無背索斜拉橋豎彎剛度評估模型與方法研究

蔡向陽，蘇瀟陽，康厚軍，龔 平，劉海波，胡建華

(1.湖南省汝郴高速公路建設開發有限公司，湖南 郴州 423000;2.湖南大學 土木工程學院，長沙 410082;3.湖南省交通規劃勘察設計院，長沙 410008)

無背索斜拉橋由于其優美獨特的橋梁結構形式，自1992年世界上第一座無背索斜拉橋——Alamillo橋[1-2]在西班牙塞維利亞建成以來，便立即引起了橋梁工程界對這種橋型的探索與研究。在國外，George[3]研究了不同材料無背索斜拉橋在活載作用下主梁的反應；Lazar[4]研究了無背索斜拉橋的剛度問題；Robin[5]結合實際工程與美學對Zwolle橋的設計構思進行了介紹；Starossek[6]研究了無背索斜拉橋的橋塔受力。在國內，陳愛軍等[7]對無背索豎琴式斜拉橋的合理結構體系進行了分析；施新欣等[8]對無背索斜拉橋進行了參數化分析，并討論了部分參數對動力性能的影響；俞國際等[9]對鋼筋混凝土獨塔無背索斜拉橋的施工工藝進行了介紹；狄謹等[10]對無背索斜拉橋施工過程進行了仿真計算，給出了施工控制的各種指標。以上研究大都通過有限元軟件建模進行計算[11]，至今未見到針對該類橋梁的相關理論研究，以及簡便的分析評估方法。

經典傳遞矩陣法是20世紀20年代建立起來的用于研究彈性構件組成的一維線性系統振動問題的方法，在60—70年代的結構振動研究中廣泛應用[12]。很多學者對其進行了研究，例如吉伯海等[13]將二維力學模型向彈簧支承連續梁模型轉換，實現了傳遞矩陣法在鋼斜拉橋結構計算中的應用。孫建鵬等[14]基于傳遞矩陣法，對曲線橋的振動特性進行了分析。Abbas等[15]應用有限元傳遞矩陣法研究了高溫環境下變厚度殼的振動特性。近年來，Zhao等[16-17]將傳遞矩陣法應用于索-拱結構的動力學研究。目前，傳遞矩陣法已廣泛應用于現代工程技術領域。

碳纖維增強復合材料(Carbon Fiber Reinforced Polymer，CFRP)由于其優越的力學性能(輕質、高強、耐腐蝕[18])，成為橋梁動力學領域的研究熱點，被廣泛應用于替換傳統鋼拉索。目前，國外已成功地采用CFRP拉索替換鋼拉索[19]，東南大學RC & PC結構教育部重點實驗室聯合相關單位也建成了首座CFRP拉索斜拉橋[20](江蘇大學人行橋)。但目前對于CFRP換索的研究還僅局限于傳統直塔斜拉橋，對于無背索斜塔斜拉橋的換索研究卻未見到。

本文將建立無背索斜拉橋的雙梁離散彈簧力學模型，采用傳遞矩陣法對無背索斜拉橋在成橋狀態下自由振動的特征值問題進行計算，并基于頻率對其豎彎剛度進行評估，最后基于本文的理論和評估方法，對無背索斜拉橋進行CFRP換索分析。本文基本結構如下：第一部分為無背索斜塔斜拉橋力學模型，第二部分為傳遞矩陣法求解，第三部分為計算實例，第四部分為結論。

1 無背索斜拉橋雙梁離散彈簧模型

無背索斜塔斜拉橋由于不設背索，只能利用塔柱傾斜來平衡橋面恒載和活載。在此受力體系中，斜拉索的主要作用是對橋面的彈性支承。為評估斜拉橋的整體豎彎剛度，可以忽略斜拉橋自身的局部振動。因此，本文將斜拉索簡化為一無質量彈簧，其質量可以平均分配到塔和梁的連接點上進行考慮。由于其對整體剛度的影響微乎其微，因此，本文忽略其質量對整體剛度的影響。無背索斜塔斜拉橋結構可簡化為如圖1所示的力學模型。

為便于斜拉橋動力學分析，將橋面梁和塔視為考慮軸力影響的歐拉柏努利梁，分別記為梁1和梁2。由于無背索斜拉橋一般采用塔梁墩固結體系[21]，所以我們可以把圖1進一步簡化為如圖2所示的雙梁離散彈簧模型。

圖1 無背索斜塔斜拉橋力學模型Fig.1 Mechanical model of inclined pylon of cable-stayed bridge with no backstays

