料力學方法，考慮直齒輪彎曲變形、剪切變形、徑向壓縮變形、赫茲接觸變形和輪體變形計算直齒輪的嚙合剛度。Liu等[7]采用近似代替法，利用斜齒輪嚙合線時變性代替嚙合剛度的變化。由于近似代替法存在較大誤差，Ajmi等[8]采用切片法，將斜齒輪沿齒寬方向離散成一片片薄片斜齒輪，然后根據變形協調方程求得每片薄片斜齒輪彈性變形和嚙合剛度，并與有限元方法所得結果對比驗證。

齒輪系統動力學模型按自由度數可以分為：純扭轉模型[9-10]、彎扭耦合動力學模型[11]、彎扭軸擺耦合動力學模型[12]。其中彎扭軸擺耦合動力學模型比其他模型考慮的自由度更多，因此更能反映齒輪系統的真實情況。在早期的齒輪動力學建模過程中，將誤差激勵和剛度激勵分別代入動力學模型中進行齒輪動力學分析[13]。隨著研究的深入，Chen等[14]基于材料力學方法提出了新型的綜合嚙合剛度與傳遞誤差耦合的非線性激勵解析計算模型，建立了考慮輪齒誤差影響的直齒輪嚙合剛度模型。王奇斌等[15]在Chen的基礎上，拓展了該模型，建立了考慮齒向修形的直齒輪嚙合剛度解析模型，并與有限元方法作對比，結果表明在不同修形量下兩種方法求解的嚙合剛度相對誤差不超過5%。

現有文獻多關注于單一修形方式對齒輪動力學特性的影響，且研究對象一般為直齒輪。斜齒輪的嚙合剛度與輪齒誤差是一個三維空間問題，其修形后嚙合剛度的計算方法不同于直齒輪，而傳統解析計算方法在計算斜齒輪嚙合剛度時沒有考慮斜齒輪嚙合線和嚙合位置的三維空間位置，無法計算修形后的斜齒輪嚙合剛度與輪齒誤差。

齒廓和齒向綜合修形示意圖如圖3所示。僅考慮齒廓修形時，斜齒輪修形后端面示意圖如圖3（a）所示，虛線表示斜齒輪理論齒廓，實線表示斜齒輪實際齒廓，齒廓修形曲線為直線。修形后齒廓曲線上任一點修形量為Cax=Ca（xLa）（6）式中Ca表示最大齒廓修形量，La表示齒廓修形長度，x為該點到齒廓修形起始點的距離。

隨著修形量的增大，斜齒輪嚙合剛度值逐漸減小，傳遞誤差隨之增大；在齒數交替區域，嚙合剛度波動先逐漸變小到定值后又隨著修形量增加剛度波動逐漸變大。

先逐漸變平緩到趨于直線后又隨著齒廓修形長度增加剛度曲線斜率逐漸變大。結合圖4（c）和（c）可知齒廓修形量為30 μm，修形長度為6.4 mm時，嚙合剛度均方差最小，即嚙合剛度波動最小，與未修形相比剛度均方差減小幅度為95.02%。

2.2僅考慮齒向修形參數對斜齒輪剛度和傳遞誤差的影響圖6給出了齒向修形長度Lc=10 mm，齒向修形量Cc分別為0，5，10，15，20，25 μm時， 斜齒輪綜合嚙合剛度，傳遞誤差以及剛度均方差。對比圖4和圖6可知，與齒廓修形相同的是隨著齒向修形量的增大，斜齒輪嚙合剛度值逐漸減小，傳遞誤差隨之增大；嚙合剛度波動先逐漸變小到定值后又隨著修形量增加剛度波動逐漸變大。不同的是雖然合適的齒向修形量也減小了嚙合剛度的波動，但是對齒數交替區域嚙合剛度的影響沒有齒廓修形對齒數交替區域嚙合剛度的影響明顯。

圖7給出了齒向修形量Cc=15 μm，齒向修形長度Lc分別為0，5，10，15，20，25 mm時，斜齒輪綜合嚙合剛度、傳遞誤差以及剛度均方差。 對比圖6和圖7可知，除幅值稍有不同之外，齒向修形長度對嚙合剛度與誤差的影響與齒向修形量對嚙合剛度與誤差的影響變化趨勢一致，結合圖6（c）和圖7（c）可知，當修形量為15 μm，修形長度為10 mm時，剛度均方差最小，即嚙合剛度波動最小，與未修形相比剛度均方差減小幅度為94.587%。

