基于改進均值—方差模型的電力系統經濟調度

張依強 ，孫 鵬 ，楊佳俊

（1.國網山東省電力公司菏澤供電公司，山東 菏澤 274000；2.國網山東省電力公司萊蕪供電公司，山東 萊蕪 271100）

0 引言

幾十年來，電力系統經濟調度問題一直受到研究人員的重視。傳統電力系統經濟調度的本質是在已知機組組合計劃的前提下，通過合理分配各臺機組的有功出力，使得總的發電成本最小。隨著能源需求的不斷加大，以及環境保護意識的不斷加強，傳統火力發電越來越不能滿足社會發展需要，而風力發電作為一種新能源應用越來越廣泛。雖然風力發電資源有很好的清潔性和經濟性，但隨著風力發電并網規模不斷增大，風力發電所具有的不確定性給電力系統調度研究帶來不可忽視的影響。

文獻［1］引入正、負旋轉備用約束來應對風力發電預測誤差對系統的影響，但不能準確描述風力發電的不確定性。針對確定性建模方法的不足，研究人員一般采用模糊建模和概率建模來模擬風力發電不確定性［2-8］。文獻［2］采用模糊理論建立含風力發電場的電力系統動態經濟調度模糊模型，能更好地適應風機輸出功率的不確定性。文獻［3-4］研究風速長期分布情況，并用Weibull分布作為風速模型，同時在風力發電成本目標函數中加入懲罰因子，計及風力發電功率高估或低估對總成本的影響。文獻［5］通過分析江蘇某風力發電場中地理位置相鄰的9臺機組的實際運行數據，分析得出4個季度的風速概率分布曲線近似服從Weibull分布的結論，雖然Weibull分布模型適用于描述長期風速不確定性問題，但對于電力系統經濟調度這一短期操作并不合適［6］。 文獻［7-8］提出利用高斯分布模擬風速預測誤差，但是常規的高斯分布模型對于風速預測誤差模擬仍存在其局限，其準確性有待提高。

在風力發電不確定性建模的基礎上進行目標函數優化是解決經濟調度問題的關鍵。文獻［9］將抽水蓄能電站和風力發電場結合，提出了風蓄聯合系統削峰的調度策略，把最大化風蓄聯合出力作為目標函數優化。文獻［10］提出考慮錯估風力發電功率的目標函數，通過正態分布模型模擬風力發電功率預測誤差，并采用傳統等耗量微增率準則進行模型求解。文獻［11］綜合考慮機組強迫停運率等條件，建立以最小化系統發電成本和期望停電成本為目標函數的數學模型，將風力發電功率的不確定性以概率形式引入機組停運容量的計算中。文獻［12］分別把風力發電場運行總費用、常規機組發電總耗量函數和污染排放量作為目標函數進行優化。以上文獻均把總風力發電成本作為目標函數進行優化，只能反映其調度方案的預期收益，無法在目標函數中體現出風力發電不確定性特性帶來的影響。

H.M.Markowitz在1952年提出均值—方差模型［13］，在組合投資領域廣泛應用，用以保證利潤最大化和風險最小化。近年來，該模型也被應用于電力系統中［14-15］。但是這些應用主要基于幾種標準預測誤差分布，模型的準確性依賴于預測誤差分布擬合的準確性。

為增加高斯模型擬合風速誤差的準確性，提出基于相關性理論的改進高斯模型參數整定方法，建立了含風力發電的電力系統經濟調度均值—方差模型，最后提出一種基于最優概念的全局改進差分進化算法用于模型的求解。

1 基于相關性理論的風力發電不確定性模擬

1.1 傳統高斯模型

由于高斯概率分布函數模型更加適用于短期的風速誤差模擬，因此選擇該分布對風速不確定性進行模擬。

根據高斯概率分布原理［16］，假設風速預測值為v′，則實際風速 v=v′+Δv，其分布函數為

其概率分布模型為

根據高斯分布理論可知，參數μ（標準差）和參數σ2（方差）對于誤差模擬的精確度影響很大，而風速誤差模型的準確性直接影響電力系統經濟調度模型是否合理。一般高斯參數的整定方法是通過已有的數據進行擬合確定，現有某地某月2 984個時刻風速預測誤差數據，數據間隔為15 min。為了分析誤差值出現的頻率，將數據進行分組。確定21個數據誤差區間，以0.5 m/s作為分組區間寬度，統計分布在每個區間內預測風速誤差值個數，并求出對應頻率，利用高斯分布擬合頻率分布，擬合結果如圖1所示。

圖1 風速預測誤差分布擬合

高斯模型擬合結果是μ=0.05，σ=2.112，由圖1可知，傳統高斯模型擬合結果大致符合風速預測誤差分布情況。

通過下述4個指標對MATLAB擬合性能進行評價：

1）和方差。用來衡量擬合值和數據之間的偏差，該值越接近于0，擬合性能越好。

2）決定系數R2。用于衡量擬合曲線是否能貼近數據變化方式，該值越接近于1，擬合性能越好。

3）校正決定系數。通常用于增加額外參數指標后的擬合結果評價，該值越接近于1，擬合性能越好。

4）均方根誤差。該值越接近于0，擬合性能越好。

通過上述指標對傳統高斯模型擬合結果進行評價后，所得評價結果如表1所示。

表1 傳統高斯分布擬合曲線指標

由表1中可知，傳統高斯分布的擬合結果基本達到所需要的要求，因此可以根據已有風速數據樣本，利用高斯分布分析未來風速誤差分布。

1.2 反常預測誤差數據分析

分析上述擬合結果可以發現傳統高斯分布擬合仍存在誤差，從圖1中可以看出對于誤差絕對值超過3 m/s的數據分布和擬合曲線有很大差距，將頻率超過高斯分布特征的數據定義為反常預測誤差數據。

將2984組數據根據時間順序進行編號，為了進一步分析反常數據分布情況，從總體數據中篩選出反常預測誤差數據，得出反常預測誤差數據分布情況如圖2所示。

圖2 反常預測誤差分布

由圖2可知，共有167個反常預測誤差數據，主要集中在有限的幾個區域中，說明反常預測誤差數據分布具有明顯集中特性。根據實際情況分析，反常預測誤差的出現來源有預測方法的局限、反常的氣象變化等［13］，而這些原因導致的反常預測誤差都有集中化的特點。根據這一分布特點，可以得出反常預測誤差數據出現之間有很強的相關性。

1.3 基于相關性的改進高斯分布模型

1.3.1 相關性理論

相關性理論是用于分析兩個或者多個事物 （變量）之間關聯密切程度的方法［17］。在統計學中相關性分析是指對事物或者某系統的多重指標之間，以及指標與其所確定的評價目標的相關性評價過程。利用肯德爾相關系數來確定反常誤差數據出現的相關性問題。

肯德爾相關系數是通過對兩組變量的一致性進行計算得到的統計值，首先需要比較兩組變量之間成對元素大小趨勢關系并進行分類，具體分類方法如圖3所示。

圖3 肯德爾相關系數一致性判斷方法

肯德爾相關系數是一個統計值，不同于其他相關系數數學定義，其數學定義為

式中：C為X與Y中擁有一致性的元素對數 （兩個元素為一對）；D為X與Y中擁有不一致性的元素對數；N為元素總數。

1.3.2 基于相關性的改進高斯分布模型

為了研究反常預測誤差數據出現的規律，分析當前時刻出現反常預測誤差數據與前一小時內的預測誤差的方差、均值和歷史同期誤差值的相關系數分別為 0.172 0，0．660 8，0．217 3。

由分析可知，前1h預測誤差均值與當前時刻預測誤差相關性最大，呈顯著相關關系，而和同期歷史數據、前1h內預測誤差方差相關性很小。為了進一步研究下一時刻預測誤差值與其之前預測誤差均值之間的相關性，改變之前時刻數據時間間隔，即取當前時刻到前24 h內的預測誤差數據，計算均值和下一時刻誤差相關系數，從而尋找最大相關性變量。首先計算前15 min內預測誤差值均值和當前時刻預測誤差值相關系數，然后計算前30 min內預測誤差值均值和當前時刻預測誤差值相關系數，以此類推，直到計算前24 h內預測誤差值均值和當前時刻預測誤差值相關系數，計算結果如圖 4所示。

圖4 相關系數變化曲線

由圖4可知，隨著時間跨度增大，相關系數不斷減小，從顯著相關減弱到低相關。前15 min的預測誤差和當前時刻預測誤差相關性最大，相關系數可達到0.8，說明離該時刻越遠的數據對于該時刻預測誤差影響越小，預測當前時刻預測誤差時，與該時刻越接近的預測誤差值越有參考價值。

從上述數據分析結果可知，反常誤差數據集中在短時間內出現，當出現一個反常預測誤差數據后，下一時刻誤差值也很可能與該值相近。因此，當利用高斯分布模擬風速誤差時，如果出現反常預測誤差數據，可以通過改變高斯分布的參數來增加模擬準確性，此時可將參數μ整定為上一時刻的預測誤差，而把參數σ設定成0.2μ。

利用改進高斯模型進行風速預測誤差數據模擬，首先利用已有數據擬合高斯分布模擬數據，再通過與實際數據進行實時比較，比較結果如圖5所示。當出現反常預測誤差數據時，按上述方法修改參數后進行數據模擬，最終將模擬所得的2 914個數據與實際數據進行擬合比較，擬合曲線指標如表2所示。

由圖5和表2可知，利用改進高斯分布仿真得到的數據更加貼近實際數據，特別是在反常數據分布模擬方面的準確性大大高于傳統高斯分布模擬，說明通過改進的高斯模型可以有效用于風速預測誤差模擬研究。

圖5 改進的高斯分布模型模擬數據與實際數據比較

表2 改進高斯分布擬合曲線指標

上述對于風速不確定性的高斯概率模型的研究為保證下文的動態經濟調度模型的準確性奠定基礎，通過動態整定參數使得風力發電并網后的調度模型具有實時性。

2 基于均值—方差的經濟調度模型

2.1 考慮火電燃燒成本

在研究風力發電并網后的發電成本時一般都忽略風力發電自身的發電成本，風力發電并網的經濟性一般都體現在減少火電輸出功率，從而減少總發電成本，因此需要先對火力發電成本進行研究。火力發電成本絕大部分都是燃燒成本，應用最為廣泛的火力燃燒成本目標函數為

式中：F為電力系統中發電成本；M為該系統中火電機組數量；Pi為第i臺火電機組發電功率；Pimin為第i臺火電機組最小發電功率；ai，bi，ci分別為第 i臺機組發電功率與燃燒成本相應系數；gi與hi為閥點效應系數。

2.2 基于改進高斯分布的均值—方差模型

文獻［14］提出利用H.M.Markowitz的均值-方差模型解決含風力發電不確定性的電力系統經濟調度問題，其均值—方差模型為

式中：Pexp為利潤均值；W0為純火電機組輸出一定功率時的總成本，包含燃燒成本和污染物排放總成本；Wi為發出同等功率時第i個取樣樣本的風力發電輸出功率的總成本；NS為概率模型取樣點個數；P（Wi）為第i個取樣樣本的概率。

均值目標函數表示發電方案在不同風力發電功率輸出情;況下得到利潤的均值，根據風險性的定義，可以用偏離風險作為方案風險性的指標，具體目標函數為

式中：V為均值目標函數。

方差目標函數用于衡量發電策略風險性指標。在該均值方差模型的基礎上加以改進，利用提出的改進高斯分布模型描述取樣概率，從而使模型在出現反常預測誤差時能夠保證模型準確性。

3 改進的差分進化算法

為提高算法尋優效率，將粒子群（PSO）算法運用全局最優點更新粒子的方法引入到差分進化算法中。差分進化算法步驟如下［19］。

1）初始化種群。

初始種群根據以下表達式隨機產生：

式中：xi（0）為種群中的初代第 i個個體；xj，i（0）為初代的第 i個個體的第 j個“基因”；rand（0，1）為分布在區間 （0，1）范圍內的隨機數；U為種群中個體最大值；L為種群中個體最小值。

2）變異操作。

具體措施是建立一個儲備集CB來保存算法每一代得到的非支配解（較好解），種群每一代中出現一個新的非支配解都需要和儲備集中的解比較，如果該解不被儲備集中任意解支配，則將其加入儲備集；若該解支配儲備集中的解，則把被支配的解從儲備集中刪除，將新解加入。然后在變異操作過程中，按一定的概率從儲備解中選取個體作為變異個體，表達式如下：式中：p為選擇儲備集解的概率大小；Gj為儲備集CB中隨機取得任意一個解；F為縮放因子，F一般取0～2，影響偏差分量的放縮比例。F取值較小時，收斂速度較快，但如果過小，就可能使迭代早熟；F取較大值時，雖然可以找到較好的最優解，但收斂速度過慢。 所以，F 取值調整為［21］

式中：t為當前代數；T為進化代數。

3）交叉操作。

通過對第 g 代種群 xi（g）及其變異的中間體 vi（g）進行操作得到中間個體，具體表達式如下：

式中：CR為交叉概率；jrand為［1，2，…,D］的隨機整數，D為樣本總數。交叉算子CR取值為0～1，決定一個新個體中的元素來自隨機選擇的變異個體還是原來個體的概率。

4）選擇操作。

差分進化算法采用優值選取算法來選擇下—代種群的個體，表達式如下：

改進的差分進化算法步驟如下：

1）設置算法參數，種群大小NP，種群維數D，進化代數T，縮放因子F，交叉概率CR；

2）初始化種群，計算每個個體適應值，并根據Pareto關系建立儲備集CB，迭代次數為t=1；

3）利用上述改進差分算法理論中的變異操作，生成中間個體；

4）利用上述差分算法理論中的交叉操作，生成新個體；

5）利用上述差分算法理論中進行選擇操作，得到子代種群；

6）利用子代種群中較好解更新儲備集CB，迭代次數 t=t＋1；

7）判斷迭代次數是否滿足設置的代數，若滿足則輸出儲備集，不滿足則回到步驟3，繼續迭代。

4 算例分析

以IEEE-57節點系統為例，驗證基于均值—方差的電力系統經濟調度模型和改進差分進化算法的可行性。算法仿真所用電腦配置為：AMD雙核處理器，2G內存，64位操作系統。IEEE-57節點系統有7臺火力發電機，機組出力上下限，燃燒成本參數如表3所示，其中機組出力單位是100 MW。

首先計算IEEE-57節點系統的火電機組發電成本，再考慮3個符合相同高斯分布模型的風場并網后的利潤均值和方差來判斷其并網后的經濟性和風險性。為了比較不同高斯分布風場并網對于方差目標函數的影響，分析符合2個不同高斯分布模型的風場分別并網后的結果差異。

表3 IEEE-57節點系統燃燒成本參數

4.1 風速預測誤差符合相同高斯分布

風場機組數量和風速預測如表4所示，3個風場的風速預測誤差分布屬于相同的高斯分布，參數為μ=0，σ=2，風場的風力發電機都是雙饋感應發電機組，額定功率為2 MW，切入風速為4 m/s，切出風速為 20 m/s，額定風速為 12.5 m/s，利用 LHS取 400個樣本，繼續進行仿真，仿真結果如表5、圖6所示。

