基于LMI的不確定結構魯棒H∞控制研究

王磊 譚平 崔林釗

摘要： 以含有界隨機參數(shù)結構模型為控制模型，研究了不確定結構的魯棒H∞控制問題。在控制系統(tǒng)設計過程中，通過Gegenbauer多項式將不確定結構控制模型中隨機參數(shù)引入到結構的確定性擴階系統(tǒng)之中；再基于該擴階系統(tǒng)，結合有界實引理，采用線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）推導得到控制系統(tǒng)的增益矩陣，使得閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)對不確定性擾動滿足H∞干擾抑制。最后通過一結構算例，結合自定義的魯棒性能評價指標，分析比較了基于不同控制模型設計的控制系統(tǒng)魯棒性能的差異。仿真分析結果表明，模型參數(shù)和環(huán)境激勵的不確定性對控制系統(tǒng)控制效果有較大影響，所述控制系統(tǒng)設計方法相較其他兩類方法具有更好的魯棒性。

關鍵詞： 振動控制； 魯棒控制； 線性矩陣不等式； Gegenbauer多項式； 有界實引理

中圖分類號： TB535； TU311.3文獻標志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0629-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.010

引言

近幾十年來，由于結構主動控制相對于傳統(tǒng)被動控制技術具有振動控制效果好、適應范圍廣、檢測修復便捷等優(yōu)點，逐漸引起了各國學者的廣泛研究 [1-2]。但是在以往的研究中，控制系統(tǒng)的設計多需依賴精確的控制模型[3-5]，然而控制模型只是實際結構的近似和簡化，其本質上仍存在不確定性[6]；同時外界環(huán)境激勵如地震、海浪和風等也具有很強的不確定性。這些廣泛存在的不確定性都會影響控制系統(tǒng)的控制效果，甚至破壞結構系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一個良好的控制系統(tǒng)應具有一定的魯棒性來應對模型和外界環(huán)境的不確定性[7]。因此，發(fā)展結構的魯棒控制策略具有重要的理論意義和實際應用價值[8-10]。

在魯棒控制策略研究中，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)是最重要的性能指標之一，H∞控制可不依賴控制系統(tǒng)的精確模型，能較好地抑制結構參數(shù)和外界環(huán)境的不確定性對控制性能的影響[11-15]。文獻[11]以H∞性能作為控制目標之一，提出了考慮結構參數(shù)不確定性的魯棒控制器設計方法；文獻[12]將地震激勵視作一干擾信號集，研究了最優(yōu)及次優(yōu)H∞狀態(tài)反饋控制器；文獻[13]研究了多層偏心結構的魯棒H∞控制問題；文獻[14]基于隨機有界實引理（stochastic bounded real lemma），研究了離散時間系統(tǒng)的魯棒控制問題；文獻[15]提出了分散輸出反饋H∞控制系統(tǒng)的設計方法，并研究了地震激勵下控制系統(tǒng)對于結構的控制效果。雖然研究者們已對H∞控制系統(tǒng)進行了深入研究，但在以往的研究中，考慮環(huán)境激勵的不確定性的研究較多，針對不確定結構進行魯棒控制系統(tǒng)研究的相對較少，并且在已有的不確定結構的H∞控制器設計研究中，模型的不確定性參數(shù)也常被假設為范數(shù)有界形式[16]，即在設計的過程中僅考慮參數(shù)的上下界，以最不利狀態(tài)進行控制系統(tǒng)設計。對于最壞擾動發(fā)生概率較小的結構，前述設計方法將以犧牲系統(tǒng)其他性能為代價來保證控制系統(tǒng)魯棒性，其設計的控制系統(tǒng)將過于保守。

針對上述問題，本文通過賦予參數(shù)的取值區(qū)間以合適的概率，以含有界隨機參數(shù)結構模型為控制模型，研究了不確定結構的魯棒H∞控制問題。首先，基于Gegenbauer多項式將控制模型化為均方殘差最小意義下的確定性等效擴階系統(tǒng)，再選取該擴階系統(tǒng)進行魯棒控制系統(tǒng)設計。在整個控制系統(tǒng)設計過程中，基于有界實引理和線性矩陣不等式（LMI）將最優(yōu)H∞控制問題轉化為帶有線性矩陣不等式凸約束的極值問題，從而簡化了控制系統(tǒng)設計。最后通過算例比較了基于不同控制模型設計的最優(yōu)H∞控制器對于不確定結構響應的控制效果，驗證了本文所述方法具有更好的魯棒性。

