針對串聯彈性驅動器抖動抑制的軌跡規劃和跟蹤控制

尹偉 孫雷 王萌 劉景泰

串聯彈性驅動器(Series elastic actuator,SEA)[1]是將彈性元件串聯于傳統驅動單元(伺服電機、液壓等)與連桿間的驅動裝置,其示意圖如圖1所示.引入彈性元件,一方面降低了連桿與環境或人的接觸剛度;另一方面將驅動單元的慣量與連桿的慣量解耦,進而使得在發生碰撞時,參加碰撞的慣量顯著減小,降低了關節上承受的沖擊力,同時也減小了對環境或人的傷害.圖2[2]展示了機器人頭部發生碰撞時造成的傷害指標(Head injury criteria,HIC)與機器人接觸剛度和有效慣量之間的關系,結合此圖和上述分析可知,基于SEA的設計帶來了本質安全.此外,SEA還具有儲能、抗沖擊、低輸出阻抗,力/力矩測量精度高等優點[3?4].因此,SEA被應用于人–機共融系統中,提高了人–機共融的安全性和舒適性[5?8].

基于SEA的設計雖然能夠帶來上述優勢,但是其位置控制一直是個難點.這主要體現在兩個方面:1)相對于傳統的剛性結構,SEA的動力學模型更為復雜,其自由度和階數都會顯著增加,而電機和連桿兩個子系統都會受到不確定因素的作用,一定程度上影響定位精度;2)彈性元件容易導致振動,使得連桿在到達目標位置時仍有殘余抖動,增加了位置控制的難度.

正是由于在安全等方面的重要性和在控制方面的復雜性,SEA的運動控制1SEA與彈性關節機器人(Flexible joint robot,FJR)的動力學模型相同,因此兩者的位置控制問題可以歸為同一類問題被視為下一代工業應用的前沿問題[9],吸引了眾多學者的關注.上世紀80年代末至90年代初,其建模和理論研究成為關注焦點.其中Spong的簡化模型[10]影響最大.基于此簡化模型的各種控制方法被提出[11?12].但是這一時期的控制方法不僅需要精確的系統模型,還要求全狀態,甚至是加速度反饋,因此并不實用.1991年,Tomei[13]提出PD(Proportional and derivative)控制器并證明了閉環控制系統的穩定性.之后,在此基礎上,各種各樣的改進方法:諸如加入動態補償、擾動觀測器等相繼被提出[14?17].雖然基于PD的控制方法不再要求精確的動力學模型,但是增益很難調節,大的增益容易引起連桿的抖動,而小的增益則容易導致穩態誤差;另外,PD控制算法雖然能夠證明收斂性,但并沒有證明算法能夠有效抑制連桿的抖動.另一種用的比較廣泛的是基于擾動觀測器的控制方法[4,17?20].在文獻[4]中,作者設計了一款新型的SEA,并結合諧振比率控制(Resonance ratio control,RRC)方法和擾動觀測器設計了位置控制算法,取得了一定的效果.但是基于RRC的控制依賴于準確的振動頻率.在文獻[18]中,作者提出了基于擴張狀態觀測器(Extended state observer,ESO)和反饋線性化的控制方法,但是ESO只對串聯積分鏈形式的系統有效.此外,基于擾動觀測器的設計方法大多對擾動做一些假設,如假設擾動變化緩慢,擾動有界,擾動導數有界等.這些假設雖然合理,但是相應的界限很難確定.此外,引入擾動觀測器后,閉環系統的收斂速度依賴于擾動觀測器的收斂速度.除上述兩種常見的控制方法之外,其他的控制方法,如文獻[21?25]等都被用來解決SEA的位置控制問題,并取得了一定的效果.

