具有脈沖效應的2個食餌1個捕食者系統的穩定性

劉 娟，趙 清，程彩萍，張海峰

(1.山西農業大學文理學院，山西太谷030801;2.山西農業大學農學院，山西太谷030801)

眾所周知，害蟲會對農作物及人類造成很大的危害，因此研究害蟲治理方法是非常必要的。利用化學防治的快速性和生物防治的無污染性，提出比任一單一控制更優的害蟲綜合治理策略，此課題引起國內外學者的廣泛關注［1－10］，其中數學學者引入脈沖微分方程來描述此不連續的瞬時行為［1－10］。國內外學者對1個食餌1個捕食者系統進行了大量的研究［1－4］，但是實際中天敵不僅僅只捕食1類害蟲，而且害蟲的種類也不只1種［6－8］。例如蚜蟲和梨木虱都取食梨樹汁液，都為梨樹的害蟲，瓢蟲同時捕食蚜蟲和梨木虱，為它們共同的天敵。Zhang等研究了2個食餌1個捕食者系統，但是僅討論了在同一固定時刻投放天敵和噴灑農藥的模型［6］。基于上述事實，本研究利用具有Holling II和Monod－Haldance功能性反應的脈沖微分方程，建立在不同脈沖時刻分別投放天敵和化學農藥的2個食餌1個捕食者模型，并研究此模型的動力學行為。

1 模型的建立

本研究假設在沒有捕食者時，2類食餌均呈Logistic增長趨勢，捕食者對食餌分別具有HollingⅡ和Monod－Haldance功能性反應，建立如下模型:

式中:x1(t)、x2(t)、z(t)分別表示t時刻2類食餌、捕食者的數量;c表示捕食者的死亡率;r1、r2分別為2類食餌的增長率;b1、b2分別為2類食餌種群間的競爭系數，b1＞0，b2＞0;d1、d2分別為捕食者對2類食餌的消化率;K為環境容納量;別為 HollingⅡ、Monod－Haldance功能性反應函數，其中 α1、w1、α2、w2都為正常數。

當2個食餌滅絕，即x1(t)=0、x2(t)=0時，模型(1)有一個不穩定的平衡態(0，0，0)，但此時捕食者也趨于滅絕，系統沒有無害蟲平衡點，因此用連續模型(1)無法對害蟲進行很好的控制。

考慮到化學農藥對天敵的影響，本研究建立在不同固定時刻分別投放捕食者和噴灑化學農藥的脈沖動力系統:

式中:Δxi(t)=xi(t+) － xi(t)(i=1，2)，Δz(t)=z(t+) －z(t);T為脈沖周期;μ為t=nT時投放捕食者的數量，μ＞0;p1、p2、p3分別為t=(n+l－1)T時因噴灑化學農藥殺死的食餌、捕食者的比例，其中n為正整數，l為(0，1)的任意實數，p1、p2、p3取值范圍為［0，1)。

引理1 模型(2)的解［x1(t)，x2(t)，z(t)］是連續可微的，且前3個方程右端函數的光滑性保證了解存在唯一性。

引理2 設X(t)=［x1(t)，x2(t)，z(t)］為模型(2)的解，且初始條件X(0+)≥0，則對于所有的t≥0有X(t)≥0。若初始條件X(0+)＞0，則對于所有的t≥0有X(t)＞0。

考慮模型(2)中x1(t)=0、x2(t)=0時的狀況，得出如下脈沖微分方程:

由頻閃映射和不動點定理可知，模型(3)有如下周期解:

引理 模型(2)的任意正解z(t)在t→∞時有z(t)→z～(t)。

因此模型(2)有1個食餌全部滅絕周期解，為［0，0，z～(t)］。

2 食餌全部滅絕周期解的漸近穩定性

定理1 設［x1(t)，x2(t)，z(t)］為模型(2)的任意解，如果滿足 T≤min{T1，T2}，則 2類食餌全部滅絕周期解［0，0，z～(t)］是局部漸近穩定的。其中T1，T2分別為f1(T)=0、f2(T)=0的根。

證明:定義 u(t)=x1(t)，v(t)=x2(t)，w(t)=z(t) －z～(t)，代入模型(2)中，通過Taylor展開式并取其線性部分得:

設φ(t)為模型(6)的基解矩陣，則滿足:

后面沒有用到*處的值，因此此處不須要計算。對應的脈沖條件為

因此基解矩陣為

可得單值矩陣

當 λ1、λ2滿足|λ1|＜1 且|λ2|＜1 時，根據 Floquet理論可知，2類食餌全部滅絕周期解［0，0，z～(t)］是漸近穩定的。而|λ1|＜1且|λ2|＜1的充要條件是 f1(T) ＜0，f2(T)＜0。由于fi(0)=ln(1－pi)＜0，fi(T)→∞ (T→∞)同時f″i(T) ＞0，則 fi(T)=0 有唯一的正根 Ti。當 T≤min{T1，T2}時，f1(T)＜0，f2(T)＜0。因此定理1得證。

定理2 設［x1(t)，x2(t)，z(t)］為模型(2)的任意解，如果滿2類食餌全部滅絕周期解［0，0，z～(t)］是全局漸近穩定的。其

證 明:選 取 ε ＞0，使 得 η =(1－p1)exp模型(2)可得

利用脈沖微分方程比較定理有x1(t)≤u1(t)，其中u1(t)為下式的解:

因此，有 x1［(n+l)T］≤x1(lT)ηn，其中 η =(1 －p1)exp0(n→∞)。同時當 t∈［(n+l－1)T，(n+l)T］時，有0≤x1(t)≤x［(n+l－1)T］(1 －p1)erT。

因此x1(t)→0(t→∞)。

同理可得 x2［(n+l)T］≤x2(lT)δn，其中 δ=(1 － p2)exp0(n→∞)。同時當 t∈［(n+l－1)T，(n+l)T］時，有0≤x2(t)≤x［(n+l－1)T］(1 －p2)erT。

因此x2(t)→0(t→∞)。

證明:當t→∞時，z(t)→z～(t)。取充分小的正數ε1＞0，存在 T'＞0，使得當 t≥T'時，有0 ＜x1(t) ＜ ε1，0 ＜x2(t) ＜ ε1，于是:

3 數值模擬

由于fi(0)=ln(1－pi)＜0，fi(T)→∞(T→∞)，同時f″i(T) ＞0，因此fi(T)=0 有唯一的正根 Ti(i=1，2)，且當T≤min{T1，T2}時，公式(5)成立。同理gi(T)=0有唯一的正根析得到min{T^1，T^

2} ＜min{T1，T2}，利用Matlab軟件進行數值模擬，將模型(2)中的參數取值為 r1=3，r2=4，K=1.5，u=5，l=0.2，c=0.4，p1=0.7，p2=0.8，p3=0.2，w1=1，w2=2，α1=0.4，α2=0.6，由定理 1、定理 2 知，T1=1.6，T2=1.7，解［0，0，z～(t)］是局部漸近穩定的，結果與初值的選擇有關。當T=0.65時，2類食餌全部滅絕周期解［0，0，z～(t)］是全局漸近穩定的，結果與初值的選擇無關。此時2類食餌很快趨于零，而天敵出現周期性波動(圖1至圖3)。若0.7＜T=0.8＜0.9時，x2迅速趨于0，而x1與z出現周期性波動(圖4至圖6)。因此，若x2為主要食餌，x1為次要食餌，可以通過控制脈沖周期將主要食餌滅絕，保留次要食餌。

4 結束語

本研究建立了在不同脈沖時刻分別噴灑化學農藥和投放捕食者的2個食餌1個捕食者模型，由脈沖微分方程理論得出模型(2)中食餌全部滅絕周期解穩定性成立的充分條件，并利用Matlab軟件進行數值模擬。在實際中，此結論有廣泛的應用，適用于所有的2個食餌1個捕食者情形。如在農業中，可以根據農田中天敵和害蟲的具體情況，通過調節相應的參數改變脈沖周期，將2類害蟲全部滅絕或將主要害蟲滅絕，保留次要害蟲，從而給出治理害蟲的方法，達到保護植物以及提高農業產量的目的，具有重要的理論和現實意義。