2.3綜合考慮齒廓和齒向修形參數對斜齒輪剛度和傳遞誤差的影響以齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長度La=6.4 mm作為最佳齒廓修形值，在此基礎上，研究不同齒向修形量和不同齒向修形長度對斜齒輪剛度和傳遞誤差的影響。

圖8給出了齒向修形長度Lc=5 mm，齒向修形量Cc分別為0，2.5，5.0，7.5，10.0，12.5 μm時，斜齒輪綜合嚙合剛度、傳遞誤差以及剛度均方差。從圖8（a）和（b）知：不同齒向修形量對少齒嚙合區剛度和傳遞誤差幾乎沒有影響，但對齒數交替區和多齒區剛度和傳遞誤差影響較大；隨著齒向修形量增加，嚙合剛度波動先減小到定值后增大，而傳遞誤差變化趨勢與嚙合剛度相反。

圖9 給出了齒向修形量Cc=5 μm，齒向修形長度Lc分別為0，2.5，5.0，7.5，10.0，12.5 mm時，斜齒輪綜合嚙合剛度、傳遞誤差以及嚙合剛度均方差。對比圖8和9可以看出，在同一齒廓修形參數下，除幅值不同之外，不同齒向修形長度對嚙合剛度與傳遞誤差的影響與不同修形量對嚙合剛度與傳遞誤差的影響變化趨勢一致。結合圖8（c）和圖9（c）可知，以齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長度La=6.4 mm作為最佳齒廓修形值，齒向修形量為5.0 μm，修形長度為5 mm時，嚙合剛度均方差最小，即嚙合剛度波動最小，與未修形相比剛度均方差減小幅度為96.69%。

3考慮修形的斜齒輪傳動系統動力學響應3.1斜齒輪傳動系統動力學模型用有限元法[17]建立如下式所示的斜齒輪系統動力學方程M+C+KX=F（10）式中M為質量矩陣；X為廣義坐標；C為阻尼矩陣，包括轉子陀螺力矩；K為剛度矩陣；F為外載荷向量。

根據動力學方程建立12自由度平行軸系斜齒輪轉子系統動力學模型，如圖10所示，由大小齒輪、一級平行軸系、軸承組成。可將系統分為軸段單元、斜齒輪嚙合單元以及軸承單元，為考慮軸段單元的剪切變形，用改進的Euler-Bernoulli梁作為軸段單元的理論模型，詳細單元模型和矩陣形式可參考文獻[17]，其中軸1共由7個軸段組成，一共8個節點，軸2共由10個軸段組成，共11個節點。

將求得的齒輪嚙合剛度均值K12=5.98×108 N/m代入系統動力學模型中，耦合系統的無阻尼固有頻率如表2所示。

齒廓修形長度La=6.4 mm，修緣量Ca分別為0，10，20，30，40，50 μm時，特殊節點主齒輪節點的x和θz方向隨轉速變化的振動加速度幅頻曲線如圖11所示。θz方向振動加速度可由θz方向振動角加速度變換可得。主動輪x方向振動加速度幅頻曲線在嚙合頻率fN等于系統第14，16和21階固有頻率時出現共振峰；當嚙合頻率等于f16/2時，出現二次諧波共振峰。主動輪θz方向振動加速度幅頻曲線在嚙合頻率fN等于系統第13，14和16階固有頻率時出現共振峰；當嚙合頻率等于f14/3，f14/2和f16/2時，出現高次諧波共振峰。隨著齒廓修形量的增加，主動輪振動加速度幅值整體呈減小的趨勢，修形量為30 μm時，振動加速度幅值減小幅度最大，此時系統的共振峰也減少了。修形量繼續增大時，振動加速度幅值反而上升。與未修形相比，修形后系統的共振峰出現了偏移，而且隨著修形量的增加，偏移趨勢越趨于明顯。

齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長度La分別為0，1.6，3.2，4.8，6.4，8.0 mm時，特殊節點主齒輪節點的x和θz方向隨轉速變化的振動加速度幅頻曲線如圖12所示。對比圖11和12可以看出，在相同位置、不同齒修形量和修形長度下，主動輪振動加速度幅頻曲線整體變化趨勢一致，只是幅值大小略有所不同。修形長度為6.4 mm時，振動加速度幅值降低幅度最大。