圖2 頭部損傷指標圖Fig.2 Head injury criteria

值得指出的是,包括上述列舉的文獻在內,已有的絕大多數定位和抖動抑制方法都是從控制的角度出發的,采用軌跡規劃的方法來解決此問題的文章相對較少.其中輸入整形[26]作為一種簡單的軌跡規劃方法,能夠在系統振動頻率精確已知時有效抑制殘余抖動.基于相平面的軌跡規劃方法[27]在理論上也能夠有效抑制線性二階無阻尼系統的殘余抖動.但是上述兩種規劃方法均要求系統的振動頻率已知,尤其是后者,魯棒性不是很強.因此,參照文獻[28?29],本文首先根據連桿端運動學約束,提出了一種基于數字濾波器的軌跡規劃方法,以得到電機位置的期望軌跡,該軌跡能夠在實現SEA定位的同時有效抑制連桿的殘余抖動;然后基于電機端的動力學模型設計控制器跟蹤此期望軌跡;最后進行實驗驗證,并與傳統的PD控制器[13,15,30]和基于輸入整形的控制策略進行了對比.結果表明本文設計的“規劃+控制”策略能夠取得更好的定位和抖動抑制效果.

圖3 旋轉型SEA平臺Fig.3 Rotary SEA platform

本文的其他部分組織如下:第1節對SEA的模型及其位置控制問題進行詳盡描述;第2節闡述基于數字濾波器的軌跡規劃及相應的參數計算方法,并從理論上證明了濾波后的軌跡能夠實現定位和殘余抖動抑制;為了準確跟蹤第2節中得到的電機位置軌跡,第3節設計了反饋控制器并對其穩定性進行了理論證明;對比實驗結果在第4節中給出;最后一節是對本文工作的總結和展望.

1 SEA模型

1.1 動力學模型

本文的研究對象是如圖3所示的旋轉型SEA.該SEA主要由伺服電機(配有諧波減速器)、彈性元件和連桿三部分組成,彈性來源于兩根拉簧,兩根拉簧初始及整個運動過程中均處于拉伸狀態.力矩傳輸過程如下:當電機轉動時,兩根拉簧中的其中一根被進一步拉長而另一根拉伸長度相應減少,兩根拉簧的恢復力會產生轉矩,驅動連桿旋轉.

本文設計的SEA滿足Spong的4條假設[10],因此其動力學方程由彈性元件解耦成兩部分,分別為連桿端動力學模型

和電機端動力學模型

其中,q和θ分別表示連桿和電機(減速后)的位置,豎直位置時,θ=q=0.τc(?)為彈性元件形變產生的力矩,其表達式為

M,C,G分別表示連桿的轉動慣量,阻力系數和重力項;K表示彈性元件的等效剛度,J表示電機的轉動慣量(減速后);表示電機的阻力,τm為電機的輸出力矩(減速后),即整個系統的控制輸入.

SEA的位置控制問題可描述為:針對動力學模型(1)和(2),設計合適的控制輸入τm使得連桿能夠到達期望位置qd,并且殘余抖動盡可能小.

1.2 運動學約束(Kinematics constraint)

連桿端動力學模型(1)描述了電機位置與連桿位置之間的約束關系,可寫成如下形式

上式可視為二階非線性阻尼振動系統,θ為輸入,q為輸出.當電機位置固定且系統處于平衡狀態,即K(θ?q)=Gsin(q)時,給連桿施加一沖擊力矩,則連桿獲得一初速度,之后連桿將在此初速度的激勵下作衰減振動;當電機位置固定但系統不處于平衡狀態時,連桿將衰減振動至平衡位置;當電機位置發生變化時,此變化也將作為激勵使得連桿位置發生振動.上述三種情況可分別從圖4中的三幅圖得到驗證.三幅圖中簡諧振動的曲線代表連桿的位置q,另一條曲線代表電機的位置θ,單位均為弧度(rad).從圖4中可以看出,連桿很容易發生抖動.因此有必要設計合理的控制策略來抑制振動.

根據圖4中相鄰兩個波峰之間的時間間隔,可以得到連桿的振動頻率;改變電機的位置,即可獲得不同平衡位置附近的振動頻率,進而得到整個SEA系統的振動頻率范圍.然后基于數字濾波器對電機的位置軌跡進行規劃得到θd(t),使得在此軌跡下,連桿在這些頻率范圍內的振動能夠被有效抑制.最后將θd(t)作為電機的期望軌跡,基于RISE方法[31]設計合適的控制輸入τm使得 limt→∞θ(t)=θd(t).根據上述思路設計的定位與抖動抑制原理如圖5所示.

