懸臂拓撲優化結構強度剛度特性試驗研究

鄭 健，梅志遠，李華東，王亞楠

(海軍工程大學 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

0 引 言

懸臂結構形式廣泛應用于艦船附體結構設計之中，如舵、潛艇穩定翼等。目前此類結構主要以鋼質內部橫縱骨架外敷鋼質薄殼板為典型結構形式[1–2]，以確保滿足翼體結構的剛度和強度要求，但此類常規交叉骨架結構并非舵翼承載狀態下的最佳方案，因此，質量過大，冗余較多。為了進一步減輕結構質量，工程師們也會進行一些常規的結構優化，如：調整肋骨板材厚度、加減輕孔、調整骨架位置或數量等，這些優化方式往往要基于大量的靜力學計算和分析以及一定的工程經驗，優化周期長，效率低。隨著增材制造技術的逐漸成熟，目前大尺度復雜構型的鑄造技術已能夠為更高效的結構拓撲優化技術提供工程實現基礎，因此，通過結構優化尋找一種更合理的骨架結構是可以實現的。

結構拓撲優化一直被認為是具有潛在經濟效益的研究領域之一。自1904年由Michell提出桁架理論以來，人們不斷的在拓撲優化領域進行研究進步，針對連續體的拓撲優化研究，最具代表性的便是Bendsoe和Kikuchi[3]提出的均勻化方法、Mlejnek[4]的變密度法及Xie[5 – 8]的漸進結構拓撲優化法等，而且這些方法也被大量的應用于各類有限元優化軟件中。

增材制造技術（additive manufacturing,AM）,是一種以三維數字模型文件為基礎直接制造幾乎任意形狀三維實體的制造技術[9]。FDM技術是增材技術的一個分支，它一般使用于桌面級打印機，以PLA和ABS塑料為主要原材料，它可為拓撲優化結構的實現和驗證，提供可行的技術途徑。

本文擬應用拓撲優化技術開展懸臂結構骨架優化設計，然后利用FDM技術制作模型，并通過對比模型試驗，最終驗證了拓撲優化結構與傳統典型結構的設計優劣特性。

1 典型模型計算分析

1.1 典型變截面懸臂含筋結構模型

根據實際模型進行簡化縮比，建立典型含橫縱筋板模型（統稱典型模型），如圖1所示。變截面懸臂含筋結構模型外形尺寸長225 mm，厚度25 mm，最大截面寬度150 mm，最小截面寬度100 mm。圖1（b）為內部橫縱筋板。邊界固支，分別施加2種載荷工況：1）末端壓力載荷；2）扭轉載荷。

材料采用PLA塑料，楊氏模量為1.9 GPa[10]，泊松比為 0.42，密度為 1 250 kg/m3。

利用有限元軟件，對典型模型進行靜力學計算分析，確定出 2 種工況可施加 55 N，80 N，105 N 三種級別的載荷。且具體的施加位置及形式如圖1（a）所示。

1.2 位移及應力分布特征仿真分析

最大應力總是出現在舵軸區，扭轉作用下的變形以結構最大端面的轉角為標準。給出仿真計算的相應數據，分別如表1和表2所示，并給出同時施加2種載荷的應力分布圖（見圖2），以便與優化后的結構進行整體的對比分析。

表 1 各工況下最大應力值Tab. 1 Maximum stress under each working condition

表 2 各工況下最大變形Tab. 2 Maximum deformation under each working condition

從圖2中的應力分布可以看出，高應力區主要集中在舵軸區，只要保證舵軸區安全，整個懸臂結構仍可以進行優化減重，使應力的分布更加合理。

2 基于漸進結構拓撲法進行優化設計及FDM模型制作

2.1 基于漸進結構法的拓撲優化設計

本文基于Abaqus中的漸進結構拓撲優化法進行優化。即在滿足一定的體積（質量）約束條件的前提下，以應變能最小化（即靜柔度最小化，靜剛度最大化）為設計目標，則該拓撲優化的數學表達式如下：

為了保證邊界的一致性，進行拓撲優化時，采用與靜力學分析時相同的邊界條件；考慮到外形的完整性和模型的安全性，設置模型除前端面外的包絡層2 mm的區域以及舵軸區為凍結區域；設置約束條件為優化后體積為原來的35%（不包括凍結區域）；設計目標為結構整體的應變能最小。

利用Abaqus分別在2種載荷和2種載荷共同作用下進行拓撲優化，為偏于安全考慮，所施加載荷均取設計的最大載荷。結果如圖3所示（結構為剖面圖）。在2種載荷的單獨作用下，優化結果分別為模型中間區域出現類似桁架形式的骨架和舵軸區域向兩側延伸的支撐結構；而2種載荷共同作用下的優化結構為含筋箱體梁形式，整體表現為2種單一載荷下優化結構形式的選擇性疊加，在模型中間出現類似桁架形式的縱骨，舵軸末端為類似桁架形式的橫骨架。

