基于李雅普諾夫函數(shù)的電磁軸承電壓控制

朱 戡，劉學(xué)平

（清華大學(xué)深圳研究生院先進(jìn)制造學(xué)部，廣東深圳 518000）

磁懸浮軸承（AMB）可以提供非接觸式的支撐力，避免了摩擦、潤(rùn)滑之類(lèi)的問(wèn)題，可以達(dá)到很高的轉(zhuǎn)速，因此在很多方面得到了應(yīng)用[1-3]。

隨著電磁軸承在工業(yè)中日益廣泛的運(yùn)用，在轉(zhuǎn)子跨度較大的軸承中，往往采用柔性轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)[4]。當(dāng)轉(zhuǎn)子穿越臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，由于不平衡質(zhì)量等因素的影響，往往會(huì)產(chǎn)生較大的振動(dòng)幅值，甚至?xí)?dǎo)致運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，因此，轉(zhuǎn)子振動(dòng)控制與穩(wěn)定性研究一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[5-7]。

面對(duì)非線性電磁力，最早的線性化模型是Schweitzer.G[8]提出，后來(lái)為實(shí)現(xiàn)較大范圍的線性化，陸續(xù)又出現(xiàn)許多控制方法[9-10]。Cui Peiling[11]等將滑模觀測(cè)器與陷波器相結(jié)合，有效減小陀螺轉(zhuǎn)子所受的同頻軸承力。Han Bangcheng[12]等通過(guò)建立電磁軸承不平衡力模型，采取插入式重復(fù)控制器降低轉(zhuǎn)子的振幅。Arkadiusz Mystkowski[13]等面對(duì)非線性電磁軸承系統(tǒng)，采用反饋線性化方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。M.Kamel[14]等考察具有非線性恢復(fù)力的Jeffcott轉(zhuǎn)子振動(dòng)情況，并利用非線性PD控制器有效抑制轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。A.Al-Mandouh[15]等研究具有時(shí)變剛度的電磁軸承，并設(shè)計(jì)一種非線性延時(shí)控制器。

隨著各種控制方法在電磁軸承控制上的應(yīng)用，李雅普諾夫方法也逐漸被引入。Li Guodong[16]等針對(duì)單自由度的轉(zhuǎn)子，構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)，實(shí)現(xiàn)大范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子的平衡。Isao TAKAMI[17]則利用李雅普諾夫理論，通過(guò)線性分式變換構(gòu)建增益調(diào)度控制器，Tao Zhang[18]研究由于由傳感器漂移導(dǎo)致的同步周期擾動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響，并利用李雅普諾夫方法設(shè)計(jì)控制器，有效抑制系統(tǒng)的諧波干擾，并保證系統(tǒng)的大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定性。但是這些研究對(duì)象都是剛性轉(zhuǎn)子，沒(méi)有考慮到柔性轉(zhuǎn)子在越過(guò)臨界轉(zhuǎn)速時(shí)所面對(duì)的問(wèn)題。

本文作者針對(duì)柔性轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速會(huì)產(chǎn)生大范圍振動(dòng)的問(wèn)題，結(jié)合李雅普諾夫函數(shù)，設(shè)計(jì)一種基于能量的控制方法，使得柔性轉(zhuǎn)子在跨越臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，能夠有效抑制振動(dòng)，并通過(guò)仿真進(jìn)行驗(yàn)證。并通過(guò)調(diào)整參數(shù)，研究不同控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)性能的影響。

1 電磁軸承模型

1.1 柔性轉(zhuǎn)子建模

轉(zhuǎn)子由1根軸和4個(gè)具有不平衡質(zhì)量的圓盤(pán)組成。如圖1所示，4個(gè)圓盤(pán)均勻分布在軸上，其中2個(gè)處在軸端；轉(zhuǎn)子由2個(gè)電磁軸承支撐。轉(zhuǎn)子正中心為P1，轉(zhuǎn)子邊緣處為P2。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，轉(zhuǎn)子設(shè)置為完全對(duì)稱(chēng)，不平衡質(zhì)量集中分布在4個(gè)圓盤(pán)上。轉(zhuǎn)子的各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

圖1 電磁軸承柔性轉(zhuǎn)子Figure1 flexible rotor in AMB

圖2 轉(zhuǎn)子有限元模型Figure 2 FEM of the rotor

轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型為：

式中：M、G、K分別是轉(zhuǎn)子的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，G=C+ωJ，J是由陀螺力矩產(chǎn)生的矩陣。x是轉(zhuǎn)子的位置向量，F(xiàn)是轉(zhuǎn)子所受到的廣義力，包括了電磁鐵所施加的電磁力和轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡所導(dǎo)致的離心力。

