基于曲線擬合的AR模型在地鐵施工監測中的應用

高志鈺，李建章，張秀霞

(1.蘭州交通大學 測繪與地理信息學院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省地理國情監測工程實驗室，甘肅 蘭州 730070；3.蘭州理工大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070)

地鐵施工階段進行變形監測是完全有必要的，監測的意義在于及時掌握變形體自身及其周圍環境影響引起的沉降和位移變化，并采取合理的措施來減少損失；實時積累監測數據，分析變形規律，預測其變形趨勢，極大程度地減少地鐵建設各個階段存在的安全隱患[1-3]。

近年來，對變形監測數據進行分析與預報的方法與模型逐漸增多，主要有灰色理論模型[4]、Kalman濾波模型[5]、人工神經網絡模型[6]、時間序列分析模型[7-9]以及組合模型[10-12]等，這些方法理論與模型得到廣泛應用，并取得了不錯的預測效果。其中，AR模型通過時間序列變量的自身歷史觀測值來反映有關因素對預測目標的影響和作用，不受模型變量相互獨立的假設條件的約束，并且AR模型具有結構簡單、參數估計是線性估計等優點，是時間序列分析中應用最廣泛的模型[13-15]。考慮到AR模型要求數據序列平穩，需對數據進行差分處理，造成殘差信息的浪費，導致精度不夠理想[16]。此外，變形監測數據具有很明顯的趨勢性，采用單純的AR模型進行建模預測，精度不是很好[17]，具有一定的局限性。本文將采用曲線擬合方法代替差分法進行趨勢項的消除與減弱，即對經典的AR模型進行改進，對監測數據進行合理的分析與預測，以期達到更高的預測精度，達到更佳的預測效果。

1 原理與方法

1.1 曲線擬合

曲線擬合是趨勢分析法中的一種，主要通過各種光滑曲線來描述事物發展的基本趨勢。通常情況下可采取的模型主要有：多項式趨勢模型、對數趨勢模型、冪函數趨勢模型、指數趨勢模型、雙曲線趨勢模型、修正指數模型、Logistic模型以及Gompertz模型等[18]。對曲線擬合還需進行顯著性檢驗，即對擬合的效果進行檢驗，檢驗方法主要有F檢驗法、相關系數檢驗法[19]以及相關指數檢驗法[20]。本文采用多項式擬合的方式進行曲線擬合，采用F檢驗法對擬合效果進行檢驗，如表1所示。

表1 方差分析表

1.2 AR模型

1.2.1 AR模型原理

對于平穩、正態、零均值的時間序列{xt}，若{xt}的取值不僅與前n步的各個取值xt-1,xt-2,xt-3,…,xt-n有關，而且還與前m步的各個干擾at-1,at-2,…,at-m有關(n,m=1,2,…)，則按多元線性回歸的思想，可得到最一般的ARMA模型：

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n-θ1at-1-

θ2at-2-…-θmat-m+at,

(1)

(2)

式中，φi(i=1,2,…,n)稱為自回歸(AR)參數；θj(j=1,2,…,n)稱為滑動平均(MA)參數；{at}這一序列為白噪聲序列。式(1)稱為{xt}的自回歸滑動平均模型，記為ARMA(n，m)模型。特殊的，當θj=0時，模型(1)變為

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n+at.

(3)

式(3)稱為n階自回歸模型，記為AR(n)。當φi=0時，模型(1)變為

xt=at-θ1at-1-θ2at-2-…-θmat-m.

(4)

式(4)稱為m階滑動平均模型，記為MA(m)。

1.2.2AR模型的建模步驟

1)對原始觀測數據的正態性、平穩性以及零均值進行檢驗，對不符合平穩化要求的序列進行差分處理提取趨勢向，得到殘差序列{xt}。

2)通過計算殘差序列的自相關函數及偏自相關函數的截尾、拖尾性來初步判斷殘差序列{xt}所適合的模型結構。

3)采用自相關函數與偏相關函數定階法確定模型的階數，并利用最小二乘估計法進行模型參數的估計。

4)預測模型的建立，對預測模型進行檢驗，選擇最佳的預測模型AR(p)。進而根據AR(p)模型進行逆向還原，建立最終的預測模型，得到模型預測結果，并依此判斷原觀測序列與模型預測值之間的誤差值大小。

1.3 基于曲線擬合的AR模型

基于曲線擬合的AR模型，即對傳統的AR模型進行了改進，其建模與預測的步驟如下：

1)結合原始觀測數據，選擇合適的曲線擬合模型；

2)利用Origin軟件進行曲線擬合圖的繪制，并進行顯著性水平檢驗，若擬合結果具有顯著性，則依此得到相應的擬合結果值；

3)計算得到原始觀測數據與相應擬合數據之間的殘差序列{xt}；

4)利用得到的殘差序列{xt}，建立改進的AR模型，得到改進的AR模型的預測結果；

5)兩種方法所得預測結果進行對比，得出結論。

2 實例分析

在某地鐵施工過程中，利用DNA03數字水準儀對施工現場一系列沉降點每隔12 h進行一次監測，得到各沉降點的監測數據。對這些沉降點逐個進行分析與預測，亦可得到相同的結論。由于篇幅有限，本文將選取其中某一個沉降點的30期監測數據進行分析，監測數據如表2所示。利用1～20期數據進行模型的建立，對21～30期數據進行預測，將預測結果與原始觀測結果進行對比，判斷預測結果的精度。

表2 原始觀測數據 mm

1)AR模型。對原始觀測數據序列進行預處理，采用二階差分法對其趨勢向進行去除，使殘差序列基本穩定。通過對殘差序列的自相關函數和偏自相關函數計算，確定其模型為AR(2)模型。對AR(2)模型進行逆向還原，得到最終的數學模型，計算出預測結果。

2)改進的AR模型。對原始觀測序列進行曲線擬合，本文選取多項式擬合的方式進行，并利用Origin軟件繪制擬合曲線圖，并對其進行顯著性檢驗，結果如圖1、表3所示。由表3可知，F(9,20)=12.308，F0.01(9,20)=3.46，F(9,20)> F0.01(9,20)，因而建立的多項式擬合方程非常顯著，即所建立的擬合方程與原始觀測數據擬合的很好。進而得到原始觀測序列與擬合數據序列{xt}，建立改進的AR模型，得到最終的預測結果。

圖1 擬合曲線結果

表3 擬合效果分析

3)對比分析。兩種模型預測結果如表4所示。對AR模型與改進的AR模型所得預測結果進行精度對比分析，結果如表5所示。

表4 模型預測結果

表5 結果精度分析

由表5可以看出：改進的AR模型所得預測結果的平均相對誤差、平均絕對誤差、誤差值平方和都比AR模型所得結果小。所以，基于曲線擬合的AR模型預測結果較AR模型而言，具有較高的預測精度，結果更加可靠，可以用于地鐵施工監測中。

3 結束語

AR模型能夠較準確對變形數據進行分析與預報，具有一定的預測精度，可以用于工程實踐中。曲線擬合可以精確地提取出相關變形數據的趨勢向。因而，在曲線擬合的基礎上，建立改進的AR模型，其結合了兩者優勢，從而在很大程度上提高了模型的預測精度，減小了預測誤差。