圖4 連桿振動曲線Fig.4 Residual vibration of link

圖5 本文方法框架圖Fig.5 Framework of proposed method

2 基于數字濾波器的軌跡規劃

能夠抑制抖動的運動規劃方法有很多,如輸入整形(Input shaping,IS)、基于相平面分析(Phase plane analysis,PPA)的規劃、數字濾波器(Digital filter,DF)等.根據上一節中運動學約束分析可知,本文研究對象的振動頻率在一定范圍內變化.而基于DF的軌跡規劃能夠抑制某些頻率范圍內的抖動.因此本節設計了有限沖擊響應數字濾波器(Finite impulse response digital filter,FIR-DF)對原始信號進行濾波處理,并證明了濾波后的軌跡能夠有效抑制連桿的殘余抖動;然后求解了FIR-DF的參數.

2.1 FIR-DF的抖動抑制

線性二階阻尼振動系統˙x=Ax+Bg(t)中,狀態向量x(t)的解為

其中

G(s)表示控制輸入g(t)的拉氏變換.原始控制輸入g(t)經FIR-DF作用后的新輸入記為u(t),則有:

其中,N+1表示沖擊脈沖總數,?(t)表示有限沖擊,?(s)為其拉氏變換.U(s)表示u(t)的拉氏變換.?(t)的表達式為

cn表示各個脈沖的幅值,T表示相鄰兩個脈沖之間的時間間隔.由式(7)可知

線性二階系統的響應由穩態和暫態兩部分組成,其中穩態部分的響應對應s=0,暫態部分的響應對應s=si.而本文要實現的目標就是讓連桿能夠準確達到目標位置并且殘余抖動盡可能小.因此,如果濾波后的輸入能夠同時滿足U(s;s=0)=G(s;s=0)和U(s;s=si)=0,則上述目標能夠實現.這就要求 ?(s)滿足如下兩個條件:

2.2 FIR-DF參數計算

所謂FIR-DF參數計算就是確定N,cn和T.結合式(8)和式(10)可得:

需要說明的是,阻尼ζ的作用有兩個:一是使振動衰減,二是改變系統的自然頻率.而基于FIR-DF的規劃可以抑制某些頻率范圍內的抖動.因此,在計算FIR-DF的參數時可以忽略阻尼的影響,并且只要ωs位于被抑制的振動頻率范圍內即可.故式(11)可改寫為.此式與等價,因此,參數約束方程(9)和(10)可重新整理成

FIR-DF通常有奇偶兩種對稱,本文采用偶對稱,即cn=cN?n,N也取為偶數.令

則由cn=cN?n可得H(ejφ)=e?jNφH(e?jφ),進而

其中

從式(15)可知,W(φ)有如下性質

條件(15)通常很難滿足,常見的做法是在靠近φ=0(ω=0)的某一區間內使W(φ)=1,而在其他頻段內W(φ)=0,如圖6所示.根據圖6可知,在ωC～(ωp?ωC)頻率范圍內的振動都能被抑制.其中,ωp=2πN/Tp,Tp=NT表示延時時間.

由于W(φ)以 2π為周期,且表達式(15)可視為其傅里葉展式,因此有:

由式(17)可計算得到:

進而根據式(16)可以計算得到脈沖序列的幅值cj(j=0～N).

圖6 W(φ)的理論幅頻響應Fig.6 Desired amplitude response ofW(φ)

綜上所述,在給定連桿期望位置qd后,先計算出電機的目標位置,然后按照常見的軌跡規劃方法規劃電機的軌跡并進而按照式(6)對其進行濾波處理,最終得到電機的期望軌跡θd(t).

3 跟蹤控制

將上一節規劃得到的θd(t)視為電機的期望軌跡,本節將在此基礎上基于RISE設計控制輸入τm使得 limt→∞θ(t)=θd(t).

