雙重編碼視角下的小學數(shù)學直觀教學例談*

□ 張 敏

心理學家佩維奧(Paivio.1986)是雙重編碼理論的提出者，他認為長時記憶可以分為兩個系統(tǒng)，即表象系統(tǒng)和語義系統(tǒng)。表象和語義是兩個既相平行又相聯(lián)系的認知系統(tǒng)，表象系統(tǒng)以表象代碼來存儲信息，語義系統(tǒng)以語義代碼來貯存信息。當學習者用言語和表象兩種認知系統(tǒng)表征相同的材料時，如果言語信息和圖像信息在時間和空間上一致時，在編碼過程中就會形成言語表征和視覺表征的連接，從而增加學習者提取信息的路徑,形成有效的學習并提高學習效果[1]。

雙重編碼理論給數(shù)學教學的啟示是：可通過同時運用圖像和語言的形式呈現(xiàn)信息來增強信息的記憶和理解。因此，在小學數(shù)學教學中，在知識的形成階段、聯(lián)系階段、深化階段和再現(xiàn)階段，應同時運用兩套編碼系統(tǒng)，以降低學生的認知負荷與學習難度，增強理解，提高學習效率。

一、知識形成階段：互譯比對

在知識的形成階段，為了幫助學生在頭腦中形成關(guān)于數(shù)學知識的言語表征與圖像表征，要充分利用提供的數(shù)學材料的數(shù)與形兩個方面特點，將數(shù)學材料中所蘊含的數(shù)學信息、數(shù)學規(guī)律以形的方式呈現(xiàn)出來，并引導學生再以數(shù)學語言加以描述，實現(xiàn)數(shù)學知識言語表征與圖像表征的互譯，形成對知識的深刻理解和感悟，以同化或順應的方式納入學生已有的認知結(jié)構(gòu)中。

例如四年級下冊《近似數(shù)》教學片段。

師：如果我們不需要統(tǒng)計出人口的準確數(shù)，只需要統(tǒng)計到“萬”做單位的近似數(shù)就可以了,那么，男性人數(shù)和女性人數(shù)分別大約是多少萬人？

生：男性大約是38萬人，女性大約是39萬人。

師：這兩個人數(shù)都是38萬多，為什么男性大約38萬，女性大約39萬？

生：男性人數(shù)更加接近38萬，女性人數(shù)更加接近39萬。

師：（出示數(shù)軸）在這條直線上有兩個點分別表示38萬和39萬，那么男性人數(shù)大約在什么位置？女性人數(shù)大約在什么位置？（學生上臺指）

師：為什么會在這個位置上？你確定點的位置的依據(jù)是什么？

生：因為男性人數(shù)不到38萬5千，而女性人數(shù)超過了38萬5千。

師：噢，你是看千位上的數(shù)字。千位上是幾的時候，離38萬更近？（0、1、2、3、4）是幾的時候，離39萬更近？（5、6、7、8、9）

師：那么男女人口的總?cè)藬?shù)770889，你會在直線上想到什么樣的畫面？請在紙上畫一畫。

師：說說你是怎么想的。

生：770889在77萬到78萬之間，因為千位上是0，所以離77萬更近，大約是77萬。

師：（出示下圖）誰能說一說，是怎么求這幾個數(shù)的近似數(shù)的？

生：以萬為單位，就看千位上的數(shù)字，千位上的數(shù)字是0、1、2、3、4時就直接把后面的數(shù)全部去掉改成“萬”，千位上的數(shù)字是5、6、7、8、9時，去掉后面的數(shù)字時要在萬位的數(shù)字上加上1。

師：大家總結(jié)的這種求近似數(shù)的方法叫“四舍五入”法。

四舍五入法求近似數(shù)的規(guī)則用語言描述比較復雜，學生不容易理解。上述教學片段中，教師不急于引導學生得出結(jié)論，而是引導學生將材料中提供的準確數(shù)在數(shù)軸上表示出來，在學生頭腦中形成準確數(shù)在數(shù)軸上位置的心理圖像模式，通過教師的引導性語言將心理圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達——看千位上的數(shù)字是否滿5。在言語和圖像表征互譯對比基礎(chǔ)上，四舍五入法的規(guī)律呼之欲出，得到結(jié)論就顯得水到渠成、自然順暢。