表1 轉(zhuǎn)子與電磁軸承部分參數(shù)Tab.1 Parameters of the rotor and AMBs

將轉(zhuǎn)子劃分為19個(gè)單元，其中4個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)采用圓盤(pán)單元，轉(zhuǎn)軸采用鐵摩辛柯梁?jiǎn)卧M(jìn)行建模，如圖2所示。在給定的等效剛度和阻尼下，經(jīng)過(guò)計(jì)算，可以得到轉(zhuǎn)子的坎貝爾圖。轉(zhuǎn)子的一階臨界頻率為204.5 Hz（ω=1 285rad/s），二階臨界轉(zhuǎn)速為565 Hz。當(dāng)轉(zhuǎn)子處于一階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子的最大振動(dòng)位移處于轉(zhuǎn)軸邊緣位置（P2），其幅值約為1.5 mm，如圖3所示。

磁懸浮軸承線圈中電流與電壓有如下關(guān)系[19]：

式中：R是電阻，L是電感，ki等于力-電流因子。

由于在電磁軸承中，除了轉(zhuǎn)子的位移和速度外，繞組電流也是一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)量，會(huì)影響系統(tǒng)總體性能，因此，將位移x，速度x?和線圈電流q?設(shè)為狀態(tài)變量，令：

利用式（3），采用電壓控制來(lái)設(shè)計(jì)電壓u的值，可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子狀態(tài)的控制。

1.2 電磁力

通常的電磁軸承中采用差動(dòng)模式，作用在轉(zhuǎn)子上的電磁力可以表示為位移和電流的函數(shù)[1,8]：

式中：i0和s0分別為偏置電流和最大氣隙。，μ0為真空磁導(dǎo)率，n為線圈匝數(shù)，A為氣隙橫截面積。

當(dāng)x＜＜s0時(shí)，利用泰勒展開(kāi)并消去高次項(xiàng)，可以得到線性化模型：

2 基于能量的電壓控制

整個(gè)電磁軸承系統(tǒng)的能量可以分為電磁能E1、轉(zhuǎn)子的動(dòng)能E2和勢(shì)能E3。轉(zhuǎn)子的勢(shì)能由重力勢(shì)能和轉(zhuǎn)子變形引起的彈性勢(shì)能組成，由于轉(zhuǎn)子的變形較小，忽略其彈性勢(shì)能，并將轉(zhuǎn)子平衡位置設(shè)為勢(shì)能零點(diǎn)。可得三者能量：

當(dāng)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮時(shí)，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，將轉(zhuǎn)子視為一個(gè)剛性單自由度轉(zhuǎn)子，定義拉格朗日函數(shù)T=E1+E2-E3，則利用拉格朗日-麥克斯韋方程可以得到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[20]：

式中：x、q是位移和電荷，Q是廣義力，包括轉(zhuǎn)子的重力和離心力。u是線圈電壓。

總能量E=E1+E2+E3。當(dāng)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮時(shí)，系統(tǒng)的電磁能，動(dòng)能 E?和重力勢(shì)能 E?都為 0，則二者23的差值 ΔE?=E-E?。

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù):

只要k1、k2、k3的值為正數(shù)，則V＞0，V?＜0，由李雅普諾夫定理可知，此時(shí)以x、x?、q為狀態(tài)變量的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的，因此可以使轉(zhuǎn)子在大范圍內(nèi)保持穩(wěn)定。由電壓項(xiàng)的控制律可以看出，k1是電磁軸承整體的能量項(xiàng)系數(shù)，k2是電流的修正項(xiàng)系數(shù)，k3是電壓放大倍數(shù)，改變以上3個(gè)參數(shù)，可以改變最終得到的電壓構(gòu)成，從而可以得到良好的響應(yīng)。

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 跨越臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的響應(yīng)

當(dāng)轉(zhuǎn)子處于一階臨界轉(zhuǎn)速附近時(shí)，采用傳統(tǒng)PID控制（P=7 500 A/m，D=12.3 A·s/m）和基于能量的李雅普諾夫控制（k1=k2=k3=1）所得到的轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移如圖4所示。

從圖中可以看出，當(dāng)轉(zhuǎn)子處于一階臨界轉(zhuǎn)速附近時(shí)，基于李雅普諾夫函數(shù)的能量控制控制下的柔性轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅值明顯小于PID控制下的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅值。當(dāng)轉(zhuǎn)速ω=1 275rad/s時(shí)，振動(dòng)幅值約下降15%，ω=1 290rad/s時(shí)，振動(dòng)幅值下降大約38%。響應(yīng)時(shí)間方面，PID控制約在1.5 s左右達(dá)到穩(wěn)態(tài)，電壓控制在0.5 s左右基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)，較大提升系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

