關于黑體輻射曲線頂點問題的討論*

韓克禎 耿雪 張芳 葛筱璐 劉曉娟 秦華

(山東理工大學物理與光電工程學院 山東 淄博 255049)

物理學家Max Planck 于1901發表在德國《物理年鑒》的論文中，提出了與經典電磁場理論完全不同的輻射能量量子化假設[1](網絡上有英文翻譯版，如加拿大英屬哥倫比亞大學的網頁[2])，得到了在低頻和高頻電磁波段都與實驗結果符合的黑體輻射公式，成功地開啟了物理學的新紀元.Planck黑體輻射公式在原子物理學[3]、量子力學[4]和激光原理[5]等本科課程中都有提及，是本科階段教學中一個重要的知識點，在從經典電磁學到現代物理學的過渡中起到了承上啟下的銜接作用.

1 普朗克黑體輻射曲線頂點對應的頻率和波長的困惑

Planck黑體輻射公式中，黑體輻射能量體密度按照頻率分布和波長分布的公式分別為

(1)

(2)

ρν(ρλ)的物理意義為：熱力學平衡狀態下，熱力學溫度為T時，黑體的電磁輻射在頻率ν處(波長處)、單位頻率間隔內(單位波長間隔內)的能量體密度.因此，式(1)和式(2)可以寫為

(3)

(4)

以溫度為3 000 K為例，處于熱平衡狀態的黑體，其輻射能量體密度按照頻率分布和波長分布函數ρν和ρλ的曲線如圖1所示.

圖1 黑體輻射能量體密度分布(T=3 000 K)

這是一個超越方程，其數值解為

即黑體輻射能量密度極大值對應的頻率

(5)

這也是一個超越方程，其數值解為

即黑體輻射能量密度極大值對應的波長

(6)

從上式可以得到

(7)

式(7)正是著名的維恩位移定律[3]. 很明顯

即

乍看之下，該結果令人疑惑：對于給定的熱力學溫度T，黑體輻射能量密度取極大值時的νm和λm竟然不是對應的？

2 人們對該問題的認識現狀

3 本文的分析討論

我們經過思考分析之后，關于這個問題得到以下幾點認識.

(1)ρνdν=ρλdλ是正確的.

圖2 黑體輻射能量體密度分布函數測量過程示意圖[9]

因此，我們認為文獻[7]是不合適的. 實際上，我們可以通過關系式

以及

這兩個關系式，從表達式(3)得到式(4)，或者從表達式(4)得到式(3).

(2) 我們認同文獻[8]的觀點，黑體輻射能量密度取極大值時的νm和λm不相對應的根源來自于波長和頻率不是線性關系. 鑒于文獻[8]僅一句帶過，本論文中我們進行詳細說明如下.

我們利用Mathematica軟件作圖進行輔助說明，如圖3所示.

圖3 黑體輻射能量體密度分布的深入理解(T=3 000 K)

在波長表示的ρλ分布曲線上，取等間隔分布的13個波長，從小到大依次為λ1，λ2，…,λ13，相鄰兩個波長之間的柱狀圖依次用1～12表示，如圖3(a)所示. 容易發現，圖3(a)的曲線頂點對應的波長在λ4附近. 根據黑體輻射體密度波長表示的定義

以及

與λ1，λ2，…,λ13對應的頻率ν1，ν2，…,ν13則是不等間隔并且是從大到小反向排列的，這一點在圖3(b)中有明顯體現. 根據黑體輻射體密度頻率表示的定義

我們發現，由于ν1，ν2，…,ν13是不等間隔的，其曲線頂點對應的頻率不是在ν4附近，而是在ν11附近.

(3) 結合上面(1)和(2)的說明可以發現，維恩位移定律對應于黑體輻射能量密度的波長表示. 并且為了避免引起困擾，建議以后對黑體輻射的Planck公式加上說明，分別為“波長表示的黑體輻射公式”和“頻率表示的黑體輻射公式”.

4 結論

本文揭示了黑體輻射曲線頂點在頻率表示和波長表示下看似矛盾的根源所在，并結合Mathematica作圖進行了直觀詳細地說明，有助于學生深刻理解黑體輻射能量密度ρν和ρλ的物理意義并培養學生精準理解物理概念的習慣和科學素養.我們希望本文能夠給該問題帶來的困擾畫一個明了的休止符.