Contourlet變換針對指紋圖像的重構情況研究

楊申昊 王曉辰 李臻 趙韋靜 楊凌

摘 要：Contourlet變換是一種“真正”的二維圖像表示方法。它通過拉普拉斯金字塔結構來捕獲奇異點，并利用方向濾波器組將分布于不同方向的奇異點合成為一個系數，用類似于輪廓段的基函數來逼近圖像。它是一種多分辨的、局域的、多方向的圖像表示方法。由于指紋圖像含有豐富的方向性信息，所以文章主要針對指紋圖像，采用Contourlet變換，在選擇相同個數大系數的條件下，選擇不同的濾波器、不同的級數，觀察圖像重構的情況，并采用峰值信噪比（PSNR）來度量重構性能。在此基礎上，在相同的條件下，采用db2與Contourlet變換，分別對指紋圖進行了重構，并對重構結果進行了對比，對比結果突出了Contourlet變換對圖像重構的優勢。

關鍵詞：Contourlet變換；指紋圖像；圖像重構

中圖分類號：TP391.41 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）24-0001-06

Abstract： Contourlet transform is a "real" two-dimensional image representation method. The singular points are captured by the Laplacian Pyramid （LP） structure， and the singular points distributed in different directions are synthesized into a coefficient by directional filter banks， and the image is approximated by a basis function similar to the contour segment. It is a multi-resolution， local， multi-directional image representation method. Because fingerprint image contains abundant directional information， this paper， mainly aimed at fingerprint image， adopts Contourlet transform， under the condition of selecting the same number of large coefficients， choosing different filters and different series， observing the situation of image reconstruction. Peak signal-to-noise ratio （PSNR） is used to measure the reconstruction performance. On this basis， under the same conditions， DB2 and Contourlet transform are used to reconstruct fingerprint， and the reconstruction results are compared. The comparison results highlight the advantages of Contourlet transform in image reconstruction.

Keywords： Contourlet transform； fingerprint image； image reconstruction

1 概述

在現實世界中，圖像信號往往包含有大量的幾何特征，例如紋理和邊緣等。二維小波采用一維張量積的形式來表示圖像信號。大量的研究表明：這樣的小波基不能稀疏的表示這種結構信息。另一方面，對于人類視覺系統的研究表明：方向信息在人類視覺理解過程中也發揮著非常重要的作用[1]。因此，我們希望有一種新型的變換來完成方向信息的稀疏表示。

小波變換能夠很好捕獲點狀或零維不連續性（或奇異性），因此它對一維分段光滑信號有良好的逼近性能，并在某種意義上為這類信號提供了最優的逼近表示。但是由于小波變換不滿足方向性及各向異性，所以對于像圖像這樣的二維分段光滑信號來說，小波變換無法提供良好的逼近性能。這就意味著我們需要找到更加有效的高維信號表示方法[3]。

圖1給出了分別使用傳統的小波基和理想的基函數逼近一段光滑曲線的示例。當分辨率變得精細時，可以明顯地看出小波基的局限性。Contourlet變換是一種“真正”的二維圖像表示方法，其思想是利用類似于輪廓線段的基函數去逼近圖像，從而實現圖像的稀疏表示。

由于指紋圖像含有豐富的方向信息，并且Contourlet變換能夠對方向信息更好的進行稀疏表示，所以本文主要采用Contourlet變換對指紋圖像進行了重構。并且與db2小波對指紋圖像重構的結果進行了對比，更突出了Contourlet變換對方向信息稀疏表示的優勢。

2 Contourlet中濾波器的選擇對圖像重構的影響

從表1中可以看到當pfilters選定之后， PSNR值不會隨著dfilters的變化而變化。說明方向濾波器的選擇在該條件下對圖像重構沒有影響。并且可以看到在pfilters選擇‘5-3濾波器時，得到的重構圖像PSNR最大。

3 Contourlet中級數的選擇對圖像重構的影響

在第一部分中，我們已經得到pfilters選用‘5-3濾波器是得到的重構圖像PSNR值最大。在此基礎上，我們在pfilters選用‘5-3，dfilters選用‘9-7的條件下，采用1024個大系數，針對不同的LP分解級數（1-4級），不同的DFB分解級數（22、23、24、25）對圖像重構的影響（如表2-5）。

通過以上的數據可以看到：LP一級分解時得到的PSNR值是相同的；二級分解時，PSNR值只與第一級分解的DFB級數有關，與第二級分解的DFB級數無關，并且在第一級分解級數為25時最大；三級、四級分解時，PSNR值前兩級、三級有關，與最后一級無關，并且，三級分解在前兩級DFB分解為23、25時最大，四級分解在前三級DFB分解為23、23、25時最大。

出現上述現象的原因在于選取1024個大系數進行重構時，如果進行一級的LP分解，幾乎所有的大系數都處在低頻區，所以DFP分解級數對其沒有影響。隨著LP分解級數的增加，有少數的大系數處在高頻區，但是，仍然沒有大系數處在最后一集分解的高頻區，所以最后一級的DFP分解級數對圖像重構沒有影響。

4 Contourlet與db2對指紋圖像重構的對比

基于以上的結果，選取Contourlet每一級變換中PSNR最大的nlevels與db2在相同條件下，選取1024個大系數，對指紋圖進行重構，得到的對比圖如圖3至圖10所示。

通過圖3-圖10對比可以看出，在相同條件下，采用Contourlet變換對指紋圖像重構的結果要比db2，無論是從視覺效果上，還是從PSNR值上，結果都要好一些。更進一步證明了，針對方向信息比較豐富的圖像，例如指紋圖像，采用Contourlet變換比采用小波變換更合適。

5 結束語

從以上的分析可以得到如下的結論：Contourlet變換中濾波器、級數的選擇對圖像的重構是有影響的，pfilters選定之后， PSNR值不會隨著dfilters的變化而變化。LP一級分解時得到的PSNR值是相同的；二級分解時，PSNR值只與第一級分解的DFB級數有關，與第二級分解的DFB級數無關，并且在第一級分解級數為25時最大；三級、四級分解時，PSNR值前兩級、三級有關，與最后一級無關。

針對指紋圖像，在相同條件下，Contourlet變換作為稀疏變換基與db2相比，無論是在視覺上，還是PSNR值上，效果都要好一些。

參考文獻：

[1]網薩雷斯.數字圖像處理（第二版）[M].電子工業出版社，2003.

[2]馮象初，宋國鄉.數值泛函與小波理論[M].西安電子科技大學出版社，2003.

[3]楊 .基于Contourlet變換的圖像處理關鍵技術研究[D].西安電子科技大學，2009.