懸吊式模態試驗系統基頻測試誤差分析

吳 松，郭其威，臧 旭，徐 騰

(1.上海宇航系統工程研究所，上海 201109; 2.上海市空間結構機構重點實驗室，上海 201108)

隨著航天科技的進步和發展，許多空間科學應用領域對大型可展開天線和柔性電池翼的需求越來越突出，這類結構復雜、柔度大、基頻低，動力學特性豐富，與飛行器本體耦合程度嚴重，為保證飛行器本體在軌姿態控制穩定，對這類大柔性可展開結構基頻提出了一定指標要求[1]。因此，為保證這類大型可展開機構在軌狀態動力學特性滿足設計要求，需在地面開展這類超低頻可展機構的模態試驗。

傳統模態測試考慮到被測結構頻率較高，重力對結構頻率影響較小，基本都被忽略[2-3]。大型可展開機構，柔性大、頻率通常低于5 Hz，重力影響大，傳統豎直放置測量基頻的方法將會帶來較大誤差。文獻[4-5]根據傳統重力影響下的模態測試結果，采用仿真分析方法對試驗結果進行修正，消除重力、空氣阻力等影響，從而得到無重力影響下的模態測試結果。

超低頻模態測試系統采用懸吊方式安裝被測產品，補償重力對產品結構基頻的影響，進而開展地面模態試驗，測量產品無重力下的模態。然而，由于被測結構基頻低，需首先認識懸吊模態測試系統對產品測試頻率的影響，以確保懸吊模態測試結果真實可靠[6-8]。

為清楚認識懸吊系統測試結果與產品真實值之間的關系，文章通過對超低頻模態試驗系統頻率測試誤差展開理論建模研究，從理論上揭示測試結果與理論值之間產生差異的原因，揭示超低頻模態試驗系統頻率測試誤差的影響機理，為后續如何使用試驗測試結果提供指導。

此外，文章以梁系結構為研究對象，由于空氣阻力對梁系結構模態測試結果影響小，故在下文建模中不考慮空氣阻尼影響。但倘若試驗產品為大面積帆板或柔性翼等結構時，由于其面積大，空氣阻尼對測試結果影響顯著，此時不僅需要考慮測試系統的誤差，同時要考慮空氣阻力的測試誤差[9-11]。

1 超低頻模態試驗系統簡介

圖1為懸吊式超低頻模態測試系統簡圖，鋼絲繩上端與一質量塊連接，通過調節氣浮裝置壓力，對質量塊施加向上的載荷，以平衡產品重力。其中，質量塊僅在垂直方向自由，通過反饋控制會使之與產品一起隨動，并保證鋼絲繩內張力穩定。

圖1 懸吊式超低頻模態測試系統Fig.1 The suspended ultra-low frequency modal test system

2 懸吊式超低頻模態試驗系統頻率測試誤差分析

根據超低頻模態測試系統工作原理，產品在垂直方向測試頻率的影響主要受上方質量塊和氣浮裝置的附加影響；水平方向測試頻率主要由于懸吊鋼絲繩內力在水平方向分量的影響。考慮到懸吊系統對產品在水平和垂直方向頻率影響機理的不同，下文對超低頻模態試驗系統在垂直和水平方向的基頻測試誤差分別開展研究。

2.1 垂直方向基頻測試誤差分析

2.1.1 理論模型建立

根據懸吊系統平衡標桿重力的機理，大型可展開機構在垂直方向的頻率測試系統可以簡化為如下理論模型的系統頻率問題。垂直方向理論模型，如圖2所示。其中，圖示左端邊界表示固支邊界，下文亦同。

假設在氣浮裝置控制作用下，鋼絲繩上方質量塊與產品一起隨動，相當于在產品各懸掛點處增加了一個集中質量塊，因此，理論模型可以進一步簡化為如圖3所示帶集中質量塊的經典頻率問題。

圖2 垂直方向理論模型Fig.2 Theory model of vertical direction

圖3 改進后垂直方向理論模型Fig.3 The improved theory model of vertical direction

2.1.2 理論模型解析解

瑞利法求解圖3理論模型基頻公式[12-13]為

(1)