圖2 雙梁離散彈簧模型Fig.2 The dynamic model of double beams with discrete springs

在利用上述模型進行求解之前，我們做如下基本假設：①梁和塔均為細長結構(截面高跨比小于0.1)；②不計索的垂度和質量，將拉索簡化為如圖1所示的無質量彈簧；③忽略塔自身重力產生的軸力影響；④只記入拉索初張力對梁軸力的影響，忽略其動應力產生的張拉力對梁軸力的影響；如圖1所示，分別建立各梁的坐標系。分別用坐標x1，x2表示梁的軸向坐標，用w1，w2表示橫向動位移，長度分別為L1和L2。接下來分別將兩根梁根據索的數量n分成n+1段，其長度分別為l1,i，l2,i(i=1,2,3,…,n+1)，彈簧的剛度分別為ki(i=1,2,3,…,n)。

2 豎彎剛度評估的傳遞矩陣法

為便于應用傳遞矩陣法進行求解，將斜拉橋的每段梁分開并考慮為等截面梁，變截面梁可通過細化梁段加以考慮。斜拉索作用位置考慮為節點，彈簧作用通過節點條件考慮。各段梁的運動微分方程如下

(1)

式中:T0,i為梁的初始軸力;ρm,iAm,i和Em,iIm,i分別為梁單位長度的質量和梁橫截面抗彎剛度。令

wi(xi,ti)=wi(xi)qi(ti)

(2)

可求得

(3)

其中

(4)

(5)

根據力和位移的關系，可求得轉角、彎矩、剪力如下

θi(xi)=Di,1αicos(αixi)-Di,2αisin(αixi)+

Di,3βicosh(βixi)+Di,4βisinh(βixi)

(6)

(7)

Qi(xi)=-EiIiw?i(xi)=

(8)

同理，將以上關系應用于斜塔，在相應的位移、轉角、彎矩和剪力上方加“～”表示。力和位移的關系寫成如下矩陣形式

ti=TiCi

(9)

其中，

(10)

Ci=[Ci,1Ci,2Ci,3Ci,4T0iCi,5Ci,6

(11)

Ti為10×10的矩陣，如式(12)所示。

其中的一些表達式如下

si,1=sin(αixi),ci,1=cos(αixi),si,2=sinh(βixi),

(12)

現在來求Ci，對于任意一段i,當坐標xi=0(i=1,2,3,…)時,有

(13)

所以

(14)

式中:ti和ti,0分別為第i段的末端和初始端狀態向量(圖 2中從左向右傳遞)。

現在，根據傳遞矩陣法原理，我們來考慮斜拉索作用點處的受力。如圖3所示，設φi為索與梁的夾角，θi為索與塔的夾角，ki為索的剛度，各節點的位移、轉角、軸力、彎矩和剪力有如下關系。

(15)

(16)

(17)

(18)

圖3 斜拉索作用點處受力圖Fig.3 Internal force of anchorage point of cable-stayed bridge

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

將式(15)～(24)寫成矩陣形式

(25)

(26)

將式(14)代入式(25)中，可以得到

(27)

最后,對整個斜拉橋，有

tn+1=Tt1,0

(28)

式中，T為總傳遞矩陣，且有

(29)

(30)

(31)

(32)

對于式(28)，應用邊界條件，可改寫為

(33)

Δ=detT′=0

(34)

3 工程實例

3.1 工程概況

長沙市洪山大橋主孔跨徑206 m，該橋坐落于洪山廟休閑度假區，跨瀏陽河，屬市內北二環關鍵工程，南鄰機場高速，北靠長沙世界之窗，西側比鄰長沙大學,地理位置十分重要。大橋主梁采用鋼-混凝土組合脊骨梁結構形式，橋面寬為33.2 m，雙向六車道。索塔為預應力混凝土箱形結構，塔身水平傾角58°，橋面以上塔高138.3 m，是世界上第一座高度超百米的混凝土斜塔。全橋共13對拉索,以水平傾角25°平行布置，如圖4所示，塔上索距為9.312 m，梁上索距12 m，橫橋向2排，間距為6 m，其它具體參數詳見文獻[22]。

圖4 洪山大橋立面圖(cm)Fig.4 Elevation sketch of Hongshan bridge(cm)

3.2 計算結果對比分析

對于圖4所示的無背索斜拉橋，將梁的右端視為簡支，塔的上端視為自由，梁塔相交處視為固支，則

設T的各元素為ai,j(i=1,2,3…10，j=1,2,3…10)，則detT′=0可寫為下式

(37)