二、知識聯(lián)系階段：多維解讀

在數(shù)學知識的深化理解階段，要實現(xiàn)對知識的“精加工”，需要幫助學生建立起新舊知識之間的聯(lián)系，并引導學生從不同的維度分析、解讀，在深層理解的基礎(chǔ)上與更多的知識建立更加廣泛的聯(lián)系，甚至獲得新信息，在以后運用時增加提取線索，便于檢索。例如六年級下冊《圓錐的體積》教學中，當體積計算公式推導出之后，組織學生建立關(guān)系模型并進行解讀。

師：根據(jù)剛才的操作與推導，當你看到一個圓錐時，會想到一個什么樣的圓柱？

生：我會想到和它等底等高的圓柱，這個圓柱的體積是圓錐的3倍。

師：（出示右圖）是的，在研究圓錐的體積時，我們腦中要想到這樣一個圖形——一個圓錐和一個圓柱。現(xiàn)在閉上眼睛，把這個圖像印到自己的腦子里。

師：從這幅圖中，你還能怎么描述這個圓柱和圓錐的關(guān)系？

生：等底等高的情況下，圓錐的體積與圓柱體積的比是1∶3。

師：如右圖，圓柱形的木料加工成體積最大的圓錐，你會想到什么？

通過以上的教學環(huán)節(jié)，學生頭腦中留下了圓錐與同底圓柱進行對比的視覺圖像，學生對圓錐與圓柱之間的聯(lián)系，有了更多角度更多層次的認識與把握，有利于學生用聯(lián)系的觀點看待數(shù)學對象，從而為學生的后續(xù)學習解決數(shù)學問題奠定基礎(chǔ)。

三、知識深化階段：開拓思維

學生學科素養(yǎng)的提升有賴于深度學習，只有深度學習學生才可能開拓思維。在知識的深化階段，如果學習者能夠?qū)⒘暤玫闹R推廣至新的情境里加以應用，這就體現(xiàn)出對知識的“理解”了[2]。要實現(xiàn)這一目標，可行的策略之一是在知識形成并建立相關(guān)聯(lián)系之后，根據(jù)學習材料的特點，呈現(xiàn)與知識相關(guān)的具有共同深層結(jié)構(gòu)的數(shù)學問題及數(shù)學模型，運用所獲得的數(shù)學概念、原理等，從數(shù)與形兩個角度互相解釋、啟發(fā)，以引發(fā)深度體驗，開拓思維。例如六年級上冊《認識倒數(shù)》教學中，在通過算式辨析、感知等活動對倒數(shù)的概念有了一定認識與理解的基礎(chǔ)上，可以呈現(xiàn)面積為1的長方形，引導學生從圖像的角度進一步深化理解。

師：（逐一出示長方形）這些長方形的面積都是1，長和寬有什么關(guān)系？

生：長和寬互為倒數(shù)。

師：你是怎么想到的？

生：長乘寬的積都等于1，所以長和寬互為倒數(shù)。

師：（出示數(shù)據(jù)和括號）你能寫出括號里的數(shù)據(jù)嗎？（學生填寫）

師：像這樣的長方形有很多，把它們都放到一張圖中（動態(tài)出示右圖），每個長方形右上角的數(shù)對，里面的兩個數(shù)正好是長方形的什么？

生：長和寬。

師：這些表示長和寬的數(shù)對中的兩個數(shù)，有什么樣的變化規(guī)律？

生：第一個數(shù)越大，第二個數(shù)就越小；第一個數(shù)越小，第二個數(shù)就越大。

師：這些數(shù)對表示的點越接近橫軸和縱軸時，會不會和橫軸或縱軸重合？

生：不會。

師：為什么，能不能用倒數(shù)的知識來解釋一下？

生：每個數(shù)對中的兩個數(shù)都互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù)，所以兩個數(shù)都不可能是0，那么就不會與橫軸、縱軸重合。

