去奇異邊界元方法在液艙晃蕩模擬中的應用

王慶豐，徐 剛，王樹齊，朱仁慶

(江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江 212003)

在船舶領域的應用中，頻域理論已經被運用的相當成熟，但是頻域法通常只適用于周期穩態問題，即它存在一個本質上的限制就是對于瞬變或者強非線性問題往往無法處理。而頻域理論的超集實際上是時域理論，它是一種不可分離時間項的方法，理論上可以解決物體任意運動的問題，還能解決完全非線性問題，在自由度方面存在明顯的優勢。本文采用時域邊界元方法進行數值模擬，但是對于邊界元方法，奇點的處理一直是關注的重點，傳統方法在交界面處的速度精度很難保障，為了消除積分的奇異性，學者們已經研究出諸多成熟可用的方法，其一徑向積分邊界元法[1-2]，它基于純數學處理技術，不借助任何特解和微分算子可將任何問題的域積分轉化為邊界積分，是一種無內部網格的純邊界元算法，目前已應用于斷裂力學、熱輻射等方面；其二就是無奇異邊界元方法，即將傳統方法中原本直接布置于流體計算域表面網格中心點上的所有奇點，移至計算域外部，可以減少存儲需求并提高計算效率，目前該方法主要應用于船舶與海洋工程水動力學分析方面。為了能夠更好地模擬液艙內液體的運動，本文采用基于去奇異邊界元方法(Desingularized Boundary Integral Equation Method,DBIEM)研究了液艙晃蕩的基本數值解法。

傳統的邊界元積分方法，其奇點是分布在計算域的表面，在進行相關數值計算的過程中需要對奇點積分進行特殊的處理，表現在時域分析非線性問題的時候這過程中會出現大量繁瑣的計算分析過程。當我們采用無奇異邊界元方法的時候會得到兩個優點[3]：① 可以得到控制面上高精度的計算結果；② 獲得離散邊界積分問題代數系統的計算時間變少了。同時，該方法簡單易實施。Jensen 等利用去奇異方法來分析在穩定入射波情況下求解阻力的問題[4]。Lee[5]將去奇點邊界積分方程和時間步進技術進行結合，模擬了簡單潛體及浮體運動的完全非線性效應問題；李宗翰等[6]將去奇異積分方程方法運用到任意三維浮體的完全非線性流場的模擬和仿真中；Scorpio等[7-8]對完全非線性數值水池進行了探索；Kara等[9]利用去奇異邊界元方法在三維時域內研究了完全非線性波物相互作用的問題；Zhang等[10]基于去奇異方法研究了雙體船的耐波性；Xu等[11]進行了隨機波浪下三維液艙的全非線性數值分析。

1 去奇異邊界元理論

1.1 控制方程及初始條件

根據勢流基本理論和圖1液艙晃蕩系統，速度勢φ在流體域D中滿足Laplace方程，定解條件如下

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:η代表波高;x，y，z代表坐標軸三個方向上的物理量。初始條件條件如下(φ0是初始速度勢、ξ是初始波高)

φ(x,y,z=ξ,t=0)=φ0(x,y,z)

(5)

η(x,y,t=0)=ξ(x,y)

(6)

圖1 液艙晃蕩坐標系統Fig.1 The coordinate system of sloshing tank

1.2 自由面條件積分格式

有限差分法一般被運用在自由表面上的速度勢φ的求解，有限差分法的不足是求解多維問題時不易適應不規則幾何邊界，并且在求解過程中會常常出現數值誤差的累積，從而導致計算結果發散，影響數值的穩定性。本文采用一種新的積分格式的自由面條件(Integral Form of Free Surface Boundary Condition[12]，IFBC )，運用此積分格式的自由面條件，能夠在線性自由面條件的基礎上得到自由面上一階速度勢的表達式，而且這種積分格式的自由面條件有相對較好的穩定性，可以在很大程度上降低總體誤差，能防止出現結果發散的現象。參照文獻[13]中方法，在式(3)和(4)的基礎上，對線性自由面條件采用先積分后離散的處理方法，首先兩邊對t在(0,τ1)積分，然后再對τ1在(0,τ)中積分，得到

(7)

再由初始條件，上式可以寫為

(8)

然后采用如下的離散模型將式(8)進行離散：在空間上把自由面劃分成若干小平面單元，并假定每個單元中心點上的物理量為常數分布；在時間上以Δt為步距，等間隔前進。采用梯形公式離散式(8)，可以得到

(p∈SF)

(9)

