高中數學例題中導數的典型性應用

張倬潤

在學習高中數學時，若能熟練運用導數的有關理論知識，那么在解題過程中便能把習題化簡并快速作答。這樣不但能豐富自身的解題思維，還能從中發現數學的魅力。本文將主要圍繞導數展開分析，探究其在高中數學例題中的典型性運用。

導數是高中數學知識中的重點內容。在鑒別函數的單調性、求證不等式、曲線求解時，應用導數不但能提高解題速率和答案的準確性，而且還能用其處理實際問題。鑒于此，身為一名高中生，必須要掌握導數在數學例題解答中的典型性運用，以此獲得事半功倍的學習效果。

一、導數的定義

眾所周知，導數是微積分中最重要的一個基礎概念。當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

當某一函數存在導數時，便可將此導數叫做微分或者此導數可導。可導的函數必須是連續性的。然而針對導數來講，本質就是一個解極限的數學過程，而針對導數的四則運算法則而言，幾乎源自于極限的運算法則。（張梓萱.導數在高中數學解題中的應用淺析[J].學周刊，2018（06）：49-60.）

二、高中數學例題解答中導數的典型性運用

（一）導數的運用

高中數學課程里，函數知識理解和學習起來比較吃力，但又是我們必須要掌握的重點內容。在導數未正式引進教材前，關于函數最值的求解形式眾多。然而，在其列進數學教材后，在求解函數最值時，又多了一種全新的解題思路。與其余方法做對比，此種辦法不但非常簡單，還能節省較多時間。

函數知識中的最值問題，是最易出現的知識考點。求解二次函數最值的相關題目逢考必出。這樣一來，若是能利用好導數，則能簡化求解過程，可以迅速地鑒別函數的單調性等等。因此，在例題解答中，必須要明確二次函數值與區間的聯系。（朱文睿.導數幾種問題的解題思路與分析[J].中國校外教育，2017（30）：79-80.）

（二）利用導數來判斷函數的單調性

利用導數來判斷函數的單調性或單調區間，可有效地展現出數型結合本身的涵義。當我們在鑒別函數是否是單調時，慣用的辦法以定義法為主。然而，站在定義法的角度分析，其本身雖然利用率較高，然而在展開一些復雜函數例題時，往往表現得比較吃力。但利用導數來判斷函數的單調性則十分迅速與便捷，而且，這一點對無論是簡單的亦或是繁雜的函數都適用。

比姐利用導數開展函數單調性的推斷，其主要根據是若函數f（x）的導數在此函數的區間[a，b]大于0，那么此函數必然是單調遞增的。

（三）導數求解不等式

就不等式與函數來講，二者都是高中數學中出現率較高的題型。通過歸納總結考試的知識要點，可知現在考試重點漸漸偏向綜合形式。關于不等式與函數二者間的聯系也愈來愈緊密。比如，我們可運用導數知識來求證不等式。

例1：當X>0時，請驗證不等式1n（x+1）>x-1/2*x2。

分析：在看到此題目時，我們常常會被繁雜的、需要證明的不等式搞的不知所措，不知從何下手。然而若在解題過程中能有效地運用導數，無疑會起到事半功倍的效果。而通過構建函數來驗證此不等式，是一種非常有效的辦法。

解：設f（x）=1n（x+l）-x+1/2*x2，那么f（x）=1/（x+1）-1+x=x2/1+x，當x>0時，f（x）>f（0）=0；當x>-1時，f（x）>0，f（x）在（-1，+∞）屬于增函數，從而可知當x>0時，In（x+1）>x-1/2x2。

利用導數知識來驗證不等式，重點在于構造新的函數。此辦法在未來學習中同樣能得到廣泛運用，例如在學習高等數學時。

（四）運用導數處理實際問題

當在解題的過程中，時常會碰見各種各樣與生活息息相關的習題。比如：某市有兩幢建筑物，這兩幢建筑物被區分成甲、乙類，其中甲類建筑物位于一條小溪旁，這條小溪為a點，而乙類建筑物則位于甲類建筑物相同方向但30千米開外的b點，乙類建筑物的垂足d與a點間的距離為40千米，若想在甲乙兩幢建筑物間的小溪沿岸搭建一個供水站c，而c點連接到甲乙建筑物的管線資金為4A，請問c點建在哪一位置才能節約a管線的資金。

有關以上這類問題，解答重點在于把變量變換成函數等式。在解題時，率先要依據題目里的內容繪畫出相應圖形，之后依據題目里提供的條件，去深入探究內在關聯，然而以此為前提創建函數關系式，實際上就是把函數、數學模式等問題轉變成專業的數學用語，之后依據問題特征，把問題予以形象化，從而搜尋最佳的解題方法與技巧。

導數和幾何、物理、代數知識間有著十分緊密的聯系，放在物理中可用于求解加速度與速度；放在幾何中則可求解切線。在其他學科范圍內，導數還叫做紀數，不論是幾何學還是物理學，亦或是經濟學，其中有大量主要定義都能通過導數來解釋和闡述。簡而言之，若想要正確地把導數知識運用在具體學習的解題進程中，率先要做到的便是深刻理解與掌握有關導數的公式與定義。不論是在切線、函數值、三角函數、不等式或是其它數學問題，均能運用導數。我們高中生也能在運用導數解題的過程中，不斷加強數學思維。

綜上所述，我們要充分意識到導數的重要性，加強導數在高中數學例題解答中的運用，化繁為簡，讓解題過程越來越直觀，從而加決解題速度，提高學習水平。