3仿真分析

如圖2所示，某3層剪切型不確定框架結構，結構頂層設置主動質量阻尼器（Active Mass Damper，簡稱AMD）控制系統(tǒng)，相應結構名義模型和AMD參數(shù)如表1所示。假設結構的1層剛度k1具有不確定性，其取值區(qū)間為k1∈[k0-3υk0，k0+3υk0]，k0為1層剛度名義值（如表1所示），變異系數(shù)υ設為0.2。控制系統(tǒng)基于3種結構模型進行設計，分別為不考慮結構參數(shù)的不確定性，直接基于結構名義模型設計的最優(yōu)H∞控制AMD1；僅考慮結構不確定參數(shù)的上下界，基于傳統(tǒng)不確定模型設計的魯棒最優(yōu)H∞控制AMD2[13，16]；以及本文所述方法設計的AMD3。

對于AMD2系統(tǒng)，設為不確定性實數(shù)，滿足<1，則1層剛度k1=（1+δk）k0，其中δk=3υ。對于本文所述方法，假設1層剛度在取值區(qū)間內的概率分布如式（15），其概率密度曲線如圖3所示pλ=aλb[1-（k-k0b）2]λ-0.5（15）式中aλ=Γ（λ+1）Γ（0.5）Γ（λ+0.5），Γ（·）為gamma函數(shù)b=3σ=3υk0，λ=4.2。以上參數(shù)使式（15）在取值區(qū)間內與實際工程中常用的截尾正態(tài)分布函數(shù)（相同均值和方差）具有很高的相似性[17]。對前述AMD3控制模型，取三階Gegenbauer多項式Gλ0～Gλ2作為展開基底帶入式（5），依據1.2節(jié)所述形成擴階系統(tǒng)。

在實際地震和隨機地震作用下，不同控制系統(tǒng)在無偏差、首層剛度偏差±30%條件下的控制性能如圖5所示，圖中控制率定義為（IU-IC）/IU，其中IU，IC分別為未控結構和受控結構層間位移響應峰值。圖5（a）～（c）顯示了在實際地震動作用下，控制系統(tǒng)對于結構1～3層層間位移峰值的控制效果；隨機地震作用下控制系統(tǒng)對于結構層間位移均方差的控制效果如圖5（d）所示。通過對圖5分析可知，隨著樓層的增高，控制系統(tǒng)的控制效果逐步增強，并且不同的外激勵對于控制效果的影響也隨之減弱。這是由于AMD布置在結構的頂層，隨著樓層的增高，控制力的影響將逐漸增強。對不同的AMD系統(tǒng)比較可以發(fā)現(xiàn)，無論對于層間位移響應的峰值還是均方差，AMD2的控制效果相對較優(yōu)，AMD1的控制效果相對較差。當結構1層剛度發(fā)生±30%的偏差時，在不同的地震作用下，控制效果有著不同的變化規(guī)律。對于El Centro波，隨著1層剛度的逐漸增大，在1，2兩層控制效果顯著降低，其中相對于AMD3，AMD1和AMD2控制效果降低較快，在結構的第3層，AMD1控制效果逐漸降低，AMD3控制效果先升后降，AMD2控制效果逐漸增強。而在Northridge地震波和隨機地震作用下，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出了較好的魯棒性。因此，針對外界激勵的不確定性對控制系統(tǒng)控制效果的影響，在控制系統(tǒng)設計和評價過程中需加以考量。

圖6給出了地震動作用下AMD2和AMD3控制力峰值、均方差相對于AMD1的比率。結合圖5，6分析可知，相較于AMD1，AMD2和AMD3通過較大的瞬時控制能量和總能量輸入確保了較好的控制效果和魯棒性。這是因為在控制系統(tǒng)設計過程中，AMD2和AMD3考慮了結構參數(shù)的不確定性，并且隨著選取的結構模型參數(shù)不確定性的增強，魯棒控制系統(tǒng)需要更多的控制能量減小擾動抑制度γ∞，因此，僅考慮結構不確定參數(shù)上下界的AMD2所需控制能量最大。

