“多次使用同向不等式的可加性”可導(dǎo)致錯(cuò)誤？

周惠

西藏民族大學(xué)附屬中學(xué) 陜西咸陽 712000

對(duì)于不等式有如下的性質(zhì)：

若a＞b,c＞d則a+c＞b+d（非嚴(yán)格不等式）

我們可以把上述性質(zhì)加強(qiáng)一下

若 a≥b,c≥d 則a+c≥b+d（當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c= d 時(shí)等號(hào)成立）（非嚴(yán)格不等式）

它的正確性毋庸置疑！

問題的提出：設(shè) f (x) =ax+bx，若2≤f(1)≤4，則f(-2)的取值范圍是______

由此可得4≤f(-2)=4a- 2b≤11

以上兩種解法不同，結(jié)果也不同，從現(xiàn)有資料看，大家都意識(shí)到解法一是錯(cuò)誤的，解法二正確的，但對(duì)解法一錯(cuò)誤的原因解釋為“多次使用同向不等式的可加性而致誤”，這種解釋顯然是不夠準(zhǔn)確的，我們不禁要問:一個(gè)正確的定理會(huì)因使用次數(shù)的多少而產(chǎn)生錯(cuò)誤嗎？

答案是肯定的：不會(huì)！

那么問題到底出在哪里呢？

我們把解法一推得 (2)f- 范圍的 ,ab的區(qū)域N也在坐標(biāo)系中表示出來如圖

我們?cè)賮砜幢绢}的一個(gè)解法以供參考：

解法三：

所以 f ( -2) = 4a - 2 b = 3 f ( -1) + f (1)

所以5 ≤ 3f ( -1)+ f(1) ≤ 10

即5 ≤ f(-2)≤10

這種解法是把 ,ab作為相關(guān)關(guān)系的來應(yīng)用的，沒有分割a與b之間的關(guān)系，因此與解法二結(jié)果相同，解法正確，可見同向不等式的可加性多次使用并沒有問題，錯(cuò)誤原因在于沒有考慮變量的整體性以及等號(hào)成立的條件，所以在應(yīng)用同向不等式相加的性質(zhì)時(shí)，一定要明確等號(hào)成立的條件是什么？不等式中的變量是否同增減，范圍是否會(huì)擴(kuò)大，多個(gè)不等式是否同時(shí)取得不等式成立等等,要重視思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和嚴(yán)密性。