代入相應參數，得到理論模型基頻解析解為

(2)

式中:ωtest為產品測試圓頻率；ωzhen為產品真實圓頻率；αi為第i個集中質量塊與產品總質量(ρl)的比值；ηi為第i個集中質量點距根部的距離與產品長度的比值，也即Li/L；n為集中質量個數，也即懸吊點個數。

2.1.3 誤差分析

為表征懸吊系統對垂直方向基頻測試值的影響，引入以下無量綱函數

(3)

該函數建立了垂直方向產品基頻測試值與真實基頻值、懸吊點個數以及質量塊相對產品總質量比值的關系。

假設有n個懸吊點，從端部開始均勻布置，且每個懸吊處上方質量塊質量均相同，則產品在垂直方向的基頻測試值與真實值的比值為懸吊個數以及單個懸吊集中質量與產品質量比值的二元函數，變化曲線如圖4。

圖4 垂直方向頻率誤差Fig.4 The frequency error of vertical direction

2.1.4 由基頻測試值推算真實值

根據理論分析，由于懸吊系統上方質量塊的影響，使得產品在垂直方向基頻測試值低于真實值。因此，若要得到產品水平方向真實基頻值，則需要對基頻測試值進行修正，具體步驟如下。

(1) 根據試驗狀態，確定產品總質量m，吊掛個數n，每個吊掛點處的集中質量與產品質量比值αi，每個吊掛點距根部距離與產品長度的比值ηi；

(3) 計算產品垂直方向真實頻率，fzhen=ftest/λ。

2.2 水平方向基頻測試誤差分析

2.2.1 理論模型建立

懸吊系統對產品水平方向頻率的影響主要由鋼絲繩內張力沿水平方向分量產生，由于氣浮平臺反饋控制作用，懸吊鋼絲繩內張力在平衡內力的同時基本保持不變，假定單根鋼絲繩內的張力為T，鋼絲繩懸吊高度L0，鋼絲繩擺動角度θ，則鋼絲繩在水平方向的作用力為

(4)

式中:x為產品在懸吊點處沿水平方向位移，k=T/L0為等效彈簧剛度。

每個懸吊在水平方向對產品的作用，相當于一個剛度為k=T/L0的彈簧，因此，從上俯視視角來看，懸吊式超低頻模態試驗系統在水平方向系統頻率可以簡化為如圖5所示帶彈簧的經典頻率問題。

2.2.2 理論模型解析解

瑞利法求解圖5理論模型基頻公式如下[14]

圖5 水平方向理論模型(俯視圖)Fig.5 Theory model of horizontal direction

(5)

代入相應參數，得到理論模型基頻解析解為

(6)

式中:ωtest為產品測試圓頻率；ωzhen為產品真實圓頻率；m為產品總質量；L0為懸吊鋼絲繩高度；Ti為第i個懸吊鋼絲繩內張力；ηi為第i個懸吊點距根部的距離與產品長度的比值，也即Li/L；n為懸吊點個數。

當有無數個吊點時，系統在水平方向可以簡化為圖6單自由度彈簧振子模型。

圖6 無限多吊點時的理論模型Fig.6 Theory model of infinite lifting point

假設振子作小幅運動，根據牛頓第二定律，該振子在水平方向的動力學方程為

(7)

系統的頻率為

(8)

2.2.3 誤差分析

為表征懸吊系統對水平方向基頻測試值的影響，引入系統誤差等效頻率

(9)

由式，可知產品基頻測試值、基頻真實值和系統誤差等效頻率值有如下關式

f2test=f2zhen+f2ε

(10)

由上式可知，由于懸吊系統影響，水平方向基頻測試值偏大，當基頻真實值相對于系統誤差等效頻率值較大時，測試值與真實值相差較小，當產品基頻真實值接近或小于系統誤差等效頻率值時，測試值與真實值之間會產生較大偏差，甚至淹沒真實值。

設n個吊點從頭部依次均勻布置，即ηi=i/n，且每個吊點處鋼絲繩的張緊力為Ti=mg/n，則式變為

(11)

