基于時間最優控制的起重機防擺控制技術研究

宋勁松， 李 凌， 張明哲

(沈陽化工大學 信息工程學院， 遼寧 沈陽 110142)

起重機利用繩索一類的柔性體代替剛體工作，以使得起重機的結構輕便、工作效率高.但是采用柔性體吊運也帶來了一些負面影響，例如起重機負載的擺動一直是困擾提高起重機裝運效率的一個難題.在碼頭、倉庫等貨物集散地，龍門起重機系統必須快速平穩地吊運貨物，吊運過程中，重物擺角幅度不能太大，在平穩停車后，重物擺角要盡快歸零，到達穩定狀態，以便進行下一步運輸.研究龍門起重機更加快速地消除擺動、提高運行效率具有重要的現實意義.

對于龍門起重機的防擺問題，人們進行了數十年的規范研究.早在上世紀末，受限于當時技術和材料，龍門起重機的設計偏于保守以保證安全性，設備通常非常笨重，以較慢的運行速度降低貨物擺動，工作效率低下.新世紀初，隨著工業的快速發展，遠洋物流運輸速度不斷加快，這對龍門起重機的性能有了新的要求，在保證安全和穩定的前提下，需要有更高的轉運速度，龍門起重機迎來了新的發展，新技術新方法被普遍運用.其中，創新的控制技術在起重機防擺研究中起著至關重要的作用，PID參數優化、內模控制、模糊控制等控制技術的應用使龍門起重機消擺問題得到一定程度的優化[1].

控制系統的目標是以最小的過沖和最大的速度將貨物移動到龍門起重機上一個新的位置.大多數龍門起重機控制系統，以提高系統穩定性和魯棒性為主要目標，而更快的轉運速度則是行業領先的標桿.相較于傳統的控制方法，應用時間最優控制能夠在系統穩定基礎上最大程度地提高運行效率.本文對龍門起重機系統進行建模，結合時間最優控制原理，在擺動允許范圍內，實現最快速的運行，并通過Matlab仿真驗證方法可行性.

1 時間最優控制問題

最優控制問題是從事研究工作人員經常碰到的問題，應用什么樣的技術手段使人們能夠用最小的花費得到最好的效果是研究的重點[2].

1.1 時間最優控制問題的數學描述

受控系統的狀態方程可以表示為:

(1)

給定的終端狀態為x(tf)=xf，對控制變量的約束為u(t)∈U∈Rr.

若選擇允許的最優控制函數u*(t)，其將使得系統的狀態方程從初始狀態x0出發，轉移到終端狀態xf的過程所需要的時間最短(即(tf-t0)=tmin)，稱這一問題為時間最優控制問題[1].

時間最優控制問題的性能指標函數可表示為：

(2)

1.2 時間最優控制的必要條件

根據極大值原理可知，線性系統的時間最優控制有解的必要條件是：控制域U必須是“有界閉集”，且最優控制函數必定取這個閉集U的邊界值。由此可得出時間最優的控制為：

(3)

由此可見，允許控制的時間最優控制系統是Bang-Bang型(也稱砰砰型)控制系統，只有繼電型非線性系統才能實現時間最優控制[1-2].

2 系統建模

2.1 模型建立

龍門起重機問題為多剛體、多自由度、多約束的質點系動力學問題.在生產生活中龍門起重機模型實際上是一個三維模型，但是龍門起重機在運動過程中，主要受力情況分布在二維空間內，在另一個維度方向上受力主要是一些擾動(比如風力).為了研究方便，將實際的三維模型抽象成二維模型，且在龍門起重機運行過程中認為繩長不變，纜繩的質量相對于重物的質量可以忽略不計.模型如圖1所示[3].

圖1 起重機系統的物理模型

重物通過繩索與小車相連，小車在電動機的水平拉力F1的作用下在平直軌道上運動.小車的質量為m0，重物的質量為m，繩索的長度為l，可在提升電動機的提升力F2作用下進行升降運動，重力加速度為g；繩索的彈性、質量、運動的阻尼系數可忽略；小車與水平軌道的摩擦阻尼系數為D；重物擺動時的阻尼系數為η，其他擾動可忽略[4].取小車位置為x1，繩長為x2，擺角為x3，將它們作為系統的廣義坐標系，在此基礎上對龍門起重機系統進行動力學分析建模.其中，所涉及的參數、變量、單位及取值參見表1.

表1 參數變量表

由圖1所示的坐標系可知，小車和重物的位置坐標為:

(4)

所以小車和重物的速度分量為:

(5)

系統的動能為：

(6)

此系統的拉格朗日方程組為：

(7)

(8)

2.2 模型簡化

為了應用經典控制理論分析所建立的系統，就需要把式(8)所示的非線性方程組進行線性化處理[5].