首先定義跟蹤誤差如下:

其中,l1為待設計的正常數.控制輸入設計為

其中,l2,α和β為待設計的正常數.sgn(·)為符號函數.可以證明,通過選取合適的控制參數,上述控制輸入能夠使得跟蹤誤差收斂至零,即

證明.

定義線性濾波器

將其關于時間求導并結合式(19)可得:

將控制輸入(20)求導后代入上式并結合式(2)可得:

其中

由上述定義可知

其中,||·||表示歐幾里得范數,,表示某一全局可逆、非單調遞減的函數.定義函數μ(t)∈R如下:

如果β滿足

則可以證明

其中,ηb=β|e2(0)|?e2(0)Qd(0).證明過程見附錄.定義

顯然P(t)≥0.構造Lyapunov候選函數如下:

閉環系統的動態誤差方程為

將Lyapunov候選函數關于時間求導并結合式(30)得:

其中,λ3=min{l1?1/2,α?1/2,1}.因此選取參數滿足如下條件:

電機端摩擦力項τfm是關于電機位置和速度的表達式,因此由上式可知ρ(||z||)存在,當參數l2滿足時,吸引域為,只要||z||的初值在此吸引域內即能保證 limt→∞z(t)=0.因此,可增大l2來確保吸引域足夠大,進而l2可取.

有界性分析如下:當選取的控制參數滿足條件式(32)時,由式(31)知負半定,進而V(yy,t)有界,即e1(t),e2(t),r(t)∈L∞.由式(30)可知;而期望軌跡有界,因此L∞,進而τm,Q∈L∞,由式(30)可知.令并對式(31)兩邊同時對時間積分可得:

上述證明過程可總結為如下定理:

定理1.當條件式(32)得到滿足時,控制輸入式(20)能夠使

4 實驗驗證

4.1 實驗配置

本文的實驗對象為圖3所示的旋轉型SEA.該SEA由伺服電機驅動,電機型號為Maxon EC 4Pole(200瓦)并配有100:1的諧波減速器(Harmonic Drive CSF-14-100-2XH-F)和Copley驅動器(Copley Accelnet ADP-090-36,可返回力矩).電機位置θ由其上的相對碼盤(型號:MR-1000-3)測得.連桿位置由圖3中標注的“編碼器”測量,編碼器型號為倍加福ENA36IL-R06DA4-16SG1-RC1.速度均由位置信號差分得到.兩根拉簧的標稱線性剛度均為3.62N/mm.

實驗中,連桿目標位置取為qd=0.6rad.規定連桿垂直于地面(即圖3所示位置)時θ=q=0.本文設計的SEA參數為G=6.7Nm,K=21Nm/rad據此可計算得到平衡狀態時電機位置為0.78rad.因此電機位置的軌跡取為

其中,acc為電機的角加速度,簡單計算可得acc=8.667rad/s2.

結合理論分析和大量的實驗,最終得到本文設計的SEA振動頻率范圍大約為 10～13rad/s,因此,將FIR-DF的參數取為

然后根據上述參數在軌跡(37)的基礎上進行濾波處理,濾波前后的軌跡以及W(φ)的幅頻響應曲線如圖7所示,上方子圖的虛直線表示幅頻響應為5%,從圖7中可以看出,頻率在9～42rad/s之間的振動都能夠被有效抑制.跟蹤控制器的參數取為

圖7 W(φ)的實際幅頻響應和濾波前后軌跡Fig.7 Real amplitude response of W(φ)and motor trajectory(before and after filtering)

為了驗證本文方法的有效性,下列幾種控制算法將用于對比.

1)SGC:即PD控制器結合靜態重力補償(Static gravity compensation,SGC)[13].其控制輸入表達式為

其中

控制增益取為

2)OGC:即PD控制器結合在線重力補償(Online gravity compensation,OGC)[15].其控制輸入表達式為

其中

控制增益取為

3)ESC:能量整形控制(Energy shaping control,ESC)[30].其控制輸入為

穩定性證明見相關參考文獻.各個控制器的增益均是經過大量實驗調整得到.調整目標是使穩態誤差和殘留抖動盡可能小.

