例談向量在立體幾何中的應用

曾石明

(江西省贛州市于都中學，江西 贛州 342300)

例談向量在立體幾何中的應用

曾石明

(江西省贛州市于都中學，江西 贛州 342300)

立體幾何是高中數學中重要的組成部分，高中的立體幾何主要是學習在三維空間中空間圖形的形狀以及大小.線線位置關系，線面位置大小關系，點線位置及其距離關系，面面距離位置關系.而空間向量是將抽象的立體幾何轉化成了函數，代數的數量關系.以下內容主要是對于向量在立體幾何的一些主要類型的實際應用進行論述.

向量；立體幾何；位置關系

一、向量求點線位置關系

公式 點M(x0，y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離

例1 經過點A(-1，2)，且平行于向量a=(3，2)的直線方程是________．

(2)設N(x，y)，M(x0，y0)．

所以(x0-3)2+(y0-3)2=4，所以(2x)2+(2y)2=4，即x2+y2=1.所以點N的軌跡方程為x2+y2=1.

二、向量求點面位置關系

利用向量法求空間距離問題是空間向量的重要應用，也是立體幾何的重要考點.我們解決這類問題時，可選取恰當的空間直角坐標系，把所需線轉化為相應向量.

主要步驟如下：

(1)建立空間直角坐標系;(2)求平面的一個法向量的坐標；(3)找出平面外的點與平面內任意一點連接向量的坐標;(4)代入公式求出距離.

例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中AB=BC=5,AC=8,AA1=6，D為AB的中點.

求：點B到面AB1C的距離.

解 如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，依題意可得A(-4,0,0)，B(0,3,0),C(4,0,0),B1(0,3,6).易得

即n=(0,-2,1).令點B到面AB1C的距離為d,

則d=

三、向量求線線位置關系

(1)恰當的構建空間直角坐標系；

(2)正確求得所對應點的坐標，空間向量的坐標表示及其數量積；

(3)代入空間向量的夾角公式，求得其余弦值；

(4)根據題意，轉化為幾何結論.

例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E1、F1分別為A1B1，C1D1的一個四等分點，求DF1與BE1所成角的余弦值.

解 以點D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示.

設DD1=4,則D(0,0,0),F1(0,1,4),B(4,4,0),E1(4,3,4).

所以DF與BE所成角的余弦值為15/17.空間向量在立體幾何中的應用十分廣泛，其主要思想就是將立體圖形放在合適的坐標系中，將圖形量化，函數化.從而達到圖形與函數結合，抽象問題具體化，系統化.

[1] 馮峰.分類例說空間向量在立體幾何解題中的應用[J].高中數理化,2013.

[2] 楊建筑.例談運用空間向量法解立體幾何題[J].中學生數理化:高考版,2011.

2017-05-01

曾石明(1990-)，男，江西贛州人，大學本科，中學二級教師，主要從事高中數學教學研究.

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1008-0333(2017)19-0056-02