此即為系統特征方程，由上述特征方程采用MATLAB編程即可解出斜拉橋自振頻率的數值解。

接下來，為了驗證本文理論的正確性，我們采用ANSYS12.0建立了無背索斜塔斜拉橋的有限元模型如圖5所示，并將本文理論計算出的普通鋼索斜拉橋的自振頻率與有限元軟件計算出的自振頻率進行了對比如表1所示，由于本文忽略了斜拉索的振動，所以算出的頻率都是全局模態頻率(下文簡稱頻率)。圖6給出了無背索斜塔斜拉橋的前五階模態(全局模態，下文簡稱模態)，這里要特別說明，采用本文理論計算出的模態，梁和塔的位移都乘以了一定的系數以便于畫圖，所以和ANSYS算出的模態在外觀上不同，但實際上兩者是相同的。從表1和圖6可以看出，采用本文理論計算出的結果和ANSYS計算出的結果吻合的非常好，這不僅說明了本文理論的正確性，還為下文對CFRP斜拉索換索研究提供了理論基礎。

圖5 無背索斜塔斜拉橋有限元模型Fig.5 Finite element model of inclined pylon of cable-stayed bridge without backstays

表1無背索斜塔斜拉橋前7階自振頻率
Tab.1Thefirst7ordersnaturalfrequenciesofinclinedpylonofcable-stayedbridgewithnobackstays

振型序號ANSYS計算頻率周期MATLAB計算頻率周期誤差/%10.339 492.945 60.338 32.956 00.3520.577 841.730 60.586 21.705 9-1.4530.939 781.064 10.929 51.075 81.0941.685 20.593 41.673 40.597 60.7052.179 30.458 92.212 70.451 9-1.53

圖7給出了CFRP索的數量和剛度對斜拉橋前三階頻率的影響。這里要特別說明，圖中橫坐標表示圖5中的無背索斜拉橋從右至左(即從長索至短索)將普通鋼索換為CFRP索的數量，縱坐標表示各階自振頻率相對于表1中對應自振頻率的增量百分比。從圖中可以發現，頻率增量都是正的，隨著CFRP索數量的增加，橋梁整體剛度呈上升的趨勢，而且每階模態下各條曲線的變化趨勢相同。第二階模態對換索的敏感性明顯高于其他兩階，頻率增量最大達到了60%，約為第一階的8倍，第三階的2倍。另外，我們可以看出：第2～4根索對第一階自振頻率沒影響，第6～8根索對第三階自振頻率沒影響，這說明在換索時，部分斜拉索的更換將對整體剛度有非常大的影響。而出現這種現象的原因，可能原因是這些索處于邊界附近該梁本身剛度較大，使索對整體剛度的貢獻相對降低。為此，我們對只換一根CFRP斜拉索時斜拉橋的整體豎彎剛度的變化規律進行了研究。

圖6 無背索斜塔斜拉橋前五階振型Fig.6 The first 5 mode shapes of inclined pylon of cable-stayed bridge without backstays

圖7 CFRP索數量和剛度的變化對斜拉橋前三階頻率的影響
Fig.7 The influence of number and stiffness of CFRP cable on the first three order frequencies of cable-stayed bridge

圖8給出了只更換一根CFRP斜拉索時頻率的變化情況，圖中橫坐標表示CFRP索所處的位置(按圖5中的無背索斜拉橋從右向左行進)，縱坐標同圖7。從圖中可以看出，各階模態下每條曲線的變化趨勢相同，當第3～4根索被換為CFRP索時，第一階頻率增量基本無變化，第6～7根索被換為CFRP索時，第三階頻率增量基本無變化，這與圖7得到的結論相一致。這說明當斜拉索的位置確定了，它對無背索斜拉橋的自振頻率是否會產生影響也就確定了。換句話說，斜拉索的位置決定了它對整體剛度產生多大的貢獻，從而為實際工程中換索提供了理論參考。

圖8 CFRP索數量和剛度的變化對斜拉橋前三階頻率的影響
Fig.8 The influence of number and stiffness of CFRP cable on the first three order frequencies of cable-stayed bridge

