基于復雜網絡方法的既有雨水管段脆弱性判定

楊秋俠，晁昕逸

(西安建筑科技大學土木工程學院，陜西 西安 710055)

城市既有雨水管網系統作為城市重要的排水設施，負責城市雨水的收集和輸送，同時也承擔著城市防洪、排澇的重要責任[1]。雨水管網系統能否安全可靠運行，直接關系整個城市的經濟發展和居民生活的便捷和安全[2]。我國許多城市在經受暴雨的洗禮后，發生過不同程度的洪澇災害，導致地面嚴重積水，引發城市的內澇問題，嚴重影響城市的交通和居民的正常生活。隨著城市化進程的加快，雨水管網系統在順利排除雨水的過程中存在許多不確定性，比如因為施工或疏于管理等原因導致雨水管被破壞、堵塞，影響排除雨水。由于這些不確定因素的存在，城市雨水管網系統經常處于不穩定的狀態，時刻面臨著排除雨水不暢的問題，威脅著城市交通和人們的日常生活，即使通過加強維護管理，盡可能地減少施工破壞，也無法完全根除這種不穩定性。此外，我國部分城市的雨水管道由于鋪設年代久遠，管道老化嚴重，使得舊的設計參數早已不符合現狀管道的排水要求[3-5]。

為了能準確掌握現有城市雨水管網系統的不確定性因素，筆者總結了既有雨水管段脆弱性所涉及的影響因素，綜合分析了各功能模塊之間的相關程度，然后結合復雜網絡拓撲模型，提出一種利用節點的重要度來確定既有雨水管段脆弱性判定的方法，以期掌握雨水管網系統的薄弱環節和管段狀況，更好地做出有針對性的預防工作，減少洪澇災害的發生。

1 城市既有雨水管網系統脆弱性

脆弱性一詞來自拉丁文，表示“在干擾因素存在的情況下，物體易受攻擊、損壞的特性”，現在已被廣泛應用于各個學科領域，但內涵不盡相同。本文將脆弱性的原始定義與城市雨水管網系統的特點相結合，將城市雨水管網系統脆弱性[6-8]定義為：城市雨水管網系統在外部環境改變(洪澇災害、施工破壞、管理疏忽等)的作用下，所表現出的一種易于受擾動的狀態，它是導致城市雨水不能及時排除的重要原因。

2 城市雨水管網系統脆弱性影響因素及功能模塊劃分

城市雨水管網系統是城市的重要基礎設施之一，是防止雨水徑流危害城市安全的主要工程設施。本文將既有雨水管網脆弱性影響因素分為4個大類：外部破壞、設計因素、水力因素和管理因素。將功能相對獨立的影響因素統一稱為功能模塊，根據既有雨水管網系統脆弱性影響因素及各個影響因素的相對獨立性，將既有雨水管網系統脆弱性影響因素分解成20個功能模塊(表1)。

每個功能模塊的性能都直接或間接地影響著雨水管網系統的脆弱性，例如，管徑偏小或管道坡度偏小都可能導致在特大暴雨來臨時排水速度遠遠小于降雨速度，導致地面積水；車輛荷載過大或覆土厚度較小等情況可能使得雨水管道承受較大的壓力，導致管道破裂，造成難以估計的損害；檢查維修的時間間隔過長會使得管道堵塞情況嚴重，影響排水能力，等等。

3 雨水管段功能模塊相關性分析

對分解成20個功能模塊的雨水管網系統脆弱性影響因素進行分析，發現不同的模塊功能不同，彼

表1 既有雨水管網系統脆弱性影響因素

此之間相互影響。設計因素和水力因素屬于自然因素，設計因素主要是針對雨水管道及其附屬設施的自身結構，與管道直徑、管道材料、管道坡度等因素有密切關系；水力因素則與管道的水力參數、降雨歷時等有關。外部破壞和管理因素屬于人為因素，但是人為因素和自然因素之間存在著強烈的相互作用。

