氣囊回收系統的著陸適應性仿真分析

趙炳旗，徐振亮，吳勝寶，何歡,3，陳國平,3

（1. 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016；2. 中國運載火箭技術研究院研發中心，北京 100076；3. 南京航空航天大學 振動工程研究所；南京 210016）

半個世紀以來，人們已經成功實現了對火星、月球、小行星彗星等不同天體的探索。在探索的過程中，氣囊常常被用于航天器著陸時的緩沖物。氣囊作為一種彈性元件，有很好的減振吸振性能。然而，考慮到不同天體表面的復雜性，人們需要考慮較多因素，主要包括巖石尺寸、坡度大小、表面粗糙度、雷達反射率、表面承重能力等[1]。

氣囊在幾何上和材料上都是非線性的，在很小的外力作用下，可能引起很大的幾何變形。氣囊所用的薄膜材料一般為橡膠、塑膠等非線性高彈性材料[2-3]。對于氣囊的計算，采用的分析方法主要有兩種：一種是解析分析法，J.B.ESGAR等人從熱力學方程出發，建立了氣囊的解析模型，討論了一系列氣囊參數之間的關系，但并沒有分析設計參數對時域緩沖特性的影響[4]。另一種是有限元仿真計算，主要的應用軟件有DYTRAN和DYNA。這種有限元仿真的優勢在于可對氣囊的全向緩沖特性進行分析，同時可以模擬出各種著陸表面情況，缺點是不利于氣囊設計參數的初始選定和設計規律的定性分析，且計算時間長[5-6]。

完全采用詳細的有限元模型完成全部狀態的著陸緩沖動力學仿真分析所需的計算量過于巨大。為解決該問題，文中提出了一種氣囊著陸緩沖等效分析方法，將有限元仿真和理論分析相結合，借助理論分析的優點實現對氣囊回收系統著陸緩沖沖擊性能快速評估的目的。

1 氣囊計算簡化過程

如圖 1所示，航天器以一定初速度撞擊到斜坡上，用一個封閉的氣囊對其進行減速緩沖。現將航天器等效成一個質量塊m，氣囊等效成一個彈簧，由于氣囊剛度漸硬的特性，其彈性系數不是常量，會隨著氣囊壓縮量的增大而增大。可利用有限元軟件，建立相應的氣囊模型，在無重力的條件下測出接觸載荷F與氣囊壓縮量x的關系曲線。

斜坡表面的地形形狀可通過航天器觀測得到，可用一條擬合的函數曲線y=f(x)表示。航天器的著陸點具有不確定性，假設著陸點為如圖2所示，以著陸點為原點，斜坡的切線方向為X軸，法線方向為軸建立局部坐標系局部坐標系與總體坐標系的夾角為θ，定義θ為撞擊點處的坡度。記等效質量塊在局部坐標系中的坐標為，在總體坐標系中的坐標為（x, y）。

式中：μ為斜坡表面摩擦系數。

若以氣囊的中心為旋轉中心，則有：

2 中心差分法

解動力學方程（1）、（2）和（3）。由于接觸載荷F與氣囊的壓縮量有關，即F是關于的一個非線性函數，要得到方程的解析解十分困難，可以中心差分法來解這三個方程。中心差分法是一種有效的數值計算方法[7-10]，該方法的原理如下：

給定初始條件，將位移函數ut用Taylor級數展開：

解出：

現利用中心差分法計算出局部坐標系下水平和豎直方向上的位移、速度和加速度，以豎直方向為例。在軸方向上，已給出，記時間步長為在起始步中而M=m，，代入循環公式（6）中，則有

當t=2Δt時，

當t=nΔt時，

經過n+1次迭代之后，可求得局部坐標系中豎直方向質量塊的位移隨時間t變化的曲線，再根據式（5），可以得到速度以及加速度曲線。

3 局部坐標系與總體坐標系

由于中心差分法計算所得的位移、速度、加速度在局部坐標系中，因此需要將它們轉化到總體坐標系中。如圖3所示，坐標系XOY為總體坐標系，為局部坐標系。其中局部坐標系的原點在總體系下的坐標為（x0,y0） ，兩個坐標系的夾角為θ，對于任意上的點，其在總體坐標系上的坐標為：

則位移轉換關系式可用矩陣表示為：

同理得到速度轉換關系式：

以及加速度轉換關系式：

4 算例

利用 Patran軟件，建立一個均壓球形氣囊模型，氣囊半徑為1 m。氣囊的上方為等效質量塊，質量為256 kg，氣囊頂部點和上方板的中心點為同一個節點，記為點P。氣囊的下方是地面，地面的節點為固定節點。氣囊和質量塊以初始速度20 m/s，在無重力的條件下撞擊到地面上，輸出節點 P的位移、速度以及加速度。以氣囊的壓縮量為橫坐標，所受的力（質量×加速度）為縱坐標，作接觸載荷-壓縮量曲線關系圖。根據曲線趨勢，得到曲線的關系式為F=111886x2。

航天器和氣囊以初始速度v0=10 m/s豎直下落，撞擊到斜坡上，重力加速度為9.8 m/s2。記氣囊撞擊到斜坡上的時間為t0=0，建立三個方向的微分方程，編寫 Matlab程序，利用中心差分法，解出微分方程（1），（2）和（3）。利用坐標轉化矩陣（9），（10）和（11），得到總體坐標系下的位移、速度、加速度曲線。