1.3 去奇異邊界元積分方法

采用邊界元方法的關鍵一步是積分方程的離散，本文采用分布源法，則流場中的速度勢可以表示為

(10)

因此式(2)和(9)中提到的邊界條件可改寫成如下形式

φ(p,t)=φ0(p,t)

(11)

(12)

將式(11)和(12)代入式(10)，那么關于未知量σ0(q,t)的積分方程可表示為

(13)

(14)

對于式(13)、式(14)的積分方程，傳統的邊界元方法都是將源強直接分布在物體及自由表面上，也就是說積分表面S1即為流域的邊界。這樣往往會出現由于格林函數1/rpq的分母趨于零所帶來的奇異積分的問題。本文采用的方法為去奇異邊界元方法，即是將傳統作法中原本直接布置于流體計算域表面節點上的所有奇點，移至計算域外面，也就是將傳統作法中疊在一起的節點和奇點分開了。在積分邊界SF和SW每個單元上分別布置強度為σF和σW的點源，SF和SW是實際流體域外距離流體域很近的積分表面，則：

(15)

將式(13)式(14)代入式(15)，則：

(p∈ΓF)

(16)

(17)

假設研究的問題中總共有N個孤立的點源構成，則式(16)和(17)可簡化成如下的N個孤立點源的代數和的形式

(18)

(19)

當采用上述離散方法對總共N個配置點列寫方程后，可最終得到如下N×N的線性代數方程組

Aijσj=bi

(20)

式中：Aij為影響系數矩陣；bi為邊界條件所形成的確定矩陣；σj為待求的未知源強。

線性代數方程組(20)求解后即得出未知源強，由式(9)求得速度勢，可以通過下式求得水動壓力p、波高η和水動力F

(21)

1.4 基于DBIEM晃蕩程序的流程

基于DBIEM理論，以Fortran語言為工具，本文編寫了一套能夠模擬任意尺寸任意形狀液艙晃蕩的程序，圖2是晃蕩程序的基本流程圖。

2 數值方法有效性驗證

2.1 水平激勵下液艙晃蕩解析解

對于周期性激勵ue=Acosωt，其中ue是液艙激勵速度，A=bω速度幅值，b為位移幅值，ω為激勵頻率，Faltinsen給出了求解速度勢φ的線性解析方法，通過下式可以很容易的將求得的φ值轉化為自由液面的位置分布[14]。(液艙水深h、長度2a、寬度2w，且坐標原點位置在自由面上液面的中心處。)

圖2 晃蕩程序基本流程Fig.2 The basic process of sloshing program

(22)

2.2 單向水平激勵下晃蕩數值解法驗證

液艙的長(L) 和寬(B)分別為1 m和0.5 m；液艙內液體高度(h)為0.5 m。固有頻率ω0x和ω0y分別為5.316 rad/s和7.835 rad/s。為驗證程序是否準確，選取合適的網格大小、時間步長以及去奇異距離(如表1所示)，模擬不同激勵頻率作用下液艙晃蕩問題。

表1 主要計算參數Tab.1 The main calculation parameters

表1中，Nx為液艙長度方向的劃分網格個數；Ny為液艙寬度方向的劃分網格個數；Nz為液艙高度方向的劃分網格個數；dt為時間步長；T為激勵周期；ld為去奇異距離；A為激勵幅值。

考慮到液面條件為線性的，單向激勵幅值取為0.01h，h為液艙內液面高度，入射頻率分別為0.5ω0(ω0為液艙在激勵方向上的固有頻率，此處即為液艙的縱向固有頻率)、0.9ω0、0.95ω0、0.999 9ω0、1.05ω0、1.1ω0。計算結果如圖3所示，圖中實線為數值解，虛線為解析解。

(a) ωP=0.5ω0(b) ωP=0.9ω0

(c) ωP=0.95ω0(d) ωP=0.999 9ω0

(e) ωP=1.05ω0(f) ωP=1.1ω0

圖3 不同激勵頻率下計算點波高時歷曲線
Fig.3 Time history of free surface elevation for different frequencies