另一方面，基于李雅普諾夫函數(shù)的電壓控制系統(tǒng)的震蕩頻率較大。從圖4中可以看出，在系統(tǒng)從初始狀態(tài)到穩(wěn)態(tài)的過(guò)程中，電壓控制的上升過(guò)程伴隨著較大的抖動(dòng)，而PID控制的系統(tǒng)上升過(guò)程平滑，基本沒(méi)有出現(xiàn)高頻率的抖動(dòng)。因此，電壓控制雖然提升了系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，降低了轉(zhuǎn)子在穩(wěn)態(tài)條件下的振動(dòng)幅值，但是犧牲了部分動(dòng)態(tài)性能。

3.2 不同參數(shù)對(duì)電磁軸承響應(yīng)的影響分析

經(jīng)過(guò)仿真分析，調(diào)整不同的控制參數(shù)（k1，k2，k3），并不會(huì)改變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但是會(huì)明顯影響到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。如圖5所示，隨著k1，k2，k3的變化，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能差異較大。k1=4，k2=1，k3=0.1時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量較大，但響應(yīng)速度較快，k1=8，k2=64，k3=0.1時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量得到抑制，但是犧牲了響應(yīng)速度，k1=8，k2=512，k3=0.1時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量較小，響應(yīng)速度也較小，動(dòng)態(tài)性能較好。

圖4 兩種控制方法下轉(zhuǎn)子的時(shí)域響應(yīng)對(duì)比Figure 4 Contrast of PID and voltage control when rotor pass through bending critical speed

圖5 不同控制參數(shù)下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Figure.5 Rotor’s dynamic response of different parameters

圖6 展現(xiàn)了在不同能量修正參數(shù)k1下，電流校正系數(shù)k2對(duì)系統(tǒng)的超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間的影響變化規(guī)律。總體上k1越大，系統(tǒng)的超調(diào)量越大，響應(yīng)速度越快。從變化趨勢(shì)來(lái)看，當(dāng)k1=0.1時(shí)，超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間都隨著k2的增大而減小；當(dāng)k1＞1時(shí)，隨著k2變大，超調(diào)量先減小，再增大，而響應(yīng)速度一開(kāi)始沒(méi)有明顯變化，當(dāng)k2＞100后，開(kāi)始迅速變大。可以看出，當(dāng)k1的值相差較大時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能隨k2的變化規(guī)律會(huì)呈現(xiàn)相反的變化。根據(jù)仿真結(jié)果，當(dāng)k1在1左右，k2在60～120左右時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能較好。

圖6 不同k1下k2對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響變化Figure.6 Rotor’s dynamic performance when k2varying in different k1

圖7 展現(xiàn)了在不同電壓放大倍數(shù)k3下，電流校正系數(shù)k2對(duì)系統(tǒng)的超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間的影響變化規(guī)律。總體上k3越大，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，但響應(yīng)時(shí)間則隨著k2變化產(chǎn)生不同的結(jié)果。從變化趨勢(shì)來(lái)看，當(dāng)k3≤0.1時(shí)，超調(diào)量隨著k2增大先減小再增大；k3=0.4時(shí)，超調(diào)量隨著k2增大而增大。另一方面，當(dāng)k3＜0.1時(shí)，響應(yīng)時(shí)間隨著k2的增大而增大；當(dāng)k3≥0.1時(shí)，響應(yīng)時(shí)間隨著k2的增大先減小再增大。同樣可以看出，不同的k3會(huì)使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能隨k2的變化規(guī)律更加復(fù)雜。從仿真結(jié)果來(lái)看，當(dāng)k3在0.1左右，k2在60～100左右時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能較好。

圖7 不同k3下k2對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響變化Figure.7 Rotor′s dynamic performance when k2varying in different k3

4 結(jié)論

針對(duì)電磁軸承中柔性轉(zhuǎn)子跨越臨界轉(zhuǎn)速會(huì)產(chǎn)生較大振動(dòng)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)基于系統(tǒng)能量的李雅普諾夫控制算法，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明：

（1）在臨界轉(zhuǎn)速附近，基于能量的李雅普諾夫控制方法能夠有效降低柔性轉(zhuǎn)子的最大振動(dòng)量，并提升了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，但是也犧牲了部分動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)性能，使系統(tǒng)在上升過(guò)程中產(chǎn)生了一定程度的高頻震蕩。

（2）不同能量系數(shù)k1、電流修正系數(shù)k2和電壓放大倍數(shù)k3下，電磁軸承的穩(wěn)態(tài)性能沒(méi)有差異，但是動(dòng)態(tài)性能則產(chǎn)生了較大不同。根據(jù)仿真結(jié)果，隨著k1、k3取值的變化，電磁軸承的動(dòng)態(tài)性能會(huì)產(chǎn)生較大程度的變化，因此，需要選擇合適的參數(shù)，從而得到良好的動(dòng)態(tài)性性能。