換索時可以從左至右換，也可以從右至左換，為了考察換索的順序對無背索斜拉橋整體剛度的影響，我們改變了換索的順序并給出了相應的結果，如圖9所示。圖中橫坐標表示圖5中的無背索斜拉橋從左至右將普通鋼索換為CFRP索的數量，縱坐標同圖7。從圖中可以看出，各階模態下自振頻率的變化趨勢相同，隨著換索數量的增加，頻率在變大。第二階頻率對換索的敏感性同樣高于其余兩階，最高達到了60%，約為第一階的8倍，第三階的2倍。另外，當第8～10根索被換為CFRP斜拉索時，第一階頻率不發生變化，當第7～9根索被換為CFRP斜拉索時，第三階頻率不發生變化。這些現象都與圖7和圖8中得到的結論基本一致，這說明在換索時，斜拉索的位置才是決定它對橋梁整體剛度是否產生影響的關鍵，換索的順序并不會影響斜拉橋的自振頻率的變化。這是因為自振頻率是結構的固有屬性，只與剛度和質量有關。因此，實際工程中進行換索時，工程師可以根據不同的情況選擇合理的順序進行索的更換，從而實現施工過程的合理化，提高工作效率。

圖9 CFRP索數量和剛度的變化對斜拉橋前三階頻率的影響
Fig.9 The influence of number and stiffness of CFRP cable on the first three order frequencies of cable-stayed bridge

圖10給出了無背索斜拉橋自振頻率隨彈性模量的變化曲線圖。我們可以從圖中發現，當彈性模量較小時，第一階頻率有稍微的增加，當彈性模量增加到一定值時，第一階頻率基本保持不變。第二階到第五階頻率則隨著彈性模量的增加呈現出上升的趨勢。另外，第一階和第二階頻率隨著彈性模量的變化出現靠近后又分離的現象，如圖中A點所示，但并非兩條頻率變化曲線交叉，而是發生了轉向(Veering現象)。這個時候兩階振型會發生快速而且連續的交換，并且兩個模態之間在非線性振動時，可能產生能量傳遞，很容易發生內共振現象[23]。在無背索斜拉橋的設計和換索中都應該引起重視。這對指導無背索斜拉橋的設計，尤其是動力性能的控制具有重要的指導意義。

圖10 CFRP索彈性模量對斜拉橋前五階頻率的影響Fig.10 The influence of elastic modulus of CFRP cable on the first five order frequencies of cable-stayed bridge

為了研究CFRP索軸力對斜拉橋自振頻率的影響，我們給出了圖11。從圖中可以看出，隨著斜拉索索力的增加，無背索斜拉橋全局模態頻率基本保持不變。事實上，梁和塔振動的全局模態頻率幾乎不受索力的影響，反而索單獨振動的局部頻率受索力的影響很大，這說明在評估整體剛度時，可以忽略斜拉索索力的影響。另外，隨著索力的增加，自振頻率總體呈現下降的趨勢，這是因為索力的增加使得梁和塔所受的軸向壓力增加，從而使得梁和塔的幾何剛度增加，這就導致了整個大橋的整體剛度減小，所以頻率也會變小。

圖11 CFRP索軸力對斜拉橋前五階頻率的影響Fig.11 The influence of axial force of CFRP cable on the first five order frequencies of cable-stayed bridge

4 結 論

本文將無背索斜塔斜拉橋的立式結構轉變為鏈式體系，建立了無背索斜塔斜拉橋的雙梁離散彈簧模型。基于傳遞矩陣法計算了無背索斜塔斜拉橋的自振頻率和模態并對其豎彎剛度進行了評估。然后針對無背索斜塔斜拉橋的CFRP換索問題進行了詳細的參數化分析和研究，從而得出了一些有意義的結論。

(1)本文建立的無背索斜塔斜拉橋雙梁離散彈簧模型，簡單易懂，便于采用傳遞矩陣法求解和編程化分析，能很好地評估無背索斜塔斜拉橋的豎彎剛度。

(2)換索時，不同位置的斜拉索對無背索斜塔斜拉橋整體剛度的影響不同，亦即斜拉索的位置決定了它對無背索斜塔斜拉橋的整體剛度產生多大的影響。從動力學的角度看，換索時只需要更換部分斜拉索就可提高結構的整體剛度。

(3)無背索斜塔斜拉橋的換索順序并不會改變斜拉索對斜拉橋整體剛度的影響，無論是從左至右換還是從右至左換，頻率增量的曲線變化趨勢大致是一樣的。所以，工程實際中，工程師可以根據不同的情況采用合理的換索順序進行索的更換，提高施工效率。

(4)無背索斜塔斜拉橋的自振頻率幾乎不受斜拉索索力的影響。隨著索力的增加，自振頻率總體表現出減小的趨勢，但這種減小量很小，可以忽略。然而，無背索斜塔斜拉橋的自振頻率表現出對斜拉索彈性模量的敏感性，可能會出現頻率變化曲線轉向(Veering現象)，從而可能使結構發生內共振現象，對橋梁結構造成破壞。因此設計橋梁時應注意控制參數以防止此現象的發生。