可以看出，各激勵頻率下，數值解都能夠很好的與解析解吻合，誤差僅在1%以內，這有效說明了去奇異邊界元法在求解液艙晃蕩問題的有效性。由以上各圖還可以看出計算點處波高時歷曲線隨著激勵頻率的不同其變化規律也發生了變化，外部激勵頻率遠離液艙固有頻率時如圖3(a)所示，曲線變化較快，有一定規律性，波高最大值在0.006 m左右；當入射頻率接近液艙固有頻率時，計算點處波峰首先隨時間不斷增加達到最大值后又開始下降，并以此規律不斷循環，有很強的規律性，圖3(b)、(c)、(e)、(f)都顯示了這一特征，且波高最大值分別為0.06 m、0.11 m、0.15 m、0.1 m。不難看出越是接近液艙固有頻率波高最大值就越大，這是與共振密切相關的，理論上當激勵頻率無限接近共振頻率時，如圖3(d)所示頻率為0.999 9ω0，隨著計算時間的推移該點處的波高將趨于無窮大，但由于程序算法和網格的限制，本文僅模擬了35 s，此時的最大幅值已經約是圖3(a)的80倍?？梢?，為了保證所設計液艙的安全性，應盡量避免出現共振現象，基于去奇異邊界元方法模擬液艙晃蕩問題對實際工程問題具有一定的指導作用。

3 不規則水平激勵作用下液艙晃蕩分析

在單向水平激勵下液艙晃蕩問題研究的基礎上，本文也研究了不規則激勵作用下的液艙晃蕩，如圖4所示。

圖4 液艙晃蕩模型圖Fig.4 Model of sloshing tank

3.1 單向4成分疊加不規則激勵

首先采用四個不同于液艙固有頻率的單向激勵進行研究，激勵參數選取如表2所示。

表2 四成分不規則激勵參數Tab.2 Parameters for irregular excitation with four

圖5為單向不規則激勵下點(-L/2,0)處波高時歷和相對體積誤差曲線，此處不規則激勵由四種不同單色激勵疊加而成。與單色激勵相比，不規則激勵下波高時歷曲線比較復雜，波高變化范圍為-0.004～0.004 m。相對體積誤差幾乎為0，符合質量守恒物理規律。

(a) 波高時歷曲線(b) 相對體積誤差

圖5 不規則激勵下波高時歷和相對體積誤差曲線
Fig.5 Wave elevation history and relative volume error

for irregular excitation

圖6液艙波面圖，研究時間區間為13.252 0～16.345 9 s，約為一個波面運動周期，每隔Δt≈0.52的6個不同時刻波面圖，從圖中可以看到一個周期內波面的基本變化情況。

3.2 單向512成分疊加不規則激勵

通常基于波浪譜，一般200個左右規則波浪成分就已經足夠模擬不規則波。為了更好的驗證本文的數值方法，文中將采用512個成分的不規則波。本文將選用ITTC波浪譜研究隨機激勵作用下的液艙晃蕩情況，波浪譜如下

圖6 波面圖Fig.6 Free surface profiles

(23)

式中：Hs為有義波高；ωp為譜峰頻率。與隨機波浪組成相似，液艙運動速度和幅值寫成

(24)

(25)

式中：Nω為激勵成分的個數，本文取512；φi為0～2π間隨機相位角，在程序中設定；ωi為激勵頻率。

選取有義波高Hs=0.005 h，譜峰頻率為ωp=0.9ω0，截斷區域上限選取ωi≤5ω0波浪譜部分。

圖7為單向512成分不規則激勵下點(-L/2，0)處波高時歷和相對體積誤差曲線。其中，每個成分的波幅、頻率都不一樣，初始相位采用隨機數。模擬結果顯示，波高變化范圍為-0.015～0.015 m。由于模擬中使用了隨機相位，因此無法得到準確的解析解，但根據相對體積誤差圖可以看出512成分不規則波激勵下模擬準確度仍然很高，體積誤差接近于0。

(a) 波高時歷曲線(b) 相對體積誤差

圖7 不規則激勵下波高時歷和相對體積誤差曲線
Fig.7 Wave elevation history and relative volume error for irregular excitation

圖8是時間區間為13.252 0～16.345 9 s，每隔Δt≈0.52的6個不同時刻波面圖。

圖8 波面圖Fig.8 Free surface profiles

4 結 論

針對傳統邊界元方法求解波浪中結構物運動響應時會遇到奇點及交界面處速度分布精度較低的問題，本文引入去奇異邊界元理論，利用Fortran語言開發了一套可以針對不同形狀液艙晃蕩模擬的程序，程序中加入了各自由度運動耦合的模塊，可模擬液艙在六個自由度激勵聯合作用下內部液體晃蕩各要素隨時間變化情況。本文主要對單自由度4成分不規則激勵、單自由度512成分不規則激勵下液艙內部流體運動進行了模擬，研究結果表明，文中方法可有效模擬隨機激勵下的液艙晃蕩問題，且具有較高的精度。