半空間內含有部分脫膠的橢圓夾雜及圓孔對SH波的散射*

齊 輝，陳洪英，張希萌，趙元博，項 夢

(哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

工程結構中存在各種缺陷(孔洞、夾雜、脫膠等)，通過研究彈性波的散射，可為實際工程的設計、施工等提供理論依據。已有許多學者對彈性波的散射做了研究，累積了豐富的經驗。Y.H.Pao等[1]研究了圓柱體中孔洞以及夾雜周圍的動應力集中因子的問題，O.Coussy[2-3]對圓柱夾雜與基體之間存在的脫膠現象進行了分析研究。目前，對于全空間、半空間圓形孔洞、橢圓孔洞的研究已經積累了大量理論成果[4-17]，而含有部分脫膠的橢圓夾雜幾乎沒有，橢圓與圓孔同時存在的研究成果更是尚未發現，脫膠的存在通常是結構直接發生破壞的原因。研究以橢圓為代表的具有不規則邊界的復合缺陷，對于工程結構上的設計、施工以及健康檢測等具有實際價值。

本文中通過利用“保角映射”技術，將橢圓夾雜映射為圓夾雜，并通過“虛設點源”方法與Green函數法相結合，求出橢圓夾雜及圓形孔洞的位移及應力場，根據橢圓夾雜未脫膠部分應力及位移連續、脫膠部分應力自由、圓孔周圍應力自由的邊界條件，建立無窮線性代數方程組并進行求解，最后，構造出“脫膠模型”，得到總的散射波場。通過具體算例分析不同參數對動應力集中因子的影響。

1 問題的描述

(1)

2 控制方程

位移函數W與時間因子的依賴關系為e-iw t，結合保角映射原理，滿足控制方程[1]：

(2)

結合保角映射原理，應力表達式則可以表示為：

(3)

(4)

3 區域Ⅰ內散射波

(5)

(6)

(7)

式中:Bn、Cn是待定系數，通過脫膠橢圓夾雜及圓孔的邊界條件確定，把式(6)、(7)分別代入式(3)、(4)可以得到應力表示。

由橢圓夾雜產生的應力表達式為：

(8)

(9)

由圓形孔洞產生的應力表達式：

(10)

(11)

式中:z1=ω(η)。

(12)

圓形孔洞產生的散射波可以表示為[16]：

(13)

橢圓夾雜產生的散射波應力可以表示為：

(14)

(15)

圓形孔洞產生的散射波應力可以表示為：

(16)

(17)

4 區域Ⅱ內的駐波

(18)

代入應力表達式，則其應力表示為：

(19)

(20)

式中:Dn為待求的未知系數。

5 Green函數Ⅰ的構造

如圖2所示，出平面線源荷載作用在含有橢圓夾雜的彈性半空間內的任意一點，利用GⅠ來表示其產生的位移場的基本解，同時，滿足控制方程(2)，邊界條件可以表示為：

(21)

(22)

(23)

將式(22)、(23)分別代入(3)、(4)式得到應力表達式:

(24)

(25)

(26)

(27)

要求得這三個待定系數Bn、Cn、Dn，需要建立線性代數方程組，本文中分別根據橢圓夾雜周邊的位移連續、徑向應力連續、圓孔周邊的徑向應力自由的邊界條件，得到問題解的積分方程組：

(28)

將應力及位移代入式(28)，可得:

(29)

用exp(-imθ)同時乘以式(29)等式兩邊，同時在(-π,π)上對所求等式積分，可求得待定系數Bn、Cn、Dn的線性代數方程組，對方程式控制精度截斷有限項，求得未知待定系數，得到Green函數的解。

6 入射波和反射波

(30)

(31)

7 動應力集中因子

(32)

8 算例及分析

9 結 論

利用復變函數法、Green函數法以及“保角映射”技術，通過構造“脫膠模型”，結合多極坐標移動技術，分析了圓孔對于橢圓附近動應力集中因子的影響，得到了SH波對于半空間內含有部分脫膠的橢圓夾雜及圓孔散射的解析解，通過研究分析表明：

(1)入射角度、入射波頻率、夾雜埋深、不同缺陷之間的距離及脫膠角度、夾雜較基體的軟硬程度均對動應力集中因子存在影響;

(2)入射頻率越高，動應力集中因子越大；

(4)圓形孔洞距離橢圓夾雜的距離越遠，橢圓夾雜附近的動應力集中因子越??；

(5)不同的脫膠角度對動應力集中因子的影響均不同；

(6)夾雜較基體的軟硬程度不同，對動應力集中因子的影響差別較大，因此在工程施工中應選擇合適的材料。