無限大帶電體產生的電場及其零電勢點的選取

陳龍法

(石獅市第一中學 福建 泉州 362700)

無限大的帶電體實際上并不存在，它只是一種模型.然而，這是一個有事實基礎的模型.對于均勻帶電的有限長的棒和有限大的板，在其附近的地方，只要不太靠近端點或邊緣，滿足適當條件后，就可被視為無限長帶電棒和無限大的帶電板.在電磁學中，常見的有無限長帶電直線、無限長帶電圓柱或圓筒、無限大帶電平面等.這類帶電體因電荷分布不在有限區域，不宜簡單地規定無窮遠處電勢為零，而應根據具體問題中的電場強度空間分布特點，靈活選取合適的零電勢點.

1 無限大(長)均勻帶電體的電場強度

1.1 無限長均勻帶電直線所產生的電場強度

【例1】如圖1所示，一無限長均勻帶電直線，電荷的線密度為λ(設λ為正).離帶電直線為r處的任一點P的場強大小為

寫成矢量形式為

圖1 例1題圖

1.2 無限長均勻帶電圓柱面所產生的電場強度

【例2】一無限長均勻帶電圓柱面，半徑為R，電荷面密度為σ.求其產生的場強分布.

設場點P到軸線的距離為r.

當r>R時，即場點P在圓柱面外，如圖2所示，根據高斯定理，有

由此得出

圖2 點P在圓柱面外的示意圖

如果令λ=2πRσ為圓柱面上單位長度的電荷量，則上式可化為

可見無限長均勻帶電圓柱面外的場強，與將所帶電荷全部集中在軸線上的均勻帶電直線所產生的場強一樣.

當r

為了求出無限長均勻帶電圓柱面所在處的場強，可將這個圓柱面看成是無數多個帶電直線構成，計算這些直線電荷在圓柱面上某一點P產生的電場強度.這個圓柱面的橫截面是一個圓，如圖3所示.圖中θ角度處的線電荷dλ=σRdθ在P點產生的場強為

圖3 圓柱面的橫截面示意圖

dE在圓柱面法線方向上的分量為

積分后得到

因此，無限長均勻帶電圓柱面產生的場強分布，寫成矢量式為

無限長均勻帶電圓柱面產生的場強分布，用圖像表示，則如圖4所示.

圖4 無限長均勻帶電圓柱面產生的場強分布圖

1.3 無限大均勻帶電平面所產生的電場強度

【例3】設有一無限大均勻帶電平面，電荷面密度為σ，求場強分布.

如圖5所示，根據電場分布的對稱性特點，取柱體表面為高斯面，其軸線與帶電平面垂直，兩底與帶電面平行，并對帶電平面對稱.設底面面積都等于S，根據高斯定理，有

即

圖5 取柱體表面為高斯面

上式表明，無限大均勻帶電平面的場強E的大小與場點到帶電平面的距離x無關.

寫成矢量形式為

在無限大均勻帶電平面的面電荷所在處，有

在帶電平面的另一面，面電荷所在處，有

1.4 兩個帶等量異號電荷的無限大平行平面所產生的電場強度

【例4】兩個相同的無限大均勻帶電平行平面，相距為d，帶等量異號電荷，電荷的面密度分別為σ和-σ.求其場強分布.

根據前面的分析和電場強度疊加原理，如果以兩面中間為原點，沿單位矢量n的方向取x軸，n為從σ到-σ的法線方向，則兩個相同的無限大均勻帶電平行平面產生的電場，在各處的場強分布如下：

作出的E-x圖像，如圖6所示.

圖6 兩個帶等量異號電荷的無限大均勻帶電平行平面產生的場強

2 電勢差及零電勢點

2.1 電勢差與電勢

點電荷的庫侖定律是一個可靠的以實驗為基礎的定律，是靜電場的一切概念和規律的出發點.點電荷q在距離為r處產生的電場強度為

電荷所產生的靜電場是保守場，因此，可以用電勢來描述靜電場，即對于靜電場中的每一點，都可以定義一個電勢φ.靜電場中A，B兩點的電勢差通常定義為：單位正電荷從A移到B靜電場力做的功，即

在點電荷q的電場中，A和B兩點的電勢差為

因而

φr-φ

或

式中φr，φ分別是離點電荷q為r和無窮遠處的電勢.

2.2 零電勢點

正如物體的高度、溫度等必須有參考點(零點)一樣，靜電場中某一點的電勢也必須有一個參考點(零點).在靜電場中，通常規定無窮遠處的電勢為零，即規定φ=0.

在這個規定下，靜電場中任一點P的電勢為

點電荷q在距離為r處產生的電勢為

可見，電場中某一點的電勢等于該點與零電勢點的電勢差，而且這個零電勢點是人為主觀規定的，并非由自然規律得出的客觀結論.處理某個問題時必須采用同一個零電勢點，但在不同的問題里可以選用不同的零電勢點.例如，在靜電學里，通常規定無窮遠處的電勢為零，而在電路的問題里，常規定地球的電勢為零.

3 帶電體為無限大時 選取無窮遠處為零電勢點所帶來的問題

無限大帶電體的電勢問題，關鍵是如何規定零電勢點的問題.

當電荷分布在有限區域時，可以規定離這些電荷為無窮遠處的電勢為零.這樣做最方便，也不會引起任何矛盾.但當帶電體為無限大時，這樣做就會出問題了.

3.1 帶電體為一個無限大的均勻帶電平面

【例5】如圖7所示，設有一個無限大的均勻帶電平面，電荷的面密度為σ.若選取無窮遠處的電勢為零，求距離帶電平面為r處的電勢.

圖7 例5題圖

在距離帶電平面為r處，電場強度為

距離帶電平面為rA和rB的兩點之間的電勢差為

這表明在有限范圍內，任意兩點的電勢差都具有確定的值.

圖8 點P電勢分析圖

這里是不是積分路徑移動方向出現問題所帶來的錯誤呢？上面講的A趨于無窮遠是相對于P點的，但相對于電荷來說并不是趨于無窮遠，而是仍在有限的距離內.

因而只要規定無窮遠處電勢為零，無論沿著什么路徑方向積分，都會出現問題.

3.2 帶電體為相距一定距離的兩個無限大均勻帶電平面

【例6】設電荷均勻分布在兩個無限大的平行平面上，面電荷密度分別為σ和-σ，相距為d，如圖9所示.若選取無窮遠處的電勢為零，求在離帶電平面為r處的電勢.

圖9 例6題圖

由此可得這兩個面電荷所在處的電勢差為

那么，在無限大帶電體的電場中，如何解決零電勢點的選取問題呢？

4 帶電體為無限大時應該根據具體問題選取零電勢點

當電荷分布在有限區域，規定離電荷無窮遠處的電勢為零對于解決問題很方便.但在處理與無限大帶電體的電勢有關問題時，就不宜選擇無窮遠處的電勢為零.由于零電勢點是人為規定的，因而可以根據具體情況，按照使計算盡可能簡單的原則來選擇電勢零點.

4.1 一個無限大(長)的帶電體其零電勢點的選取問題

一個無限大(長)的帶電體，常見的有以下幾種：

(1)一個無限大的均勻帶電平面

對于一個無限大的均勻帶電平面，電荷的面密度為σ.可以規定平面上(即電荷所在處)的電勢為零，這時，離帶電平面為r處的電勢為

(2)一條無限長的均勻帶電直線

對于一條無限長的均勻帶電直線，電荷線密度