雨水管網系統是指某一范圍內所有雨水管段的總和，它是由多個雨水管段相互連接組成的整體，使城市雨水能夠順暢排除；而雨水管段則是指在相同設計參數，或者處于相同外界環境的情況下，某一段特定的雨水管道。雨水管段作為整個雨水管網系統中的一部分，與其所屬的雨水管網密切相關，也在一定程度上影響著整個雨水管網系統。雨水管段與雨水管網系統是部分與整體的關系，當某一段雨水管道遭到破壞時，整個雨水管網的穩定性也隨之受到影響。同理，當雨水管網系統處于一個相對波動的狀態時，組成它的各個雨水管段也基本處于不太穩定的狀態。雨水管網系統的20個功能模塊同樣適用于雨水管段中，因為不管在某一特定的雨水管段中，還是在整個雨水管網系統中，對于雨水管道而言，其影響因素都是類似的。本文選取西安某高校特定既有雨水管段為研究對象，對各個影響因素之間的關聯關系進行分析，得到20個功能模塊的關系矩陣(表2)。表2中1代表兩個功能模塊之間存在關聯關系，0代表兩個功能模塊之間不存在關聯關系。

4 城市既有雨水管段的脆弱性判定模型

4.1 復雜網絡方法

復雜網絡是具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或全部性質的網絡。基于復雜網絡方法構建網絡模型時，不論子系統或元素之間的聯系強弱，只要它們之間存在關聯關系，都可以用一條邊來表示，用統一的網絡模型來分析。一個復雜網絡可以表示為G=(V,E)，其中V表示網絡節點的集合，E表示網絡節點間相互關系的集合，它作為對復雜系統的一種抽象和描述方式，由大量節點通過邊的相互連接而構成，突出強調了系統結構的拓撲特征。復雜網絡脆弱性判定的主要依據是網絡節點和邊受到攻擊后網絡的波動程度，是針對整個網絡系統的功能水平變化，不是測評單個網絡節點和邊的可靠性水平，因而判定指標主要表現網絡的全局抗毀性水平[9]。而雨水管段的脆弱性判定也是針對整個既有雨水管段而言的，雨水管段的脆弱性往往受許多因素影響，且這些影響因素之間存在復雜的相互作用，即可認為這些相互作用的影響因素決定著雨水管段的脆弱性。基于此思路，本文將復雜網絡的方法運用到既有雨水管段脆弱性的判定中，將雨水管段的功能模塊視為網絡中的節點，將模塊之間的關聯關系視為連接節點的邊。通過計算各個功能模塊在整個雨水管段中重要程度的大小，找出雨水管段中的薄弱環節，將該功能模塊作為水務部門日后的重點關注和保護對象，以此來提高整個雨水管段的可靠性。

復雜網絡的節點是指各個不同的功能模塊，如圖1所示，標號1、2、3、4代表網絡中的節點，復雜網絡中的邊是指功能模塊之間是否有關聯關系。當兩個功能模塊之間存在相互影響關系時，這兩個節點之間存在相連的邊；當兩個功能模塊之間沒有關系時，則不存在邊。圖1中，網絡中的節點1-2，1-3，2-3，2-4之間因為存在關聯關系，所以存在4條邊。將功能模塊之間的相關關系歸結為兩種情況進行處理：①兩個功能模塊之間明顯是單向影響關系，此時這兩個功能模塊之間的邊為單向箭頭；②兩個功能模塊之間的相互影響是雙向的，此時這兩個功能模塊之間的邊為雙向箭頭。圖1中，網絡中1-2之間的邊從節點1指向節點2，即表示節點1受到節點2的影響。

