基于小波變換與子結(jié)構(gòu)法的多層剪切結(jié)構(gòu)時(shí)變參數(shù)識別

王 超，朱宏平

(1.湖北工業(yè)大學(xué) 土木建筑與環(huán)境學(xué)院,武漢 430068；2.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)和物理參數(shù)辨識是一個(gè)重要的研究課題，可以廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測與性能評估，損傷診斷與維修管養(yǎng)。當(dāng)前大多數(shù)參數(shù)辨識技術(shù)針對的是線性時(shí)不變系統(tǒng)，然而土木工程結(jié)構(gòu)在長期的運(yùn)營過程中，由于結(jié)構(gòu)損傷或退化，剛度與阻尼特性將隨時(shí)間而發(fā)生變化，結(jié)構(gòu)是時(shí)變系統(tǒng)。楊武等[1]提出一種前后向泛函向量時(shí)變自回歸滑動(dòng)平均(FS-VTARMA) 時(shí)間序列模型聯(lián)合估計(jì)的模態(tài)參數(shù)辨識方法。周思達(dá)等[2]提出了基于矩陣分式多項(xiàng)式模型的時(shí)頻域線性時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)最小二乘辨識方法。于開平等[3]提出了一種改進(jìn)的擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)步驟,然后將改進(jìn)步驟做為人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法用于基于前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性時(shí)變系統(tǒng)辨識。

對于時(shí)變物理參數(shù)識別問題，李會(huì)娜等[4]提出了一種基于隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)信號的子空間法識別時(shí)變物理參數(shù)，通過對響應(yīng)信號組成的Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解，識別出等效狀態(tài)的系統(tǒng)矩陣，進(jìn)而識別出結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼矩陣。靜大海等[5]利用子空間法實(shí)時(shí)辨識出時(shí)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征值與特征向量,然后以子結(jié)構(gòu)法為基礎(chǔ)在線辨識出結(jié)構(gòu)系統(tǒng)連接處的物理參數(shù)。Xu等[6-7]提出了一種基于狀態(tài)空間和小波變換的時(shí)變參數(shù)識別方法，將時(shí)變系統(tǒng)二階振動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)換為一階狀態(tài)方程，利用小波變換將狀態(tài)方程進(jìn)行解耦，識別出系統(tǒng)不同時(shí)刻的轉(zhuǎn)移矩陣，進(jìn)而識別結(jié)構(gòu)的時(shí)變參數(shù)。Yang等[8-9]提出了帶自適應(yīng)遺忘因子在線最小二乘法識別結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)。然而對于參數(shù)突變等行為該類方法不能很好追蹤其變化。Shi等[10]提出一種基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾姆椒ㄗR別時(shí)變物理參數(shù)。易偉建等[11]基于希爾伯特-黃變換的方法并采用等效思想來識別結(jié)構(gòu)低階模態(tài)的剛度時(shí)變規(guī)律。Wang等[12]利用希爾伯特變換的方法在信號時(shí)域內(nèi)提取結(jié)構(gòu)時(shí)變模態(tài)和物理參數(shù)。然而經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头纸馊狈?shù)學(xué)上的精確證明，分解也存在一些不確定性。

近年來，許多學(xué)者提出基于小波變換的時(shí)變參數(shù)識別。Tsatsanis等[13]提出采用小波基函數(shù)將時(shí)變結(jié)構(gòu)時(shí)變系數(shù)展開，將時(shí)變問題轉(zhuǎn)化為時(shí)不變問題進(jìn)行參數(shù)識別。任宜春等[14]利用小波函數(shù)多尺度逼近法，分析了剪切型結(jié)構(gòu)在地震作用下時(shí)變的阻尼和剛度識別問題。Chang等[15-16]采用小波多分辨率分析方法時(shí)變滯回結(jié)構(gòu)物理參數(shù)。王超等[17-18]也研究了小波多分辨率技術(shù)對不同時(shí)變剛度與阻尼的識別，探討了小波基選擇及小波分解層數(shù)的優(yōu)化問題。

然而，實(shí)際土木工程結(jié)構(gòu)通常非常復(fù)雜，自由度很大，而結(jié)構(gòu)損傷或時(shí)變部分通常發(fā)生在局部，上述的小波方法需要同時(shí)測量所有自由度的位移、速度與加速度，對復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說如何測試是一個(gè)很大的問題，而且自由度多了后會(huì)識別方程病態(tài)問題嚴(yán)重，計(jì)算耗時(shí)，抗噪性變差。

針對多層剪切時(shí)變結(jié)構(gòu)，本文結(jié)合小波變換和子結(jié)構(gòu)技術(shù)提出了一種時(shí)變物理參數(shù)識別方法，將局部時(shí)變的結(jié)構(gòu)提取出來作為子結(jié)構(gòu)，對子結(jié)構(gòu)進(jìn)行小波多分辨率分析識別其時(shí)變參數(shù)。采用一個(gè)多層的剪切框架結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬分析驗(yàn)證方法的有效性和抗噪性。

