基于WLS-SVM的加速度計動態模型參數辯識

王建林，郭永奇，魏青軒，孫 橋，胡紅波

(1.北京化工大學 信息科學與技術學院，北京 100029；2.中國計量科學研究院，北京 100029)

在航空航天、機械電力、地質探測、汽車工業等領域廣泛存在振動與沖擊，加速度計作為測量振動與沖擊的慣性傳感器，其動態模型對研究與分析加速度計的動態特性及提高振動與沖擊測試系統的動態測量精度具有重要作用。

加速度計動態校準是研究其動態模型及動態特性的重要方法，主要有正弦振動激勵校準和沖擊激勵校準，并已建立了相應的國家基準和校準裝置[1-4]。

利用加速度計的正弦振動激勵校準和沖擊激勵校準實驗數據，建立加速度計動態模型，全面表征加速度計的動態特性。加速度計動態模型參數辯識以自回歸模型或頻率響應函數為基礎，利用參數辯識方法在時域或頻域實現參數辨識。俞阿龍[5]利用遺傳算法全局搜索的特點，實現了基于遺傳神經網絡的加速度計動態模型參數辯識，彌補了神經網絡易陷入局部極值的不足，保留了神經網絡局部搜索能力強的優點；楊子愷等[6]構建加速度計的線性帶外生變量的自回歸滑動平均模型，描述了加速度計的輸入輸出特性及噪聲，采用預測誤差法估計動態模型參數，模型輸出與實測加速度計輸出曲線吻合良好；以上方法直接使用加速度計輸入輸出數據實現參數辨識，均為加速度計動態模型參數時域辨識方法，這些方法存在參數辨識數據計算量大、模型階次較高、易受高頻噪聲干擾等缺點。參數頻域辨識方法具有辨識過程數據計算量小、不易受高頻噪聲影響等優點，已在加速度計動態模型參數辨識中得到應用。Link等[7]使用加速度計正弦振動激勵校準數據，應用加權最小二乘(Weighted Least Squares,WLS)在頻域辯識加速度計動態模型參數，并采用Monte Carlo方法評定了加速度計動態模型參數的不確定度；Link等[8]利用加速度計沖擊激勵校準數據，采用最小二乘(Least Squares,LS)方法在頻域辨識加速度計動態模型參數，模型參數辨識結果與絕對法正弦振動激勵校準數據辨識結果比較，具有較好的一致性，該方法被廣泛應用于加速度計沖擊激勵校準。胡紅波等[9]采用中國計量科學研究院的高g值和低g值的加速度計沖擊激勵校準裝置，在頻域應用LS方法辯識加速度計動態模型參數，取得了較好的效果。然而，加速度計動態模型參數時域或頻域辯識方法都是以加速度計二階線性模型為基礎進行模型參數辨識，實際上，沖擊激勵加速度計校準實驗數據分析表明，由于加速度計存在的非線性，僅利用二階線性模型不能準確預測沖擊加速度計的輸出[10]。在加速度計動態模型參數辯識中，加速度計的非線性導致加速度計二階線性模型參數為有偏估計[11]，尤其是當加速度計的非線性較明顯時，其動態模型參數辨識結果會產生較大誤差。支持向量機(Support Vector Machine,SVM)是由Vapnik等提出的以結構風險最小化為準則的機器學習方法，對于小樣本、非線性的建模問題具有獨特的優勢[12]，適合用于加速度計的非線性估計。

針對加速度計存在的非線性對其動態模型參數辨識精度的影響，本文通過引入非線性項，構建加速度計二階非線性動態模型，描述其動態特性；提出了一種基于WLS和SVM的加速度計動態模型參數辯識方法，采用WLS辨識加速度計動態模型中線性部分參數，并利用SVM估計加速度計動態模型中非線性特性，通過反復迭代，最小化頻域誤差準則函數，實現加速度計動態模型參數的最優辯識。

1 加速度計二階非線性動態模型

在線性動態范圍內，加速度計可以簡化為一個單自由度“質量-彈簧-阻尼”系統，能夠用二階線性模型表征其動態特性，如圖1所示。

彈簧和阻尼器與質量塊相連固定于加速度計底座上，當加速度計隨被測運動體發生運動時，質量塊相對于加速度計底座發生位移，質量塊的運動方程為

圖1 單自由度質量-彈簧-阻尼系統Fig.1 The one degree of freedom spring-mass-damper system

(1)

式中：m為質量塊質量，k為彈簧的彈性系數，c為阻尼器的阻尼系數，R(t)為質量塊相對于慣性坐標系位移，S(t)為加速度計底座相對于慣性坐標系位移。

(2)