3.3僅考慮齒向修形的系統動力學響應

齒向修形長度Lc=10 mm，齒向修形量Cc分別為0，5，10，15，20，25 μm時，特殊節點主齒輪節點的x和θz方向隨轉速變化的振動加速度幅頻曲線如圖13所示。不同齒向修形量下主動輪振動加速度幅值變化曲線與不同齒廓修形參數下得到的振動加速度幅值曲線變化規律大致相同。齒向修形量為15 μm時，振動加速度幅值減小幅度最大。

3.4綜合齒廓修形和齒向修形的系統動力學響應

取齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長度La=6.4 mm作為最佳齒廓修形值， 在此基礎上，研究不同齒向修形量和不同齒向修形長度對斜齒輪系統振動響應的影響規律。

通過圖11和12可知，經過合適的齒廓修形，斜齒輪系統的動力學性能已經得到很大的改善，因此齒向修形值不宜過大。取齒向修形長度Lc=5 mm，齒向修形量Cc分別為0，2.5，5.0，7.5，10.0，12.5 μm時，特殊節點主齒輪節點的x和θz方向隨轉速變化的振動加速度幅頻曲線如圖15所示。綜合齒向修形和齒廓修形與只進行齒廓修形相比，主動輪振動加速度幅頻曲線變化趨勢一致；隨著齒向修形量的增加，振動加速度幅值整體降低，當修形量為5.0 μm時，振動加速度幅值最小，修形量繼續增大時，振動加速度幅值反而上升。

齒向修形量Cc=5 μm，齒向修形長度Lc分別為0，2.5，5.0，7.5，10.0，12.5 mm時，特殊節點主齒輪節點的x和θz方向隨轉速變化的振動加速度幅頻曲線如圖16所示。對比圖15和16可知，不同齒向修形量和齒向修形長度下主動輪振動加速度幅頻曲線變化較為一致，當修形長度為5.0 mm時，振動加速度幅值最小。由此確定齒輪綜合最佳修形值為：齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長度La=6.4 mm，齒向修形量Cc=5 μm，齒向修形長度Lc=5 mm。

4斜齒輪傳動系統動力學特性實驗研究

4.1實驗臺搭建和實驗設計根據高鐵牽引齒輪傳動系統的運行工況，設計不同的實驗工況，并進行穩態實驗，從而得到不同負載、不同轉速下的斜齒輪傳動系統的振動特性和規律。高鐵牽引齒輪傳動系統實驗平臺搭建和布置如圖17所示。由于驅動電機的額定輸出轉速遠低于實驗所需的高鐵牽引齒輪箱的輸入轉速，所以增加陪試齒輪箱，作為增速器使用。

為減少信號在傳遞過程中的衰減，應在靠近振動源的地方布置振動加速度測點，如齒輪箱軸承座處。布置振動加速度測點在輸入軸承座處和兩邊的輸出軸承座處，如圖18所示。每個測點有3個方向（橫向、垂向、軸向），測點編號為1x，1y，1z，2x，2y，2z，3x，3y，3z。其中測點1在輸入軸承座處，測點2和測點3為輸出軸承座處。

分別進行兩組實驗：（1） 空載實驗：除去負載激勵的影響，此時可以忽略電機轉速波動影響，系統的振動響應信號可認為僅由齒輪傳動系統的內部激勵造成的；（2） 穩定工況實驗：獲得不同實驗工況下的穩態振動響應信號，研究系統的動力學特性。穩定工況實驗又可分為轉速平穩工況和扭矩平穩工況，高鐵牽引齒輪箱分為正轉（從輸入軸方向看，逆時針為正轉）、反轉兩個方向，小齒輪軸額定輸入轉速4100 r/min，額定輸出轉速1688 r/min，額定輸入扭矩為1300 N·m，額定輸出扭矩為3160 N·m。

4.2實驗結果與理論分析對比驗證

由于理論模型沒有對箱體進行有限元建模，而實驗得到的振動加速度有效值是從箱體表面所測的，需做如下處理：實驗結果取所有測點的總振動加速度平均值，理論計算結果取軸承和齒輪上具有代表性的節點總的振動加速度平均值，然后通過實驗結果來驗證理論模型及分析結果的正確性。