表4 風場預測風速和風力發電機組數量

圖6 不同尋優算法所得Pareto解集

表5 不同算法優化結果比較

為了更加準確分析3種算法所得Pareto解集優劣，同樣用SP測度對非支配解集進行測試，將算法運行20次，分別記錄所得最優值，最劣值和平均值如表6所示。

表6 不同算法Pareto解集的SP測度

分別利用改進DE，普通DE和PSO在均值—方差模型中尋優得到的Pareto最優解集。

分析圖6可知，改進DE算法得出的非支配解相比于DE和PSO的解集，分布更加均勻，Pareto前沿也比較平滑。不僅如此，具體分析3種算法解得分布可以發現，改進DE算法所得解集分布范圍明顯大于其他兩者，說明改進的DE進化算法具有良好的尋優能力。

無論在平均值還是標準差方面，改進DE算法都有明顯的優勢，可見改進的DE算法所得的非劣解均勻分布在空間中，有著優于其他算法的Pareto前沿，進一步證明改進DE算法在IEEE-57節點系統模型的有效性。

圖6中綠星表示通過滿意隸屬度在Pareto解集中選取的折中解。記錄3種算法所得折中解如表7所示。

比較根據決策者滿意度來判斷得到的折中解，改進DE算法得到的折中解的利潤均值大于其他兩個，且方差也低于另兩個折中解，說明改進DE尋優所得方案都優于其他兩種算法，能夠有效求解兼顧經濟性和穩定性的發電方案。

表7 不同算法Pareto解集中的折中解

為了證明折中解的求取的重要性，從圖6中取均值最大解（方案D）和方差最小解（方案E）與折中解（方案F）進行比較。 均值最大解范圍為［260.365，578.675］，方差最小解范圍為=［142.582，260.365］，3 個解的 400個樣本值利潤分布如圖7所示。

圖7 3個解中400個風速樣本對應利潤值分布

從圖7可以看出，方案D雖然可以得到超過E和F的利潤均值，但方案D的樣本利潤分布差距太大。方案D中許多風速樣本對應利潤都要低于方案F，說明方案D會出現實際利潤大大低于預期值，從投資角度看，該方案存在較大的下行風險，因此放棄方案D。方案E雖然利潤分布穩定，但預期利潤值過低。因此，考慮到預期利潤和風險值，選擇折中解，即方案F。

4.2 風速預測誤差符合不同高斯分布

為了進一步驗證風速不確定性對于不同風場的方差目標函數的影響程度，假設3個風場風速預測誤差分布屬于不同參數的高斯分布，參數如表8所示。

表8 不同風場高斯模型參數

由表9可知，風場1的參數μ和σ較小，代表風速實際風速值偏離預測值幅度較小，風場2參數μ和σ較大，代表風速預測誤差不管從平均值還是偏離程度上都比風場1大，說明實際風速大幅度偏離預測風速。現假設某時刻預測風速為8 m/s，將兩個風場分別并網之后，進行均值—方差目標函數求解。

為了進一步驗證高斯模型參數不同的影響，在12個時刻將2個風力發電場分別并網，假設每個時刻預測風速值與實際風速相同，記錄12個時間段的3個風力發電場并網后利潤方差函數值和每個風場并入風力發電功率均值，如表9所示。

表9 不同風力發電場方差目標函數值和并網風力發電功率

從表9可以看出，針對不同時刻并網功率來看，風力發電場1的并網功率均值均大于風電場2，原因為不同風速分布模型參數導致的風速樣本分布不一樣。風電場2的風速預測誤差過大，為了減少其不確定性對于整個系統的影響，大幅度減小其并網的風電功率。隨著預測風速的增加，風場1的并網均值功率增加近14 MW，風場2僅增加6.6 MW，為保證系統穩定性，通過減小高風險性風場的并網功率以減小發電方案的風險性。

5 結語

通過大量風速預測誤差數據對風速不確定性模擬方法進行研究，利用相關性理論對傳統高斯概率模型進行改進，以此作為基礎引入均值—方差模型解決含風電的電力系統經濟調度問題，并用改進的差分進化算法對模型求解。仿真結果表明，改進差分進化算法能夠求解出更好的多目標Pareto解集，同時均值—方差模型可以根據不同風場風速分布特性進行風電并網功率選擇。