(9)

對式(9)進行拉普拉斯變化可得:

(10)

式(10)即為系統的傳遞函數模型形式，據此可以得到圖2所示的定擺長起重機運動系統動態結構圖，圖3是其另一種表達形式.

圖2 定擺長起重機運動系統動態結構

圖3 變換后的定擺長起重機運動系統動態結構

同理，也可將上述模型轉化為狀態空間形式.對式(10)進行變換，每個式子只保留一個二次導數項，可得：

(11)

(12)

(13)

在擺長一定的情況下，起重機模型的狀態空間表達式即如式(13)所示.

3 應用時間最優控制策略

由于起重機防擺控制問題的核心是在有效消除重物擺動的條件下，使小車能夠快速可靠定位，可以通過對重物擺動規律分析，選定有效的控制策略[6-7].

3.1 負載重物擺動問題的數學描述

在建立了龍門起重機的整體運動模型后，為了應用時間最優控制方法，還需要對負載擺動模型獨立進行分析.

(14)

這樣負載的擺動方程可以寫成：

(15)

(16)

3.2 擺動規律相平面分析

為實現有效控制需要研究重物的擺動規律，通過相軌跡對擺動進行分析比較容易，這里應用相平面分析法.

重物擺動的狀態方程對應的狀態轉移矩陣為：

(17)

其解為：

(18)

為了使時間最優，取控制規律u(t)=Δ(Δ=±1,0)，并設ωx1(t)、ωx2(t)為新的狀態，式(18)可整理為：

[ωx1(t)-Δ]2+[ωx2(t)]2=

[ωx1(0)-Δ]2+[ωx2(0)]2

(19)

龍門起重機系統負載擺動的相平面圖如圖4所示，其中，Dx=ωx2(t)為縱坐標，x=ωx1(t)為橫坐標.

圖4 系統相平面

3.3 消擺控制策略

通過前面的分析，可以得到龍門起重機的運動規律：啟動時u(t)=1，加速度處于最大，重物的擺動狀態對應圖5中的右半平面的實線；當狀態運動一周回到原點，此時擺角及擺速均為零，加速為零，小車處于勻速運動狀態，擺動消除；同理，當制動停車過程中，始終以最大減速度減速，即u(t)=-1，重物的擺動狀態對應圖5中的左半平面虛線；當狀態運動回到原點時，減速停止，擺動消除[6].

圖5 當u(t)等于-1和1時的相平面圖

該消擺控制策略加減速的時間ts相同，均為走完一個完整圓周使用的時間，即有：

由此可知，負載擺動具有周期性，且只需控制小車的加速度就能控制擺動幅度.控制器可以通過改變輸出PWM占空比將加速度信號轉換為伺服驅動器可以接收到的速度信號.所以，控制器只需要設計為開環就能滿足需要.其控制結構框圖如圖6.操作人員發送控制信號給控制器，控制器接收到控制信號給出的位置坐標，根據已知的繩長及其他限制條件計算出加速度的時間序列，最后發送給小車伺服驅動器驅動小車進行工作.

圖6 起重機控制結構框圖

假設起重機的啟動制動最大加速度為am，最大速度為vm，繩長為l，要行走的距離為s.下面給出消擺的切換時間序列.

圖7 起制動切換時刻

4 仿真實驗及結論

4.1 實驗結果

綜合以上分析，建立如圖8所示仿真結構，其中控制器輸出為圖7計算的加速度時間序列，并通過增益輸出力作用于所建立的起重機動力學模型，繼而輸出仿真結果，如圖9所示.

圖8 Simulink仿真框圖

圖9 系統仿真結果

由圖9得知：重物擺動幅度在控制在很小的范圍內(|θ|<10 rad)時，經過時間最優控制的龍門起重機模型在最大速度運行的情況下有良好的消擺效果，這也驗證了之前的理論推測.

4.2 實驗結論

(1) 實驗設計基于時間最優理論.根據上節的實驗結果，擺角絕對值小于10 rad，在滿足理論最大運行速度的前提下，符合預期消擺要求.所以，實驗證明了所設計的基于時間最優控制的起重機防擺控制方案是可行的.

(2) 相較于其他控制方法，時間最優控制在實際的龍門吊防擺應用中具有諸多優點，如不需要檢測擺角、運行速度快、控制較為簡單等.

(3) 時間最優控制在防擺應用中也有其不足，比如要求擺角初始為零.此外，實驗實質為開環控制，實現更加精確的控制還需要在控制器中加入角度位置等反饋控制.