轉速平穩實驗工況下，測點1，2和3的x，y和z各方向的振動加速度平均值隨負載的變化如圖19所示。將齒廓修形量Ca=30 μm，齒廓修形長度La=6.4 mm，齒向修形量Cc=5 μm，齒向修形長度Lc=5 mm作為齒輪最佳修形量代入動力學模型，得到斜齒輪系統轉速平穩工況下的振動加速度幅頻曲線，理論結果與實驗結果對比如圖20所示。隨著負載的增加，理論振動加速度幅頻曲線和實驗測得結果振動加速度曲線變化趨勢一致，均呈下降趨勢。不同的是空載到額定負載區間，實驗值大于理論值；超過額定負載時，理論值大于實驗值。理論值與實驗值振動加速度誤差如表3所示。在額定轉速和額定負載情況下，理論值與實驗值振動加速度誤差約為5.4%，驗證了理論模型的正確性。

扭矩平穩實驗工況下，測點1，2和3的z方向的振動加速度有效值隨轉速的變化如圖21所示。在轉速為3500 r/min時，振動加速度幅值曲線出現了共振峰。現對比空載工況下和扭矩平穩工況下理論與實驗結果，從圖22（a）可知，空載工況下，理論得到的振動加速度幅值是隨著轉速的上升而近似線性上升，而實驗結果是：當轉速小于3000 r/min時，振動加速度幅值呈近似線性上升趨勢，當轉速從3000 r/min至3500 r/min時，振動加速度幅值上升幅度增加，這與實驗測得轉速為3500 r/min時箱體向加速幅值曲線出現共振峰結果是一致的。由圖22（b）可知，扭矩平穩工況下振動加速度幅值隨轉速增加而增加，在轉速為2500和3500 r/min時出現了峰值；理論計算得到振動加速度幅值曲線整體趨勢與實驗結果基本吻合，在轉速為2500 r/min時，理論振動加速度幅值曲線出現了峰值，但卻沒有在3500 r/min時出現共振峰。主要原因由于建模時沒有考慮箱體等結構件對系統振動影響導致結果出現一定的偏差。

5結論

（1） 建立斜齒輪剛度與誤差非線性激勵耦合模型，研究不同齒廓修形量和齒廓修形長度以及不同齒向修形量和齒向修形長度對斜齒輪嚙合剛度和傳遞誤差的影響。選取合適的修形值可有效減小斜齒輪齒數交替區嚙合剛度波動。

（2） 考慮系統的內部激勵和外部激勵，研究不同齒廓修形量和齒廓修形長度以及不同齒向修形量和齒向修形長度時系統的振動響應規律；隨著修形值的增加，系統振動加速度幅值減小，共振峰減少；當修形量繼續增加至一定數值時，系統振動加速度幅值上升，說明系統存在最佳修形量。

（3） 通過建立的齒輪傳動系統實驗平臺進行動力學特性實驗研究，得到不同工況下振動加速度幅頻曲線并進行對比分析，驗證了理論模型及分析結果的正確性。

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Abstract： Meshing stiffness and tooth error of helical gears are three-dimensional space problem， the calculation method of mesh stiffness after modification are different with spur gears. However， the traditional analytical method in the calculation of the helical gear meshing stiffness without considering the three-dimensional space position of helical gear meshing line and the meshing position， stiffness excitation and error excitation of a helical gear system after modification cannot be accurately obtained. A nonlinear coupling excitation model of stiffness and error considering profile relief and crown relief is established.Based on the model，the influences of profile relief parameters and crown relief parameters on the meshing stiffness of the helical gear and the dynamic characteristics of the helical gear transmission system are studied respectively. Taking the minimum amplitude of the vibration acceleration as the optimization objective， the optimum modification values of the system are determined. The amplitude and frequency response curves of vibration acceleration of helical gear system are obtained by numerical method. The research results show that selecting the optimum modification parameters can effectively slow down the meshing stiffness fluctuation of the alternating area of teeth， and greatly reduce the amplitude of system vibration acceleration near the resonance point. Finally， the dynamic characteristics of the helical gear are researched with the experimental platform of high speed rail traction gearbox transmission system， and the correctness of the theoretical model is verified.

Key words： helical gear； profile relief； crown relief； nonlinear excitation； dynamic characteristics