1 小波多分辨率分析

小波尺度函數(shù)φ(t)和小波函數(shù)ψ(t)通過在不同尺度進(jìn)行伸縮與平移可以構(gòu)成小波空間的正交基函數(shù)

(1)

(2)

式中:j為尺度參數(shù);b為平移參數(shù)。

對于有限能量信號x(t)，小波多分辨率分析在不同尺度上將信號用正交基函數(shù)分解展開為

(3)

式中：J為小波分解展開的層數(shù);aJ,b為第J尺度的尺度系數(shù);dj,b為第j尺度的小波系數(shù)。通過多分辨率分析可以得到信號在不同分辨率下的信息。第一項(xiàng)得到信號x(t)在第J尺度上的低頻成分信息，第二項(xiàng)是信號x(t)在不同尺度j上的高頻成分信息。

實(shí)際采集的通常為離散信號，當(dāng)信號采樣頻率大于Nyquist頻率時(shí)，可以將離散信號x(n)近視作為信號在0尺度分解上的尺度系數(shù)a0,b，離散形式的小波分辨率分析可以表示為

(4)

2 子結(jié)構(gòu)法時(shí)變參數(shù)識別

對于圖1所示的多層時(shí)變剪切型框架結(jié)構(gòu)，假定已知結(jié)構(gòu)在第i+1到i+s的局部s層發(fā)生時(shí)變。按照Koh等[19]提出的子結(jié)構(gòu)法理論，將發(fā)生時(shí)變的s層結(jié)構(gòu)當(dāng)做子結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)其他部分對子結(jié)構(gòu)的效應(yīng)作為外荷載，通過交界面(本模型中交界面為第i+1層和i+s層)施加給子結(jié)構(gòu)。子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為

(5)

(6)

圖1 多層剪切框架結(jié)構(gòu)Fig.1 Electromechanical

如果結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼為時(shí)變，可以將剛度和阻尼作為待識別變量，將回復(fù)力表示成

Rs(t)=Θs(t)×γs(t)

(7)

(8)

(9)

γs(t)=[ki+1ki+2…ki+s+1ci+1ci+2…ci+s+1]T

(10)

將式(7)代入式(5)可將子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

(11)

對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行離散采樣，采樣時(shí)刻n=1～N，則可將上式連續(xù)運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的離散運(yùn)動(dòng)方程(連續(xù)時(shí)間變量t變?yōu)殡x散變量n)

(12)

由式(12)可知，對于第i+1層和i+s層共s層待識別的時(shí)變剛度和阻尼，采用子結(jié)構(gòu)法時(shí)需要同時(shí)識別第i+1層和i+s+1層共s+1層參數(shù)。將待識別的時(shí)變參數(shù)的離散化結(jié)果kj(n)、cj(n)(j=i+1,i+2,…,i+s)進(jìn)行小波多分辨率分析，根據(jù)式(4)進(jìn)行展開。對土木工程結(jié)構(gòu)，其參數(shù)通常緩慢變化，信號能量大部分集中在低頻部分，為了減少待識別的參數(shù)提高識別精度，對時(shí)變參數(shù)進(jìn)行多分辨率展開分析時(shí)，可截?cái)嗟诙?xiàng)高頻成分，由展開的第一項(xiàng)低頻成分來近似描述時(shí)變阻尼和剛度

(13)

(14)

將式(13)、(14)代入式(11)可得

P(n)A≈Z(n)

(15)

(j=i+1,i+2,…,i+s+1)

(j=i+1,i+2,…,i+s+1)

(j=i+1,i+2,…,i+s+1)

(j=i+1,i+2,…,i+s+1)

這樣可以將時(shí)變參數(shù)(k(n)和c(n))識別問題轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)不變的小波系數(shù)A求解問題，在式(15)中未知的小波系數(shù)可通過最小二乘法進(jìn)行求解

A=P+Z=(PTP)-1PTZ

(16)

將求解得到的小波系數(shù)待入式(13)、(14)即可識別結(jié)構(gòu)的時(shí)變阻尼和時(shí)變剛度。

(17)

式中：N為實(shí)測響應(yīng)信號長度；NA為待求解的小波系數(shù)A的個(gè)數(shù)。

3 數(shù)值驗(yàn)證

為驗(yàn)證提出方法的有效性和抗噪性能，建立一個(gè)9層剪切框架結(jié)構(gòu)數(shù)值模型進(jìn)行仿真分析，如圖1所示。結(jié)構(gòu)初始參數(shù)分別為：m1=m2= 6 000 kg,m3=m4=5 000 kg，m5=m6=m7=m8=m9=4 500 kg。k1=k2= 3×106N/m,k3=k4= 2.4×106N/m，k5=k6=k7=k8=k9= 2×106N/m,c1=c2= 5×104N·s/m,c3=c4=4×104N·s/m,c5=c6=c7=c8=c9= 3×104N·s/m。

模擬結(jié)構(gòu)在4、5層局部發(fā)生時(shí)變，其中第4層剛度和阻尼線性變化，第5層剛度和阻尼三次曲線變化(剛度單位為N/m,阻尼單位為N·s/m)，具體變化情況如下

(18)