為了消除3種控制系統(tǒng)控制力峰值差異對控制效果的影響，進一步深入比較控制系統(tǒng)的魯棒性能，現(xiàn)定義J1（控制效果的標準差）、J2（控制效果的變異系數(shù)）、J3（J3=（I1-I2）/I3；I1，I2，I3分別為不確定性結構控制效果的最大值、最小值和平均值）作為控制系統(tǒng)魯棒性能的評價指標，其中，對于實際地震動，分別采用前述El Centro波和Northridge波作用下不確定性結構的6個控制效果樣本進行評價指標的計算，以消除激勵的不確定性所產生的影響。

表2，3分別列出了在實際地震或隨機地震作用下控制系統(tǒng)評價指標。從表2中可以看出，對于結構層間位移響應峰值，除表2中2行4列J1指標外，AMD2和AMD3的評價指標都明顯小于AMD1，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出了較好的魯棒性，通過進一步的比較，AMD3的魯棒性能又稍好于AMD2。對于隨機地震作用下結構層間位移響應均方差，在評價指標J2和J3下，AMD3的魯棒性能優(yōu)于AMD1，AMD2。進一步比較J1可以發(fā)現(xiàn)，AMD1控制效果的標準差較小，AMD2的標準差最大。但相較于控制效果標準差（指標J1），指標J2和J3給出了控制效果離散程度的相對值，能更好地代表控制系統(tǒng)的魯棒性能。因此，在進一步結合表2，3中控制力峰值和均方差的評價指標，可以看出相較于其他控制系統(tǒng)，AMD3在較小的控制力波動下取得了更好的魯棒性能。

4結論

本文基于線性矩陣不等式（LMI）、Gegenbauer多項式和魯棒控制理論，研究了針對不確定結構的控制系統(tǒng)魯棒性能，并通過算例比較了基于不同控制模型的最優(yōu)H∞控制設計方法對結構響應的控制效果和控制效果魯棒性能，給出了魯棒性能最優(yōu)的H∞控制器設計方法。研究結果表明：

1）基于不同控制模型設計的控制系統(tǒng)對不確定結構響應峰值和均方差都有一定的控制效果，其中基于結構名義模型設計的AMD1系統(tǒng)其控制效果最差，基于傳統(tǒng)不確定模型設計的AMD2控制效果最優(yōu)，但控制系統(tǒng)設計相對保守，所需能量較大，基于本文所述方法設計的AMD3系統(tǒng)，其控制效果優(yōu)于AMD1次于AMD2。

2）針對最優(yōu)H∞控制，隨著結構模型參數(shù)不確定性的增強，降低擾動抑制度γ∞的代價將逐漸增大。相較于AMD1， AMD2和AMD3要通過較大的瞬時控制能量和總能量輸入確保較優(yōu)的控制效果，其中，AMD3的控制模型中參數(shù)的不確定性較AMD2弱，所以其對于γ∞的控制代價較AMD2小，所需控制能量較AMD2少。

3）結構首層剛度的偏差和地震動的不確定性將直接影響AMD系統(tǒng)的控制效果。通過自定義的魯棒性能評價指標的比較，表明本文所述H∞控制設計方法相較傳統(tǒng)設計方法具有更好的魯棒性。

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Abstract： A mathematical model for dynamics of any real structure is always just an approximation for the physical reality of the structure. There are always uncertainties in the structure modeling. The robust control for an uncertain structure is discussed based on the model with bounded random parameters. Bounded random parameters of the model are first introduced into the deterministic equivalent model through Gegenbauer polynomial. Then the proposed robust controller is obtained by linear matrix inequalities （LMI） based on bounded real lemma，meanwhile，the H∞ disturbance suppression of the closed-loop control system is satisfied for all allowable uncertainties. To facilitate the computation of the proposed optimization problem，an efficient solution procedure based on the LMI toolbox of Matlab is employed. A 3-story structure with stiffness uncertainty is simulated to compare the performance of three robust controllers. The results of vibration control analysis show that the proposed controller design method is more efficient and robust than the other two robust controllers.

Key words： vibration control； robust control；linear matrix inequality（LMI）；Gegenbauer polynomial；bounded real lemma