磁極削角表貼式永磁電機解析法建模與分析

倪有源，崔征山，陳俊華，劉躍斌

(合肥工業大學，合肥 230009)

0 引 言

近年來，高性能永磁材料的應用極大地促進了永磁電機的發展，永磁電機結構簡單,有體積小、質量輕、功率因數高、功率密度高等優點，在智能制造、伺服控制等領域的應用比例越來越高。一方面，永磁材料的推廣應用簡化電機的結構和質量，消除轉子上的滑環和電刷等結構，降低電機的故障發生率；另一方面，電力電子功率器件的發展為永磁電機的發展提供了廣闊的空間，促進了永磁電機的開發和應用。功率集成性器件和計算機技術的進步，極大程度上改觀了現代永磁電機的控制領域，實現了電機的無刷結構，在高精度位置控制行業已顯得十分重要，如：智能機器人、航天飛行器、醫療器械以及精密加工等行業。

為了便于嵌放電樞繞組，在生產電機時，定子上常開有一些槽。齒槽效應會產生轉矩脈動和電磁噪聲等問題。表貼式永磁電機的轉矩脈動主要包括定子電流與轉子永磁體的相互作用，以及定子齒和永磁體的相互作用[1]。當電機空載運行時，齒槽轉矩成為轉矩脈動的主要來源。

針對齒槽轉矩的抑制方法，國內外文獻已有大量的研究。常見的方法主要有：改變磁極參數，改變電樞結構以及槽數和極數的配合。具體包括：定子斜槽[2]、轉子磁形優化[3]、槽極配合[4]、不等槽口寬度配合[5]、永磁體分塊[6]、極弧系數組合[7]、定子齒開輔助槽、轉子開槽及削角[8-9]、改變永磁充磁方向[10]等，但目前大都基于有限元法分析層面，基于設計參數與齒槽轉矩變化關系的定量分析十分匱乏。

本文通過對永磁體進行削角來減小永磁電機的齒槽轉矩，闡述確定最優削角尺寸的方法。同時分析電機的氣隙磁密、反電動勢、齒槽轉矩等參數，并與永磁體尚未削角進行對比，得出該種磁極削角方法可以提高電機的相關性能。

1 解析法建模與分析

1.1 永磁削角解析模型的建立

本文主要研究的是8極9槽表貼式永磁電機，轉子采用削角方式，定子帶有齒尖，永磁體采用徑向磁化，設極弧系數為αp，下文中電機主磁場采用氣隙區域Ⅰ和永磁區域Ⅱ來表示。定子結構如圖1所示。

圖1 電機定子結構圖

由于齒槽效應，在槽口處的磁阻較大，氣隙磁密在定子齒尖處會發生一定畸變，造成磁場諧波含量增加。

為簡化建模分析，對電機模型作如下假設：定子鐵心和轉子鐵心的磁導率為無窮大，忽略鐵磁材料飽和；僅考慮二維場，電樞繞組端部效應忽略不計；永磁材料具有線性退磁的特點，且永磁體被完全磁化。

假設定子內表面光滑，定子為無槽結構時，依據磁場邊界條件連續性，在氣隙區域Ⅰ和永磁區域Ⅱ中，磁感應強度與磁場強度分別滿足[11]：

(1)

式中：BrΙ,HrΙ分別是空氣中的磁通密度和磁場強度；BrⅡ,HrⅡ分別是永磁體的磁通密度和磁場強度；M為永磁體的磁化強度；μ0為真空磁導率；μr為永磁的相對磁導率。

在二維極坐標下，磁化強度矢量可表示：

M=Mrr+Mθθ

(2)

式中：Mr,Mθ分別為磁化強度的徑向分量和周向分量。

同時，氣隙區域Ⅰ和永磁區域Ⅱ需滿足拉普拉斯方程和準泊松方程，即：

(3)

(4)

當轉子磁極表面被削角后，磁場區域的邊界條件變得十分復雜，這里對各磁場區域，采用疊加原理求解。

削角后的轉子模型如圖2所示。將整塊磁極分為2個區域：規則的A區域和不規則的B區域。

圖2 轉子削角結構

在相關文獻中，對永磁體削角方式研究很不深入，對多參數變化分析十分匱乏。為了減小磁通變化率，本文采用半圓弧削角的方式，如圖3所示。為保證永磁削角后的氣隙磁場對稱分布，在圖3中沿磁極的中心線，并以O1為圓心，且O1與O之間的距離為d，R0為半徑，所得到的弧線將磁極表面截去，即形成轉子削角模型。