(19)

(20)

(21)

模擬結(jié)構(gòu)受到EI Centro地震荷載作用，采用四階龍格庫塔法數(shù)值求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)。如果采用通常方法，要識別時(shí)變參數(shù)，需要同時(shí)識別整個(gè)9層結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼，各層參數(shù)的小波分解層數(shù)優(yōu)化計(jì)算量非常巨大，同時(shí)識別的位置參數(shù)過多方程病態(tài)問題嚴(yán)重，而且需要知道每一層的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。由提出的子結(jié)構(gòu)法理論，只需提取結(jié)構(gòu)第4～6層間的相對位移、速度和絕對加速度響應(yīng)即可對時(shí)變參數(shù)進(jìn)行識別。計(jì)算響應(yīng)的采樣頻率為50 Hz，提取結(jié)構(gòu)25 s響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。模擬計(jì)算的結(jié)構(gòu)各層間相對位移和速度響應(yīng)如圖2和3所示。同時(shí)，為考慮方法的抗噪性，對結(jié)構(gòu)響應(yīng)添加5%的高斯白噪聲(噪聲大小定義為噪聲均方根/信號均方根)。采用提出的方法對結(jié)構(gòu)在不同噪音情況下的響應(yīng)進(jìn)行分析，識別結(jié)構(gòu)的時(shí)變剛度和阻尼。

圖2 各層間相對位移Fig.2 The relative displacement between different layers

根據(jù)王超等指出，具有線性等緩變的參數(shù)可以用db3小波來分析，而突變參數(shù)可以用haar小波進(jìn)行分析。這里第4、5層時(shí)變剛度和阻尼采用db3小波進(jìn)行多尺度展開，而第6層剛度和阻尼未發(fā)生時(shí)變，可以采用harr小波進(jìn)行多尺度展開。不同噪音水平下優(yōu)化后的各參數(shù)分解層數(shù)如表1所示。剛度和阻尼識別結(jié)果如圖4～圖9所示。

圖3 各層間相對速度Fig.3 The relative velocity between different layers

表1 分解層數(shù)Tab.1 Layer of parameters

由圖4～9可知，無噪音時(shí)各層時(shí)變剛度和阻尼識別結(jié)果精度很高，只在時(shí)變參數(shù)發(fā)生變化的拐點(diǎn)處稍有偏差，主要是在此時(shí)存在較多高頻成分，而提出的方法忽略掉了參數(shù)的高頻變化。在5%噪音時(shí)，時(shí)變剛度識別結(jié)果仍然具有較高的精度，第4層時(shí)變阻尼識別結(jié)果具有一定波動(dòng)性和偏差，但仍能較好的識別其變化趨勢，其他各層阻尼識別效果較好。因此，算法具有一定抗噪性。總的來看，剛度比阻尼識別結(jié)果精度更高，主要是由于結(jié)構(gòu)剛度比阻尼大幾個(gè)數(shù)量級，在進(jìn)行多分辨率展開時(shí)，剛度變化時(shí)截?cái)嗟母哳l分量損失的能量相對阻尼來說較大，因此對阻尼的識別結(jié)果影響較大。

圖4 剛度k4識別結(jié)果Fig.4 Identification result of k4

圖5 阻尼c4識別結(jié)果Fig.5 Identification result of c4

圖6 剛度k5識別結(jié)果Fig.6 Identification result of k5

圖7 阻尼c5識別結(jié)果Fig.7 Identification result of c5

圖8 剛度k6識別結(jié)果Fig.8 Identification result of k6

圖9 阻尼c6識別結(jié)果Fig.9 Identification result of c6

4 結(jié) 論

提出了基于小波變換和子結(jié)構(gòu)法的多層剪切結(jié)構(gòu)時(shí)變參數(shù)識別方法，數(shù)值模型結(jié)果表明：

(1) 通過子結(jié)構(gòu)技術(shù)，可以只利用結(jié)構(gòu)的部分自由度響應(yīng)對時(shí)變參數(shù)進(jìn)行識別，大大減少了待識別的未知參數(shù)，降低了多個(gè)時(shí)變參數(shù)分析層數(shù)優(yōu)化問題的維度，也減小了方程求解的病態(tài)問題，而且只需要測量結(jié)構(gòu)部分層的響應(yīng)，便于實(shí)際工程應(yīng)用。

(2) 無噪音時(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)變剛度和阻尼識別結(jié)果精度非常高，添加噪音后，結(jié)構(gòu)剛度比阻尼的識別精度要好，主要是由于剛度比阻尼大幾個(gè)數(shù)量級，在進(jìn)行多分辨率展開時(shí)，剛度變化時(shí)截?cái)嗟母哳l分量損失的能量相對阻尼來說較大，因此對阻尼的識別結(jié)果影響較大。但是阻尼仍然可以較好的識別其變化趨勢，方法具有一定的抗噪性。

(3) 識別結(jié)果表明對于連續(xù)曲線變化的時(shí)變參數(shù)用db3小波可以得到較好的分析效果，而對于突變變化的參數(shù)可以采用haar小波進(jìn)行分析。