對式(2)兩邊同時進行拉氏變換，得到加速度計傳遞函數

(3)

實際上加速度計動態特性存在非線性，其動態模型本質上是非線性的，在加速度計的高精度應用場合，加速度計存在的非線性影響其動態性能。因此，為了準確地表征加速度計動態特性，不失一般性，加速度計動態模型可用二階非線性模型描述，即在式(3)中引入非線性項Δρ(s)，以表征加速度計的非線性，加速度計動態模型可以表示為

(4)

令HL和HNL分別表示加速度計動態模型的線性部分與非線性部分，加速度計動態模型為

H(s)=HL(s)+HNL(s)

(5)

2 基于WLS-SVM的加速度計動態模型參數辯識

2.1 加速度計動態模型線性部分參數辯識

(8)

設加速度計輸入與輸出數據分別為a(n)和x(n)，對應的傅里葉變換分別為A(jω)和X(jω)，則直接由加速度計的輸入輸出數據，經傅里葉變換得到的加速度計頻率響應函數為

(9)

在加速度計沖擊激勵校準實驗中，沖擊激勵信號脈寬影響其帶寬，帶寬外的頻域數據不確定度較大，而應用LS在頻域辯識加速度計動態模型參數方法中，頻域數據點的權值相等，使得模型參數辨識結果不確定度較大，精度較低，激勵信號帶寬越小，模型參數的不確定度越大，精度越低。因此，依據信噪比確定頻域數據點的權值，應用WLS估計加速度計動態模型線性部分的參數，提高動態模型參數辯識精度。

記加速度計輸入與輸出數據的頻域信噪比分別為SNRA和SNRX，且滿足

(10)

定義頻域誤差準則函數為

J(μ)=

(11)

2.2 加速度計動態模型非線性估計

SVM能夠在高維空間構建線性擬合，解決非線性估計問題，本文采用SVM實現加速度計動態模型非線性估計。

選取加速度計頻率響應函數的頻率區間[ω1,ωL]，令加速度計非線性的樣本集為{z,y}，其中

z=(Re(jω1)，…，Re(jωL),Im(jω1)，…，Im(jωL))

y=(Re(HNL(jω1))，…，Re(HNL(jωL)),

Im(HNL(jω1))，…，Im(HNL(jωL)))

(12)

通過非線性映射：z→φ(z)轉換到高維空間，非線性擬合問題變換為線性擬合問題，即

f(z)=aT·φ(z)+b

(13)

式中，·表示內積，a的維數為高維空間的維數，b∈R為閾值。

引入松弛變量ξ，ξ≥0，根據結構風險最小化準則，擬合問題轉化為如下的優化問題

(14)

其中，C為懲罰系數。

優化問題的約束條件為

(15)

式中，ε為精度，C越大表示對訓練誤差大于精度ε的樣本的懲罰越大，ε越小，回歸函數與輸出的誤差越小，估計精度越高。

2.3 加速度計動態模型參數辯識

在頻域利用WLS實現加速度計動態模型線性部分參數辨識，利用SVM估計加速度計非線性，通過多次迭代，實現加速度計動態模型參數最優辨識。

基于WLS-SVM的加速度計動態模型參數辯識算法的流程圖如圖2所示。

圖2 基于WLS-SVM的加速度計動態模型參數辯識算法流程圖Fig.2 Flow chart of parameters identification algorithm of the accelerometer dynamic model using WLS-SVM

基于WLS-SVM的加速度計動態模型參數辯識算法步驟如下：

步驟1對加速度計沖擊激勵校準輸入與輸出數據作傅里葉變換，由式(9)求得加速度計頻率響應函數H1(jω)；

3 實驗與分析

3.1 仿真實驗

利用MATLAB軟件仿真加速度計沖擊激勵校準的激勵與響應信號，其中，沖擊激勵信號通過四階巴特沃斯濾波器產生，截止頻率為10 kHz，采樣頻率為10 MHz，數據長度為5×104，定義仿真加速度計動態模型線性部分HL(s)的參數分別為δ=0.006 0，ωn=2.700×105rad/s以及ρ=3.200 0×105；根據加速度計(型號:XK101S)沖擊激勵校準實驗數據分析其存在的非線性，令仿真模型的非線性動態特性接近加速度計(型號:XK101S)的非線性動態特性，定義仿真加速度計動態模型非線性部分為

Δρ(s)=(τs)-0.9

(16)