生：從面積的意義來說，只要長方形的面積是1，無論寬多小，都不可能為0。

根據(jù)在前一教學環(huán)節(jié)中所獲得的對倒數(shù)概念的語義理解，結(jié)合長方形的面積計算，將二者建立起有效聯(lián)系，再進一步將長方形及長與寬的數(shù)對表示的點繪制在坐標系上，對互為倒數(shù)的兩個數(shù)的變化趨勢與規(guī)律進行深度討論，一方面利用0沒有倒數(shù)的特征來說明圖像的特征，另一方面根據(jù)長方形面積的特點加深對0沒有倒數(shù)的結(jié)論的理解。這樣的直觀圖像與言語信息的互相解釋與互相理解，拓展了學生的思維空間和數(shù)學視野。

四、知識再現(xiàn)階段：點面結(jié)合

學生的認知結(jié)構(gòu)是由知識點以及知識點之間有意義的聯(lián)結(jié)組成的。清晰、穩(wěn)定、可辨別的認知結(jié)構(gòu)是有意義學習追求的目的之一。所以，在數(shù)學教學中，要致力于幫助學生構(gòu)建每一個知識點的視覺表征與言語表征，以及整個知識單元的視覺表征與言語表征，形成知識網(wǎng)絡(luò)的心理映象，建立知識點間的聯(lián)系通道，形成良好的認知結(jié)構(gòu)。

（一）知識點的雙重表征——數(shù)學圖畫

在某一數(shù)學知識點學習完之后，為進一步強化它在認知結(jié)構(gòu)中的地位，可以引導學生將所學的知識點以圖文結(jié)合的方式“畫”出來，圖（Anchor Chart）即是有效的形式之一。錨圖也叫要點圖，在美國中小學課堂上很常見，是將知識、邏輯、思維進行抽絲剝繭后搭配簡單的圖文呈現(xiàn)出來，基本上是“要點＋圖形”的展現(xiàn)方式，能幫助學生直觀地理解數(shù)學概念、原理，領(lǐng)略重點。如下圖所示即學生學習立方分米和表面涂色的正方體后制作的錨圖，圖像、符號、文字等多種元素相結(jié)合，體現(xiàn)了學生對所學知識的個性化理解。

小學階段制作錨圖，應根據(jù)不同年段學生的特點提出不同的要求。低段可以采用教師演示、學生再創(chuàng)作的方式，中高段可以逐漸放手讓學生自由創(chuàng)作。學生在制作錨圖時，教師不用給予過多幫助與干涉，不同的學生會繪制出不同的錨圖，展現(xiàn)出思維方式的多樣性。繪制好的錨圖可以展示在教室的學習區(qū)域，學生可以隨時互相比較、參考。

（二）知識網(wǎng)絡(luò)雙重表征——思維導圖

當一個單元的知識學習完之后，可以引導學生對單元內(nèi)的知識點進行圖文結(jié)合的整理——繪制數(shù)學思維導圖。思維導圖由形象直觀的圖像和相應的文字、符號等元素組成，側(cè)重于知識的整理與聯(lián)系，如右上圖所示的是學生在學習了五年級下冊《多邊形的面積》單元后所作的思維導圖。學生繪制思維導圖的過程，就是進行知識整合的過程，學生將零散的知識點按照知識的邏輯順序結(jié)合自己個人的理解建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)。知識網(wǎng)絡(luò)從中心詞發(fā)散，聯(lián)想到越來越多的知識點，圖像與言語兼具，十分有利于學生對知識的理解和記憶。

在復習課中，可以以小組為單位，討論交流自己制作的思維導圖中的概念及各概念間的關(guān)系，加深對概念的理解；同時要評價他人的思維導圖。在利用思維導圖進行交流的過程中，學生不僅對同學制作的思維導圖進行評價，幫助同學發(fā)現(xiàn)問題，而且能發(fā)現(xiàn)自己的不足，進行自我評價，從而完善自己的知識結(jié)構(gòu)。通過讀圖—賞圖—完善圖活動，學生進一步從整體上把握知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

從雙重編碼理論可以看出，合理運用兩套編碼系統(tǒng)，可降低學習者的認知負荷，拓寬信息輸入渠道，提高學習效率，也為數(shù)學直觀教學提供了理論支持。