正方體的截面問題

陳斌

摘要：近幾年高考全國數學試卷涉及正方體的截面問題的試題，本文就正方體的截面形狀及性質進行了歸納整理，并對幾道高考試題提出了解法。

關鍵詞：高考;理數;正方體;截面

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2018）12-0237-01

正方體的截面就是用一個平面去截正方體，正方體的表面與這個平面的交線圍成的平面圖形。

1.正方體的截面形狀

正方體的截面可以是三角形，四邊形，五邊形或六邊形，具體說：

（1）截面三角形一定是銳角三角形;其中可以是等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形;但不能是直角三角形、鈍角三角形;

（2）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;并且四邊形中至少有一組對邊平行;截面不能是直角梯形;

（3）截面可以是五邊形;截面五邊形必有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等;截面五邊形不可能是正五邊形（因為必有兩組對邊平行）;

（4）截面可以是六邊形;截面六邊形必有分別平行的邊，同時有兩個角相等;截面六邊形可以是等角（均為1200）的六邊形，特別地，可以是正六邊形。

2.正方體的截角面的性質

所謂正方體的截角面就是沿正方體的某三個頂點截去它的一個角后的三角形截面。如右圖中的△A'BD。

（1）每個正方體都有八個截角面;

（2）正方體的截角面垂直于它的一條體對角線，垂足是這條體對角線的一個三等分點。

（3）正方體的截角面與它的12條棱所成的角相等，也與它的六個面所成角相等。

由于截去的是正三棱錐，結合線面平行或面面平行的有關性質容易證明上述結論。

3.有關試題解法淺析

（1）把正方體截去一個角，求證：截面三角形是銳角三角形。

分析：如圖，應該從截去的部分入手，關注被截去棱的部分長AE、AF，AG對△EFG形狀的影響。

解答：如圖，設AE=a，AF=b，AG=c，則所以所以∠EFG所以為銳角;同理∠FGE，∠GEF都為銳角;故ΔEFG為銳角三角形。

（2）【2018年高考全國卷I理數12】已知正方體的棱長為，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）分析：截角面與十二條棱所成的角都相等，并且與它平行的截面都與正方體的十二條棱所成的角都相等，又因為截面面積要最大，所以考慮正六邊形截面。

解答：由截角面的性質和平行平面的性質，考慮正六邊形截面，它的邊長為面對角線的一半，故得S截面=，選A。

（3）【2018年高考全國卷I理數11】平面α過正方體AB-CD-A₁B₁C₁D₁的頂點A，α//平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，a∩平面ABB₁A₁=n，則m，n所成角的正弦值為（）

分析：補體，直接找直線m和直線n，然后求夾角;或找分別與直線m和n直線平行的直線所成的角。

解答：法一：補體，m為AE，n為AF，△AEF為等邊三角形，所以，m，n所成角為∠EAF=π/3，其正弦值為。法二：作截面A₁BD，由面面平行的性質m，n所成角的角等于∠A₁BD，可解。法三;m//B₁D₁，n//CD₁，m，n所成角的角即為∠CD₁B₁，可答。