圖3 永磁削角的模型

利用幾何關系，對圖3分析可得，

(5)

當Rmj=Rm時，則可確定被削角規則的永磁區域A所處的范圍：

(6)

對不規則區域B，永磁體的外半徑發生了變化，但依據幾何關系可知：

(7)

同時，d與R0的關系必須滿足：

(8)

(1≤i≤n1)

(9)

同理，對另外一側削角部分作同樣的分析。

顯然，當n1足夠大時，第i段小磁塊就可等效為規則的扇形區域。

將一個周期內的永磁區域沿逆時針方向，按空間角度位置對磁化方式進行分解，如表1所示。

表1 磁化強度表達式

將表1中分段的磁化強度寫成傅里葉級數的形式：

(10)

對于規則的A區域，氣隙磁密的徑向分量和周向分量分別：

(11)

式中：KBα(n),fBr(r)以及fBθ(r)的具體表達式在文獻[11]中給出。

對于不規則的B區域，將各段小永磁體單獨在氣隙區域產生的磁密疊加合成，即：

(12)

則對于定子內表面光滑的無槽結構，永磁體產生的氣隙磁密：

(13)

1.2 帶齒尖結構齒槽效應的分析

由于圖1中定子有齒尖，氣隙磁密經過定子槽口處要發生畸變，增加氣隙磁場中的諧波成分。卡特系數[12]可以分析齒槽效應。本文利用改進的卡特系數進行分析。

由于氣隙磁密在槽口處的磁阻較大，實際的氣隙路徑長度分布不均，故需用等效氣隙來代替實際的氣隙長度。將磁通的路徑分為4條，如圖4所示。圖4中，bs為定子齒尖長度，b0為定子槽口長度，g為氣隙長度，h為定子齒高。

圖4 定子齒尖結構及磁通路徑

圖4中各條磁通路徑的長度分別：

(14)

電機的總磁通可由磁動勢和磁導計算獲得：

(15)

式中：gh為等效氣隙長度；Kc為卡特系數；xi為磁通路徑通過定子鐵心的區域；yi為第i條路徑的長度。

通過式(14)處理可得，各條路徑的磁導：

(16)

氣隙磁場總的磁導為各條路徑磁導的總和：

(17)

由于電機的總磁通和磁動勢在等效前后不變，而總磁通等于磁導乘以磁動勢，結合式(15)可知，有效氣隙長度：

(18)

改進后的卡特系數：

(19)

對定子有齒尖的結構，通過采用改進后的卡特系數計算等效氣隙路徑的方法，間接反映齒槽效應對氣隙磁密波形的影響，可將徑向和切向氣隙磁密分別表示：

(20)

式中：

(21)

將分段后的卡特系數經傅里葉展開，即可獲得定子有齒尖的徑向和切向氣隙磁密分布。

1.3 反電動勢分析

永磁體產生的磁場在定子繞組中產生磁通，轉子旋轉時，在定子繞組中就會產生感應電動勢。對有定子齒的繞組分布，在一個節距內，繞組中磁通可以由氣隙磁密在定子內表面的積分獲得[13]，即：

(22)

式中：αy=2π/Ns。

當定子槽數為奇數時，對不同極槽配合的反電動勢可以表示：

(23)

1.4 齒槽轉矩的解析式

齒槽轉矩是由于定子齒槽與永磁體相互作用而產生，當氣隙磁密經過槽口時，在電樞齒兩側周向方向上的電磁力大小不等，且合力的效果試圖使永磁磁極與定子槽對齊，是電機的固有特性。但在電機精密控制行業，齒槽轉矩對轉矩脈動的影響不能忽視，同時也會帶來電磁噪聲等問題。

計算齒槽轉矩主要有能量法和麥克斯韋表面張力法，后者計算精度較高。因此，采用麥克斯韋應力張力法[14]計算齒槽轉矩：

(24)

式中：Br(r,θ)和Bθ(r,θ)分別為考慮齒槽效應時的氣隙磁密的徑向分量和周向分量。

從齒槽轉矩的解析式中可以看出，齒槽轉矩峰值與電機軸向長度、氣隙磁密幅值、定子開口寬度等密切相關。經進一步化簡后，可將齒槽轉矩問題轉變為轉子位置θ的函數，故齒槽轉矩峰值只取決于氣隙磁密的徑向分量Br和周向分量Bθ。由式(24)可知，當圖3中永磁削角尺寸發生變化時，會直接影響到氣隙磁密波形分布，削角過小或過大都會造成的氣隙磁密畸變，所以將齒槽轉矩的脈動轉化到氣隙磁密的徑向和周向分量上。這里通過MATLAB工具，利用解析模型，對變量賦值可快速得出齒槽轉矩的變化規律。