基于漸變結構法和數學表達式（1）分析，單獨施加末端壓力載荷時，模型內部會有傳力的縱筋，外表也可能被優化，所以必須設置凍結區域；單獨施加扭轉載荷時，由于剪力流的作用，內部應力接近0，所以優化后為空，僅余外層足夠的厚度，成箱體狀態；但同時施加2種載荷時，則會選擇性保留2種載荷作用的傳力路徑，出現含筋的箱體形式。所以，在應力水平較低的區域中只保留傳力路徑以維持應有的強度剛度，其余區域材料分布狀態則為0。

而且，將優化后的模型與典型模型的應力和位移云圖比較后發現，優化模型在變形和應力的峰值上都有一定程度的增加，但是優化后模型應力的分布更均勻，過渡區域大，變化相對更加平緩，說明拓撲優化有效地提高了模型的材料利用率，保留了更加有效且精簡的傳力路徑。

2.2 FDM模型制作

應用FDM技術制備有橫縱筋板的標準模型和拓撲優化后的模型，完成后的模型如圖4和圖5所示。各模型的質量對比如表3所示。制備的模型由于工藝及后處理工藝的原因，使模型存在一定的誤差。而且由于PLA和鋼的材料屬性相差甚遠，但卻都是均質材料，所以利用FDM技術制做的模型僅能驗證優化模型結構的合理性及優勢。

3 制作模型靜強度剛度試驗研究

3.1 試驗測點布置與加載方法

表 3 模型質量對比Tab. 3 Model quality comparison

分別對典型模型和優化后模型進行靜強度剛度試驗，設置如圖6所示的直角坐標系（平面的垂向為z向）和測點。其中測點2測量應變值，對應仿真計算的應力云圖為應力最大值；其余測點測量位移值。

加載方式如圖7所示，在載荷區域貼上PLA薄片，以便將載荷均勻分布到與有限元計算中相同的加載區域上，以保證載荷條件的統一性，同時盡量避免應力集中的問題；在薄片上再粘貼一個連接基座，以便于與質量塊連接，利用質量塊加載相應大小的力。

3.2 試驗結果

采用位移計測量位移，應變片測量應變，利用數據采集器記錄并保存各測點相應的位移和應變，并將所得結果進行處理，輸出末端壓載x方向的應力，輸出扭轉載荷y方向的應力，以測點1為觀測點，輸出扭轉變形時模型的扭轉角度，如表4～表6所示。

表 4 仿真計算與典型模型試驗應力值對比Tab. 4 Comparison of stress value between simulation and standard model test

表 5 典型模型與拓撲模型試驗應力值對比Tab. 5 Comparison of test stress values between standard model and topological model

利用表6和計算的數據畫出相應的位移對比曲線，如圖8和圖9所示。

3.3 結果對比分析

仿真計算中模型在2種載荷下的最大應力分別為13.97 MPa和5.961 MPa；試驗測出的典型模型的最大應力分別為14.273 MPa和4.032 MPa；拓撲模型的最大應力分別為14.824 MPa和4.071 MPa。優化后模型的最大應力有一定的增大。

從圖8和圖9中可以看出2種模型的試驗位移都有很好的線性規律，而仿真計算的位移值線性卻不好，在扭轉變形中（見圖9），仿真計算的位移曲線更接近二次曲線，經分析發現試驗的固支邊界并非是理想固支，所以在扭轉試驗中，扭轉的中心軸發生了偏移，使整個結構面大部分在扭轉軸的一側，所以線性更好；單獨對比2種模型的試驗位移值（見表5），拓撲模型的位移都比典型模型的位移小，而且從圖8中可以看出，拓撲模型的位移曲線斜率小于典型模型的位移曲線斜率，說明拓撲優化提高了模型的整體抗彎剛度和材料的利用率，使拓撲模型在x方向上的位移變換更平緩；在扭轉變形的各工況下，拓撲模型的相應扭轉角度和各點位移都有所增大，但與典型模型的試驗值相差不大，盡管優化刪掉了部分橫向骨架，但模型抗扭剛度變化不大，這說明拓撲優化在滿足剛度的要求下，有效的提高了材料的整體利用率。

表 6 各工況下各測點相應位移Tab. 6 The corresponding displacements at different measuring points

綜上所述，拓撲優化出的新型結構在保證滿足強度剛度的要求下，有效減輕了結構整體重量，提高了材料的利用率。

4 結 語

本文利用FDM技術實現了拓撲優化結構模型的制作，并進行了靜剛度強度試驗，得出如下結論：

1）優化后的模型較典型模型減重約12.84%，減重明顯；

2）拓撲優化出的新型結構模型強度剛度均滿足要求，且模型的應力分布更均勻，位移變換更平緩，有效的提高了材料的整體利用率。