高等數學教學中線性方程組的解法分析

丁黎明　趙冬

摘要：通過對線性方程組解法的教學過程進行探究，引導學生從行列式、矩陣、向量在求解線性方程組的不同使用條件及有關定理結論廣泛思考，幫助學生理清這些知識要點，更好地掌握這幾方面之間的知識聯系，使學生更深入地體會行列式、矩陣、向量在解線性方程組的作用及應用價值。

關鍵詞：線性方程組；求解；解法分析

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）40-0223-02

高等數學教學中線性方程組的求解問題是一個很重要的知識點，也是一個很重要的教學難點[1]。由于線性方程組形式復雜，求解變換涉及到行列式、矩陣、向量等幾方面眾多的基本知識，使學生容易混淆概念，出現思路混亂現象。事實上，行列式、矩陣、向量在求解線性方程組時有關定理與結論是相互一致的，并不矛盾，這就需要教師在教學中善于歸納與總結，理清這些知識要點，幫助學生更好地掌握知識之間的聯系，讓學生更深入地體會到行列式、矩陣、向量在解線性方程組的作用及應用價值[2]。

一、利用行列式解線性方程組

高等數學教學中利用行列式求解線性方程組，即使用克萊姆法則求解。

分析：適用定理1克萊姆法則求解的線性方程組有局限性，必須是所含方程的個數與未知數的個數相等且系數行列式不等于零，而且所求的解是唯一的。那么，自然而然會繼續考慮當方程組中所含方程的個數與未知數的個數不相等時怎樣求解，有多少解，還需深入探究。

二、利用矩陣解線性方程組

利用矩陣求解的線性方程組，方程組中所含方程的個數與未知數的個數不一定相等也可以相等，求得的解可以唯一也可無窮多組，使用初等行變換和逆矩陣求解。

（一）初等行變換法

對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，化成簡化了的階梯形矩陣，再根據矩陣的秩來判斷解的情況，進而在有解的情況下求出方程組的解。

（二）逆矩陣法

由逆矩陣的定義可知，只有n階非奇異方陣才可能有逆矩陣，因此利用逆矩陣求解的線性方程組的系數行列式不等于零，即得秩（）=秩（A）=n，從而方程組AX=B有唯一一組解X=AB。滿足使用逆矩陣求解的方程組也可用克萊姆法則求解。

三、利用向量解線性方程組

當線性方程組有唯一一組解時，行列式或矩陣都能夠具體解出。當線性方程組有無窮多組解時，行列式不能求解，矩陣可以求解但一般解的表達形式比較籠統，能否準確而清晰地表示出通解的形式，需要繼續探究。

定理3 設線性方程組

分析：利用定理3也需要先使用矩陣的初等行變換化成簡化了的階梯形矩陣，根據矩陣的秩判斷解的情況，進而在有解的情況下使用解向量的形式求出方程組的通解，用向量表示的通解形式比一般解的形式更加清晰而準確。利用向量解線性方程組，需要向量組的線性關系作為基礎，通過方程組解的結構，再利用解空間的極大線性無關組表示出通解的向量形式。

總之，通過對線性方程組解法的分析，可以看出行列式、矩陣、向量在求解線性方程組的過程中不斷遞進與延伸，解的表達形式逐漸發展與完善。但要注意區分在求解時的不同使用條件，理清這些知識之間的聯系，才能準確地把握相關結論，靈活地選擇求解方法。

參考文獻：

[1]王凌云，李山.高等數學[M].南京：河海大學出版社，2012：268-288.

[2]劉亞國.關于矩陣應用于線性方程組求解的幾點思考[J].職校論壇，2010，（31）：247-248.