式中，τ=0.005。仿真的加速度計沖擊激勵信號與響應信號時域波形如圖3所示，由式(9)求取的加速度計頻率響應函數如圖4所示。

選取頻率段0～50 kHz，應用本文提出的基于WLS-SVM的加速度計動態模型參數辯識方法，通過迭代實現加速度計動態模型參數辨識，并與文獻[8]的方法進行比較，文獻[8]中針對加速度計二階線性模型，采用雙線性變換得到模型的離散傳遞函數，進而得到頻率響應函數，在頻域利用LS辨識加速度計動態模型參數，所得模型參數辨識結果如表1所示。由表1可知，應用本文提出的加速度計動態模型參數辯識方法所得加速度計動態模型參數辨識結果更接近設定值，相對誤差較小，相比于文獻[8]的方法，本文方法克服了非線性對加速度計動態模型參數辨識結果的影響，使得δ辨識精度提高了1.67%，ρ辨識精度提高了0.12%。

(a) 加速度計沖擊激勵信號

(b) 加速度計響應信號

(a) 幅頻響應

(b) 相頻頻響應

表1 仿真實驗模型參數辨識結果Tab.1 Results of model parameter identification in simulation experiments

3.2 加速度計沖擊激勵校準實驗

采用中國計量科學研究院的加速度計絕對法沖擊激勵校準裝置獲取加速度計沖擊激勵校準實驗數據。加速度計絕對法沖擊激勵校準裝置如圖5所示。

(a) 裝置結構圖

(b) 實物圖

該裝置由高壓倉、彈丸、Hopkinson桿、激光干涉儀、PXI采集板卡等組成。加速度計通過螺栓固聯于Hopkinson桿的一端，當彈丸以一定速度撞擊Hopkinson桿的另一端，會在此端面產生近似正弦波的應力波，應力波沿Hopkinson桿傳播到另一端面，通過多次反射產生沖擊加速度，利用激光干涉儀測量Hopkinson桿末端的位移信號，對位移信號作兩次微分處理得到被校加速度計的沖擊激勵信號。加速度計的輸出經過放大器轉換為電壓信號，PXI采集板卡對激光干涉儀輸出與加速度計輸出信號同步采樣。

利用上述絕對法沖擊激勵校準裝置對加速度計(型號:XK101S)進行六次絕對法沖擊激勵校準實驗，并以100 MHz采樣頻率對激光干涉儀的輸出信號與加速度計輸出的電壓信號同步采樣，激光干涉儀的輸出信號經過計算機解算轉換為對應的加速度信號。六次校準實驗中，加速度計輸入輸出信號前5個波峰和波谷值如表2所示，重復性良好。第一次實驗采樣獲得的加速度計輸入與輸出信號時域波形如圖6所示，針對加速度計輸入與輸出數據，由式(9)求取加速度計頻率響應函數，結果如圖7所示，由于受加速度計非線性影響，其幅頻響應和相頻響應不符合二階線性模型的幅頻響應和相頻響應。

表2 加速度計輸入輸出信號波峰和波谷值Tab.2 Peak and trough data of accelerometer input and output signal

針對此六次實驗的數據，分別應用文獻[8]方法和本文提出的加速度計動態模型參數辯識方法進行加速度計動態模型參數辨識，辯識結果見表3。由表3可知，對于固有頻率ωn，兩種方法所得參數辨識結果較為一致，這是由于被校加速度計非線性對固有頻率影響不大，而對于阻尼比δ和轉換系數ρ，兩種方法所得參數辨識結果雖在數量級上保持了一致，但由于受非線性的影響，利用文獻[8]方法所得參數辨識結果的標準差明顯偏大，而本文提出的加速度計動態模型參數辯識方法所得參數辨識結果標準差較小，具有較高的一致性，表明了基于WLS-SVM的加速度計動態模型參數辯識方法受非線性影響較小。

(a) 加速度計沖擊激勵信號

(b) 加速度計響應信號

(a) 幅頻響應

(b) 相頻頻響應

表3 校準實驗模型參數辯識結果Tab.3 Model parameter of identification in calibration experiments

4 結 論

本文提出了一種基于WLS-SVM的加速度計動態模型參數辯識方法，在加速度計線性二階動態模型基礎上，為了準確地表征加速度計動態特性存在的非線性，通過引入非線性項，構建加速度計二階非線性動態模型，描述其動態特性；分別利用WLS和SVM迭代計算，在頻域實現加速度計動態模型參數辯識，有效地減小了加速度計非線性對其動態模型參數辯識精度的影響，具有較強的抗非線性干擾能力，具有較高的模型參數辨識精度。