2 解析法計算及有限元法驗證

為驗證上述解析模型的準確性，以一臺8極9槽表貼式永磁電機為例，電機額定轉速為750r/min，電機結構參數如表2所示。

表2 永磁電機的主要參數

根據上述所建立的轉子削角解析模型，對電機主要參數進行賦值，可得出徑向和切向氣隙磁密的波形，分別如圖5和圖6所示。從圖5、圖6中可以看出，解析法與有限元法得到的徑向氣隙磁密基本一致。解析法首先計算永磁削角后在定子無齒槽效應下的氣隙磁密波形，之后利用改進卡特系數的方法，對氣隙磁密路徑進行研究，得出實際定子帶有齒尖時的氣隙磁密分布。由于在計算齒槽效應時需要分步驟進行，因而會產生數值誤差。另一方面，由于在定子齒邊緣處的聚磁效應，氣隙磁密出現尖峰，但解析法通過改進卡特系數的方法不能完全反映出該特點。但從氣隙磁密波形總體上看，2種方法計算結果基本一致。進一步分析可知，減小電機的工作氣隙對波形質量影響較大；越靠近定子內表面處，磁密波形畸變越嚴重。

圖5 徑向氣隙磁密波形

圖6 切向氣隙磁密波形

采用解析法獲得的空載反電動勢波形如圖7所示。從圖7中可以看出，永磁體削角后反電動勢接近于正弦波。對反電動勢作FFT分析可知，永磁削角后反電動勢的基波幅值為26.53V,總諧波THD占14.46%；當磁極未削角時，反電動勢的基波幅值為20.04V，總諧波THD占17.32%。顯然，永磁體表面削角后，增加了反電動勢的基波幅值，減小了諧波含量，這對提高轉矩和抑制轉矩脈動十分有利。有限元法驗證了相反電動勢解析法結果的正確性。

圖7 相反電動勢波形

齒槽轉矩的波形如圖8所示。從圖8中可以看出，齒槽轉矩的峰值為65.62mN·m。而當永磁體表面未被削角時，齒槽轉矩的峰值為160.85mN·m。因此，轉子表面削角后，可有效減小齒槽轉矩。

圖8 齒槽轉矩波形

綜上所述，有限元法驗證了解析法獲得的氣隙磁密、反電動勢以及齒槽轉矩結果的正確性。

3 齒槽轉矩的優化

為了研究永磁體削角后齒槽轉矩的變化特點，需要對削角后轉子的形狀進行分析。結合式(8)，由圖4可知，削角尺寸變化為2個圓心的距離d與削角半徑R0的二元函數。2個變量同時對齒槽轉矩峰值的影響如表3所示。

表3 齒槽轉矩峰值與永磁削角尺寸的關系

從表3中可以看出，當2個圓心的距離d一定時，存在唯一對應的削角半徑R0，使獲得的齒槽轉矩最小。由表2中的電機參數，利用建立的齒槽轉矩解析模型，經過分析可知，當d為31mm，且R0為14.5mm時，獲得的齒槽轉矩峰值最小值為13.61mN·m。相對于轉子表面未被削角時齒槽轉矩可有效降低91.53%。

在對永磁體進行削角過程中，隨著削角的逐步變化，永磁體形狀可出現正弦形、梯形、面包形以及磁極偏心等形狀，故對永磁體削半弧形角將上述磁極形狀都囊括在內，是一個磁形動態優化過程。

另外，從表3中可以看出，當永磁體削角尺寸不合理時，齒槽轉矩脈動不減反增，受齒槽效應的影響，引起氣隙磁密的徑向和周向分量畸變。

4 結 語

本文利用磁場邊界條件和疊加原理，對永磁體分段建模，建立了削半圓弧磁極的表貼式永磁電機解析模型，計算了氣隙磁密、反電動勢以及齒槽轉矩等參數，并與有限元法計算結果進行比較，驗證了建立解析模型的準確性。此外，還利用解析模型對齒槽轉矩進行了優化，由于半圓弧的削角方法使氣隙磁通在極間變化相對平緩，選取合適的兩圓心距離d與削角半徑R0后，對降低齒槽轉矩的效果十分明顯。利用建立的磁極削角模型，充分發揮解析法對變量快速計算尋優的特點，提高了永磁體的利用率，為電機轉子磁形設計方面提供了一種思路，為實際應用提供了參考。