4)IS:輸入整形(Input shaping,IS)[26].將本文所提方法的規劃部分替換成輸入整形,即電機端仍采用RISE作為跟蹤控制器.為了提高輸入整形的魯棒性,此處采用無阻尼ZVDD整形器,且ZVDD的振動頻率選為ω=11.5rad/s,各個脈沖幅值及相應時間的計算結果如表1所示.

表1 ZVDD整形器的脈沖幅值及其對應的時間Table 1 Amplitude and time of input shaper ZVDD

4.2 實驗結果(Experiment results)

上述4種控制方法與本文提出的控制方法(Proposed controller,PC)對應的實驗結果如圖8～11所示.其中圖8表示5種控制方法下的連桿位置(q)響應.從圖8中可以看出,三種閉環反饋控制方法的上升時間雖然更短,但是由于只使用了電機端的位置和速度信息,電機能夠很快到達平衡位置θp,連桿卻只能作衰減振動,直至趨于平衡位置qd,基于輸入整形的方法雖然能夠減小振動,但仍有少量殘留.而本文所提方法能夠有效抑制殘余抖動,連桿在1.6秒到達期望位置qd之后一直保持穩定.圖9展示了轉角差?的振動情況:其他4種方法大約在5秒后才使?趨于穩定,而本文方法能夠使得?在完成運動后(即1.6秒后)就幾乎沒有抖動.圖中?沒有穩定在同一位置是由閉環反饋控制的微小穩態誤差和機械加工精度不夠導致的.但從數據來看,最大差值也僅為0.8deg.

圖8 實驗結果:連桿位置qFig.8 Experiment result:link positionq

圖9 實驗結果:轉角差?Fig.9 Experiment result:?

圖10 軌跡跟蹤實驗結果:˙θ和θFig.10Experiment result of trajectory tracking:˙θ和θ

圖10和圖11展示了本文設計的跟蹤控制器的性能.從圖10可以看出,本文設計的跟蹤控制器能夠對電機期望位置和速度實現很好的跟蹤;圖11中的τm4表示基于輸入整形的控制輸入,而τm5表示本文方法的控制輸入.從圖11中可以看出控制輸入均在合理范圍內.另外,從圖11中可以看出,OGC,SGC和ESC的控制輸入很快穩定,這是因為電機位置已經很快穩定.而從這三種方法的控制輸入表達式來看,其與連桿位置無關.因此即使連桿位置尚未穩定,控制輸入也不再發生變化.而本文設計的控制方法,控制部分負責軌跡跟蹤,控制輸入中包含補償項K(θ?q),因此,雖然電機期望和實際軌跡已保持不變,但連桿位置仍在作微小振動,進而導致控制輸入的穩定時間比θd(t)稍長.

圖11 實驗結果:τmFig.11 Experiment result:τm

從上述實驗結果可以看出,相比于SGC,OGC和ESC,本文方法在實現定位的前提下,能夠從理論上保證殘余抖動被有效抑制;相比于輸入整形,本文采用的FIR-DF能夠抑制更大振動頻率范圍的殘余抖動,對系統振動頻率發生變化的魯棒性更強.并且從實驗效果來看,抖動抑制效果更好.

另外值得說明的是,本文提出的“規劃+控制”策略雖然引入了一定的時延(本文選為1秒),但此時延可以有效降低連桿的殘余抖動.一方面,雖然引入了時延,但是相比于其他4種方法,本文方法依然能夠最快到達平衡位置;另一方面,對于剛度較大的SEA平臺,時延可以被人為降低而不對控制性能產生大的影響.

5 結論

為實現SEA的位置控制和殘余抖動抑制,本文提出了一種“規劃+控制”的策略,即基于連桿端運動學約束規劃電機位置的軌跡和基于電機端動力學模型設計跟蹤控制器,理論和實驗均證明了本文方法不僅能夠實現SEA的位置控制,還能夠有效抑制殘余抖動.在接下來的工作中,將對由SEA構成的柔性關節機器人的位置控制和殘余抖動抑制問題進行進一步研究．

附錄

不等式(27)的證明過程如下: