欠定模型下動態諧波阻抗矩陣的估計

王 亞， 崔 浩， 趙惠詠， 朱英偉

(1. 國網山西省電力公司運城供電公司，山西 運城，044000；2. 國網湖北省電力有限公司襄陽供電公司，湖北 襄陽，441000；3. 四川大學電氣信息學院，四川 成都，610065)

0 引言

隨著電力系統的發展，大量非線性負荷并入電網，導致諧波污染問題日益嚴重，如何準確定位諧波源及對諧波責任進行準確劃分亟待解決。諧波源定位成為諧波污染責任劃分的前提，也是當前國內外研究的熱點和難點[1-3]。在諧波源定位過程中，電網的運行方式在不斷改變，同時存在一些必要的開關操作，導致電力系統中諧波源信號和諧波阻抗矩陣處于實時波動的狀態，從而使得獨立分量分析獨立分量分析(independent component analysis，ICA)算法難以實現[4-6]。目前，欠定情形下的諧波源定位是一個更符合實際情況的問題[7]，要求在諧波電壓的量測個數少于諧波源信號個數的情況下進行諧波阻抗矩陣的估計。

文中諧波阻抗矩陣的估計主要采用基于稀疏表征的兩步法。但電力系統中當前時刻存在諧波源信號，在下一時刻可能不存在于電網中；或者說當前時刻不存在諧波源信號，在下一時刻可能將突然存在于電網中。此外，環境對電力系統也存在一定影響，所以基于上述情況下的欠定諧波阻抗矩陣估計，常規的兩步法已經不能對諧波阻抗矩陣的變化時刻做出準確的判斷和估計[8]，準確地實現諧波源定位也比較困難。因此，本文對基于欠定模型下動態諧波阻抗矩陣的估計進行了研究和探討。首先采用稀疏域二維最小偏差角估計諧波阻抗矩陣變化時刻，然后采用重構觀測信號采樣點搜索方法估計諧波阻抗矩陣和諧波源動態數目，最后對比驗證本文方法實現欠定模型下諧波阻抗矩陣變化時諧波阻抗矩陣估計的準確性和合理性。

1 稀疏信號的特征及表示

將電力系統中諧波阻抗的估計問題抽象為盲源分離問題[9]，在不確定源信號和傳輸通道的條件下，假設I=[i1,i2,···,in]T是N維相互獨立的諧波電流源信號，U=[u1,u2,···,um]T是M維關注母線的諧波電壓的量測值信號，Z表示m×n階的未知阻抗矩陣(m

U=ZI

(1)

欠定模型下的位于公共連接點(point of common coupling，PCC)節點上的諧波源數量與諧波阻抗矩陣的估計是以信號具有一定的稀疏性為前提的[10]。稀疏信號在多數時刻信號的取值為0，則兩個稀疏的諧波源信號幾乎不可能同時出現幅值較大的情況，即多數時間段最多僅有一個諧波源信號取值占優。式(1)可以展開表示為：

(2)

(3)

由式(3)可知，諧波注入電流與量測的諧波電壓和動態諧波阻抗矩陣有關。而在估計各節點的諧波注入電流時諧波阻抗矩陣處于隨時波動的狀態[11]，所以首先必須估計出動態變化的諧波阻抗矩陣的變化時刻和變化后的諧波阻抗矩陣。

2 動態諧波阻抗矩陣的判斷與估計

2.1 動態變化的諧波阻抗矩陣的判斷

估計諧波阻抗矩陣最關鍵的一步是檢測其變化時刻[12]。設在t=0,1,…,T1-1,T1時刻，阻抗矩陣為A,在t=T1+1,T1+2,…,T2-1,T2時刻，阻抗矩陣變為B。其中A、B分別是m×p1階和m×p2階未知阻抗矩陣，p1,p2分別為t=0,1,…,T1-1,T1時刻和t=T1+1,T1+2,…,T2時刻的諧波源個數，且p1,p2>m。u(t)=[u1(t),u2(t),…，um(t)]T是PCC節點上m個節點的諧波電壓量測量。對于t=0,1,…,T1-1,T1時刻，稀疏域中的混合模型可表示為：

(4)

(5)

對式(5)的各分量做②式除以①式的變換[13]，再取反正切變換后得：

(6)

(7)

定義初始混合矩陣各列矢量的二維方向角為α0(j)(j=1,2,…,n)：

(8)

由式(6)可知，對i=1,2,…,M的每幀信號的二維觀測信號，其在稀疏域采樣點中必有一些與初始混合矩陣A的某一列向量具有相同或相近的二維方向角。二維稀疏域最小偏差角可表示為：

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δ(k)=min|αi(k)-α0(j)|

(9)

在i=1,2,…,M的M幀觀測信號中，設定a,b兩個閾值[15]，a閾值用來判斷第i幀觀測信號的最小偏差角是否超過a，且超出該閾值的采樣點標記num(i);b閾值用來判斷超出a閾值的采樣點num(i)占第i幀所有采樣點數的百分比是否超過b。若判斷連續穩定出現超過a的num(i)所占比例超過b值，則認為諧波阻抗矩陣發生波動。

2.2 動態變化的諧波阻抗矩陣的估計

判斷了諧波阻抗矩陣的動態變化時刻后，在阻抗矩陣波動前后通過量測不同時刻的母線節點的諧波電壓對不同時間段的阻抗矩陣進行估計。以t=0,1,…,T1-1,T1時間段為例，阻抗矩陣A沒有發生改變，由(5)得：

(10)

(11)

在欠定模型下的諧波源定位，需要知道諧波源的數目。針對諧波源數目動態變化的情況，由于諧波源數目與諧波阻抗矩陣的列數相同，為隨時波動的變量，采用上述方法估計出某一時刻諧波阻抗矩陣的列數便可以得到動態變化的諧波源數目。

3 欠定模型下動態諧波阻抗矩陣估計步驟

(1) 選取適當的處理域。將諧波電壓的量測信號變換到該處理域中，目的是使得諧波電壓的觀測信號盡可能的稀疏化。

(2) 判斷諧波阻抗矩陣是否發生變化。如果沒有發生變化，跳轉至步驟(3)；若諧波阻抗發生變化，使用2.1節的方法判斷阻抗發生變化的時刻T1，跳轉至步驟(3)。

(3) 采用2.2節的方法對諧波阻抗矩陣及諧波源個數進行估計。

4 仿真實驗分析

4.1 仿真模型的建立

實驗仿真使用MATLAB 8.1編程，在圖1所示系統上進行測試分析，在持續2 s的時間內對動態諧波阻抗進行估計。諧波電流源設置在節點5，10，14，使諧波源在電氣與地理中均相隔較遠，其中設置節點5的諧波源在1～2 s內消失。初步選取兩個諧波電壓的量測節點，關注節點5和10，兩個諧波電壓的量測節點觀測的諧波電壓的波形如圖2。在欠定模型下對諧波阻抗矩陣的變化時刻進行估計。全部的仿真過程在一臺處理器主頻為2.33 GHz，內存為2.00 GB的HP計算機上進行。

圖1 IEEE-14節點仿真系統Fig.1 IEEE-14 node simulation system

圖2 諧波電壓的量測節點觀測的混合信號的波形Fig.2 Observation waveform of mixed signal of harmonic voltage measurement node

4.2 諧波阻抗估計過程

假設在IEEE-14系統中同時注入非線性負荷，其數據來源于New York ISO[17]。信號持續的時間為2 s，采樣頻率為1000 Hz，取閾值b=50%，分析各幀諧波電壓的量測信號的最小偏差角超出一定角度的num(i)在該幀所有采樣點中所占比例的變化曲線如圖3所示。其中第十幀以后的信號均超過了閾值b，前十幀信號的num(i)都穩定的小于閾值b。故可分析得0～1 s的時間波阻抗矩陣沒有發生變化，1～2 s的時間諧波阻抗矩陣發生了變化。

圖3 各幀觀測信號的num(i)百分比變化曲線Fig.3 Change curve of num(i) percentage of observed signals in each frame

對1～2 s已經發生變化的阻抗矩陣進行估計，設定搜索子區間Q=100。對變化后的某一列阻抗矩陣進行估計，如圖4所示。圖4(a)表示諧波電壓量測值的全部重構采樣點組合的散點圖；圖4(b)表示Q=100的所有子區間內分布的采樣點個數；圖4(c)表示在重構諧波電壓量測信號對區間重新進行分割搜索后采樣點的散點圖。結合圖4(c)的采樣數據和公式(11)即能估計出某一列諧波阻抗矩陣，最后再估計變化后的諧波阻抗矩陣。

圖4 混合矩陣某一列的估計過程Fig.4 Estimation process of a mixed matrix column

4.3 諧波阻抗的估計結果對比分析

截取諧波阻抗矩陣0～2 s的幅值變化曲線，對比分析實際值、基于稀疏表示的兩步算法和基于本文算法估計得到IEEE-14節點系統中節點5、節點10、節點14的諧波阻抗幅值，其分布情況如圖5所示。

圖5 諧波阻抗的幅值估計Fig.5 Amplitude estimation of harmonic impedance

各節點由上至下的3個波形分別為實際諧波阻抗幅值波形，稀疏表示法估計的諧波阻抗幅值波形和本文算法估計的諧波阻抗幅值波形。采用稀疏表示算法的估計值和本文算法估計得到的諧波阻抗與實際諧波阻抗之間存在誤差，但本文算法估計得到的諧波阻抗更接近實際值。圖5(a)中，在0～1 s時，稀疏表示法還可以大致估計諧波幅值的變化趨勢，但在1～2 s時，實際諧波阻抗幅值變化較小，比較穩定，稀疏表示法完全失真，而本文算法仍能夠準確估計諧波阻抗矩陣，同時節點5的諧波阻抗幅值在1～2 s的變化驗證了該諧波源在該時段消失。

為了進一步確定本文算法和稀疏表示算法估計的諧波阻抗與實際值之間的誤差，表1給出了圖5中諧波阻抗幅值的仿真結果，表中的相似系數是描述估計諧波阻抗矩陣和實際諧波阻抗矩陣相似性的參數，定義為：

(12)

表1 諧波阻抗估計的相似系數Tab.1 Similarity coefficient of harmonicimpedance estimation

通過表1的相似系數可以看出，從估計精度上比較，在0～1 s時，稀疏表示法和本文算法都能以較高的估計精度估計出諧波阻抗矩陣，本文方法對于節點5、節點14的諧波阻抗矩陣估計精度略高一些；對節點10的估計精度較低一些。在1～2 s時，本文方法仍能以較高的估計精度估計諧波阻抗矩陣，而稀疏表示法估計失敗。因此，使用常規的稀疏表示算法是不能適應信源及信道動態變化情況的。從估計速度上比較，本文方法的估計速度約是基于稀疏表示算法的95倍。如果只考慮在混合矩陣未發生變化的0～1 s時段混合諧波阻抗的估計，稀疏表示法雖然能估計出諧波阻抗矩陣，但速度也不及本文方法。在同等仿真環境下，只對0～1s時段混合諧波阻抗的估計仿真表明，稀疏表示法的估計速度是20.370 s，本文方法的估計速度是0.304 s。總之，在本文方法中，由稀疏域中觀測信號的一些采樣點，可以在判斷諧波阻抗矩陣是否發生變化的同時，對動態變化的諧波阻抗矩陣完成估計并獲得動態源信號的數目；而稀疏表示法沒有對動態變化的混合矩陣采取判斷和估計，只是對原觀測信號直接進行估計，因此估計失敗。

5 結語

針對欠定模型下電力系統中諧波源信號時而出現時而消失，時變諧波源的數量導致諧波阻抗動態變化的問題，本文提出改進稀疏表征的兩步算法估計諧波阻抗。該方法應用到工程實際中的前提是確保每一個待估計的諧波源信號具有稀疏性。該方法的優點是克服了時變諧波源數量對諧波阻抗的影響，可以判斷諧波阻抗變化的時刻及精確估計諧波阻抗矩陣。通過MATLAB仿真軟件進行IEEE-14節點系統的仿真驗證，結果表明，在欠定模型下改進稀疏表征的兩步算法估計諧波阻抗具有精確性和合理性，并且在信號的采樣點處無需優化，因此本文所提方法比稀疏表示法估計速度快了十多倍。通過本文方法為諧波源定位奠定了基礎，比如諧波源定位設備的選型、安裝位置等，具有廣闊的應用前景。