圖1 節點、邊和邊的方向

4.2 復雜網絡方法常用的拓撲特征量

4.2.1 節點度

節點度是指網絡中與該節點相關聯的邊的條數[10]。節點度值能直接反映該節點對其相鄰節點的關聯程度，節點度越大，與周邊節點的關聯就越密切，在整個網絡中的影響力也就越強。特別地，對于有向圖，節點度可以根據連接方向的不同，分為出度和入度兩種類型。節點的出度是指從該節點指向其他節點的邊的數目，節點的入度是指從其他節點指向該節點的邊的數目[11]。在既有雨水管段中，節點度的大小反映了整個雨水管段中各個功能模塊之間相互作用的密切程度。

(1)

式中：ki為節點度；eij為網絡中節點i與節點j之間相關聯的邊的總數；N為網絡中節點的數目。

4.2.2 網絡直徑

網絡直徑是指一個網絡中任意兩個節點之間距離的最大值[12]。本研究中，兩個節點之間有連線則將其距離記為1，沒有連線則記為0。在網絡中某一個節點受到攻擊和破壞的情況下，網絡直徑越小，對整個網絡的脆弱性影響越小，反之越大。在既有雨水管段中，網絡直徑反映了整個雨水管段所形成的復雜網絡的聚集程度，即各個功能模塊之間連通的程度。

(2)

式中：D為網絡直徑；dij為網絡中任意兩個節點i和j之間的距離，表示兩節點之間最短路徑上邊的數量。

4.2.3 網絡效率

網絡效率是指網絡中所有節點對之間距離倒數之和的平均值[13]。網絡效率用來表示網絡信息流通的平均難易程度，效率越高，網絡信息流通越容易。在效率較高的既有雨水管段中，某一節點遭受攻擊和破壞時，將在更少的時間內傳遞給周圍的節點，顯現出較高的脆弱性。

(3)

式中E(G)為網絡效率。

4.3 復雜網絡節點重要度判定矩陣的構建

復雜網絡是一個由節點和邊組成的統一整體，某一節點的重要度必然要受到其相鄰節點的影響，即節點對其相鄰節點是存在重要度貢獻的[14]。在復雜網絡節點重要度判定的過程中需要綜合考慮節點自身在網絡中所處的位置和相鄰節點的重要度貢獻[15-17]。彼此孤立的節點之間不存在重要度的依賴關系，一旦節點間相互連接，即存在相互影響的關系，就可能導致彼此之間重要度的變化。節點之間通過相互連接，使信息通過一個節點傳遞給另一個節點，就會形成一個重要度貢獻關系的拓撲網絡。由于網絡的鄰接矩陣反映了節點之間相鄰的情況，而節點間最重要的重要度貢獻關系存在于相鄰節點之間，因此節點間的重要度貢獻關系可以用鄰接矩陣的映射矩陣來表示，本文將該矩陣定義為節點重要度貢獻矩陣[13]。

4.3.1 節點重要度貢獻矩陣

在節點數為N，平均度值為m的無自環無向網絡中，若節點vi的度為ki，則vi將自身重要度的ki/m2貢獻給它的每一個相鄰節點。將所有節點對其相鄰節點的重要度貢獻值用矩陣的形式表現出來，就形成了節點重要度貢獻矩陣，記為HC。在既有雨水管段中，節點重要度貢獻矩陣反映了各個功能模塊對周圍鄰接的各個功能模塊的影響程度。

(4)

式中，rij為網絡鄰接矩陣中對應的元素，稱為貢獻分配參數，對應于表2中功能模塊的關系矩陣。當vj對vi有影響時取1，否則取0。HCij表示節點j對節點i的重要度貢獻比例值。

4.3.2 節點效率

由于節點的重要程度不僅取決于節點自身的度值，還取決于其在網絡中所處的位置。根據網絡效率的定義，將節點的效率Ik定義為該節點到網絡中其他節點的平均難易程度，體現了該節點對網絡信息傳輸過程中所做的貢獻[13]。節點效率值越大，表示通過該節點傳遞的信息速度越快，則它在網絡信息傳輸過程中所處的位置就越重要。在既有雨水管段中，節點的效率在一定程度上反映了功能模塊的重要程度。