此時，系統誤差等效頻率為懸掛點個數n和懸掛高度L0的二元函數，變化曲線如圖7。

圖7 系統誤差等效頻率曲線Fig.7 The curve of equivalent frequency of system error

2.2.4 由基頻測試值推算真實值

根據理論分析，由于懸吊系統鋼絲繩內張力的影響，使得產品在水平方向基頻測試值大于真實值。因此，若要得到產品水平方向真實基頻值，則需要對基頻測試值進行修正，具體步驟如下：

(1) 根據試驗狀態，確定如下參數：① 產品的質量m；② 懸吊高度L0；③ 第i個吊點鋼絲繩內張力Ti；④ 第i個吊點距根部距離與產品長度比值ηi=Li/L。

(2) 由式(9)計算產品系統誤差頻率

(3) 根據基頻測試值ftest和系統誤差頻率fε，由式(10)計算產品水平方向真實頻率

fzhen=sqrt(f2test-f2ε)

此外，經計算，當ftest≥3.3fε時，基頻測試值與真實值之間的誤差小于5%，此時，可以認為測試結果即為真實結果。

3 仿真和試驗驗證

3.1 試驗結果

如圖8所示，試驗工況說明：圖8(a)為2節4 m長的梁豎直狀態無懸吊系統的模態試驗；圖8(b)為2節4 m長的梁水平狀態下，一個吊點(端部)下模態試驗；圖8(c)為8節16 m長的梁水平狀態下，4個吊點(圖中箭頭位置)情況下的模態試驗。

為清楚認識懸吊系統頻率測試誤差，開展了相關標桿試驗，驗證上述理論分析正確性。試驗工況如圖8，基頻測試結果如表1。其中，單節標桿參數：截面為圓形，外徑75 mm，壁厚2.5 mm，單節長2 m，每米重2 kg。

(a)(b)

(c)

表1 標桿頻率試驗值Tab.1 The test frequency of standard bar

3.2 測試值推算產品真實值

按照2.1.4和2.2.4步驟，根據工況2和工況3懸吊狀態以及試驗測試結果，推算標桿兩個工況下垂直和水平方向的真實基頻值，如表2。其中，由于工況1為豎直無懸吊下測試結果，故無推算值。

表2 標桿頻率推算值Tab.2 The calculated frequency of standard bar

3.3 標桿基頻仿真值

建立相應有限元模型，兩個工況下標桿基頻仿真分析值如表3。

工況1為豎直狀態梁結構有限元模型仿真值；工況2指在仿真模型中引入懸吊系統原理的仿真模型，并根據工況2的實測結果，在僅合理修正梁結構參數條件下，使得仿真值與工況2測試值誤差在5%以內，并基于此修正后梁的仿真模型，計算其在無懸吊情況下頻率值，即所需要的真實值；工況3中仿真值計算過程與工況2類同。

表3 標桿頻率有限元分析值Tab.3 The finite element analysis frequency of standard bar

3.4 結果匯總與對比

對應兩個試驗工況，匯總標桿基頻測試值、推算值和仿真分析值，如表4。

表4標桿基頻理論分析值、實測值和有限元分析值
Tab.4Thefundamentalfrequencyofstandardbaroftheoreticalanalysis,testandfiniteelementanalysis

工況方向測試/Hz推算/Hz仿真/Hz誤差/%2垂直1.7753.43.5-2.86水平3.303.283.5-6.293垂直0.1660.2080.1966.12水平0.2440.2000.1962.04

兩個工況下標桿基頻推算值和仿真值吻合得較好，驗證了懸吊式超低頻模態試驗系統理論模型的正確性。

4 結 論

(1) 懸吊式超低頻模態試驗系統在垂直方向基頻測試值小于真實值；水平方向基頻測試值大于產品真實值。

(2) 由于附加質量影響，垂直方向基頻測試值與真實值相差較大，需要對基頻測試值進行處理方能得到準確基頻真實值。

(3) 水平方向產品基頻測試值、真實值和系統誤差等效頻率值滿足勾股定理公式，且當ftest≥3.3fε時，基頻測試值與真實值誤差小于5%，此時，可認為基頻測試值即為產品真實基頻值。