輸出結果以落點(0.400, 0.923)為例，此時撞擊點處的斜坡坡度20.27°，如圖6所示。氣囊與斜坡撞擊后約0.2 s離開地面，在撞擊的過程中，等效質量在豎直方向的最大過載為195.4 m/s2，在撞擊后，豎直方向速度的值減小，方向變為反向；等效質量在水平方向的最大過載為 66 m/s2，在撞擊后，水平方向速度約為66.6 m/s。撞擊過后，由于坡面的角度較大，此時轉動的角速度約為0.5 rad/s。

5 仿真驗證

5.1 撞擊點坡度為0°

利用Patran軟件，建立氣囊模型，如圖7所示，氣囊半徑為1 m。氣囊的上方為等效質量塊，質量為256 kg，氣囊和質量塊初始速度為10 m/s，方向豎直向下，重力加速度為9.8 m/s2。輸出水平方向和豎直方向的過載曲線，與理論解進行對照，如圖8所示。在理論解中，等效質量塊水平方向的過載始終為0，豎直方向的最大過載為224.5 m/s2。在仿真解中，水平方向的過載存在一定波動，在濾波之后，過載近似為0，與理論解相當。豎直方向的過載也存在一定擾動，濾波后其最大過載約為224.5 m/s2，等于理論解。因此，當撞擊點坡度為0°時，理論計算與仿真結果相一致。

5.2 撞擊點坡度為20.27°

利用Patran軟件，建立氣囊模型，如圖9所示，氣囊半徑為1 m。氣囊的上方為等效質量塊，質量為256 kg，撞擊點坡度為20.27°，氣囊和質量塊初始速度為10號m/s，方向豎直向下，重力加速度為9.8 m/s2。輸出水平方向和豎直方向的過載曲線，與理論解進行對照，如圖10所示。在理論解中，等效質量塊水平方向的最大過載為66.6 m/s2，豎直方向的最大過載為195.4 m/s2。在仿真解中，水平方向的過載存在一定波動，在濾波之后，最大值為 70 m/s2，與理論解的相對誤差為4.8%。豎直方向的過載也存在一定擾動，濾波后其最大過載約為183 m/s2，與理論解的相對誤差為 6.8%。因此，在誤差允許的范圍內，理論計算與仿真結果相一致。

6.3 撞擊點坡度為31.24°

利用Patran軟件，建立氣囊模型，如圖11所示，氣囊半徑為1 m。氣囊的上方為等效質量塊，質量為256 kg，撞擊點坡度為31.24°，氣囊和質量塊初始速度為10m/s，方向豎直向下，重力加速度為9.8 m/s2。輸出水平方向和豎直方向的過載曲線，與理論解進行對照，如圖12所示。在理論解中，等效質量塊水平方向的最大過載為92.5 m/s2，豎直方向的最大過載為157.5 m/s2。在仿真解中，水平方向的過載存在一定波動，在濾波之后，最大值為 96 m/s2，與理論解的相對誤差為3.6%。豎直方向的過載也存在一定擾動，濾波后其最大過載約為148 m/s2，與理論解的相對誤差為 6.4%。因此，在誤差允許的范圍內，理論計算與仿真結果相一致。

6 不同撞擊角度情況比較

氣囊和等效質量塊以同一速度撞擊到斜坡的不同落點時，撞擊速度與坡面的夾角不同，水平方向和豎直方向的最大過載也不同。最大過載隨撞擊點坡度變化的曲線如圖13所示。根據曲線可知，當撞擊點坡度為0°時，水平方向最大過載為0，隨著撞擊點坡度的增大，水平方向的最大過載逐漸增大。在撞擊點坡度為0°時，豎直方向最大過載的值最大，為224.5 m/s2，隨著撞擊點坡度增大，豎直方向的最大過載逐漸減小。此外，在不同撞擊點上，比較氣囊彈離地面時的角速度，如圖 14所示。當撞擊點的坡度在 0°到 20°之間時，氣囊離地時的角速度隨坡度的增加而增大；當撞擊點的坡度在 20°到 30°之間時，氣囊離地時的角速度隨坡度的增加而增大，但增大的程度變緩。

7 結論

文中提出了一種計算氣囊的理論方法。首先建立了氣囊有限元模型，在無重力條件下對給定氣囊施加載荷，得到接觸載荷-壓縮量曲線，根據曲線擬合出接觸載荷與氣囊壓縮量的關系式。同時利用高斯函數模擬斜坡的坡面，考慮一質量塊（模擬航天器）和氣囊以一定初速度豎直向下撞擊到該坡面上，只考慮坡度大小和表面粗糙度對氣囊載荷的影響，利用中心差分法計算出質量塊的位移、速度以及加速度。

將理論計算所得的結果與仿真輸出的結果進行對照，在撞擊點的坡度為0°，20.27°和31.24°時，得到理論的水平方向和豎直方向上的最大過載。與仿真結果對照，在誤差允許的范圍內，理論與仿真結果一致，從而驗證了該理論計算方法的有效性。

利用該方法，分析比較不同的撞擊角度下，等效質量塊水平、豎直方向上最大過載以及氣囊離開地面時的角速度。當撞擊點坡度為 0°時，水平方向最大過載為0，隨著撞擊點坡度增大，水平方向的最大過載逐漸增大；豎直方向最大過載的值最大，為224.5 m/s2，隨著撞擊點坡度增大，豎直方向的最大過載逐漸減小；當撞擊點坡度為0°時，角速度為0，氣囊離開地面時的角速度逐漸增大，其增幅在 0°到20°之間較大。