(5)

式中dki為節點k和i之間的距離。

4.3.3 節點重要度判定矩陣

在節點重要度貢獻矩陣的基礎上，融合節點的效率值，將節點重要度判定矩陣HE定義為

(6)

式中HEij為節點j對節點i的重要度貢獻值。可以看出，一個節點對其相鄰節點的重要度貢獻值與自身的效率值和度值有關，節點的效率值越大，度值越高，則它對相鄰節點的重要度貢獻就越大[14]。

4.4 節點重要度

綜合考慮節點自身的效率值和相鄰節點的貢獻度，將節點i的重要度Ci定義為節點i的效率值與所有跟節點i相鄰的節點重要度貢獻值之和的乘積。節點的重要度取決于它自身的度值、效率值以及相鄰節點的度值和效率值的大小。在綜合考慮了節點的對局部重要性的作用和對整個復雜網絡的影響，將節點重要度運用到雨水管網系統脆弱性判定中，使節點重要度評估具有更高的精度，更加準確地找出脆弱性較高的功能模塊[15-17]。

5 實例分析

以西安某高校的雨水管網系統為例進行研究，根據表1功能模塊劃分及表2的相互關聯關系，將構建好的Pajek networks格式數據文件導入Pajek軟件，使用軟件自帶的繪圖工具，可以得到可視化的雨水管段脆弱性模型(圖2)。

圖2 雨水管段脆弱性模型

5.1 節點度分析

根據式(1)，運用Pajek軟件進行計算，可以得到該雨水管段脆弱性的復雜網絡，其中節點度最高的為節點1(管徑)，網絡模型的平均節點度是5.7，這表明雨水管脆弱性網絡中的每個子系統平均與6個其他子系統存在關聯關系，圖3為節點度分析結果。

圖3 節點度分析結果

5.2 網絡直徑和網絡效率

根據式(2)進行計算，可以得到雨水管脆弱性網絡模型的直徑是3。根據式(3)進行計算，可以得到整個網絡的效率為0.3。可以認為該既定雨水管脆弱性影響因素之間的關聯比較緊密，相互影響的特征比較明顯。

5.3 節點重要度分析

根據前文的節點重要度判定方法，構造雨水管段節點重要度貢獻矩陣如下：

計算網絡中各個節點的效率，建立節點重要度判定矩陣如下：

表3為節點重要度計算結果。由表3可見，對于這個復雜網絡而言，節點1(管徑)的重要度最高，其次是節點5(雨水篦子數量)，即在所選取的雨水管段中，管徑對整個網絡脆弱性的影響最大。這與圖2中雨水管段脆弱性網絡模型的拓撲結構所反映出的圖像保持一致，因為節點1處于整個網絡的中樞位置，是網絡中度值最高的節點，與周圍節點的相互作用最為密切。而節點9(車輛荷載)與節點20(安全培訓及宣傳教育)的重要度均為0，這是因為這兩個點都只有入度，沒有出度，即節點9和節點20這兩個影響因素幾乎不受其余功能性指標的影響。

表3 節點重要度計算結果

6 結 語

既有雨水管段脆弱性是整個管段在內部和外部的各種影響因素干擾下的綜合反映，網絡局部或者單一節點失效都會在一定程度上導致整個雨水管段結構的破壞和功能的喪失。將既有雨水管網脆弱性影響因素分為4個大類：外部破壞、設計因素、水力因素和管理因素，并分解成20個功能模塊。綜合分析了各功能模塊之間的相關程度，并且在此基礎上結合復雜網絡拓撲模型，提出了一種利用節點的重要度來確定既有雨水管段脆弱性判定的方法。結果表明，該方法能夠體現節點之間的重要性差異，使節點脆弱性的判定更加準確，為后續進行城市雨水管網改造、修建提供理論依據。