逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

李宇平

摘要：在高中數(shù)學(xué)題目中，如果采用常規(guī)方法解題比較困難時(shí)，逆向思考往往能使解題過程更順暢。在本文中，筆者將運(yùn)用例題來解析用逆向思維解題的過程，為同學(xué)們提供一套展現(xiàn)逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的魅力，提高數(shù)學(xué)解題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);逆向思維

【中圖分類號】G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2236-1879（2018）13-0032-02

高中數(shù)學(xué)中存在很多的逆向關(guān)系，如因式分解和整式乘法在知識結(jié)構(gòu)上互逆，求代數(shù)式的值和解方程互逆，幾何中“性質(zhì)定理”和“判定定理”互逆等等，我們在做題時(shí)注意數(shù)學(xué)中的逆向關(guān)系，平時(shí)多總結(jié)關(guān)于互逆關(guān)系的題目，抓住題目的本質(zhì)。

在數(shù)學(xué)解題中，對一個(gè)數(shù)學(xué)問題思考不出來時(shí)，我們換一個(gè)角度去思考，從結(jié)論往回推，倒過來思考采取正難則反的思維策略，找到解決問題的捷徑。中學(xué)課本中的逆用算，反證法，分析法等都涉及到思維的逆向性，只要我們多注意定理、公式的逆用，正難則反，往往可以使問題簡化。

1.逆向思維的定義及原理

所謂逆向思維，是指與原先思維相反方向上的思維。與同向思維一樣，逆向思維在數(shù)學(xué)解題中也有著廣泛的應(yīng)用。逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式。敢于“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，從問題的相反面深入地進(jìn)行探索，樹立新思想，創(chuàng)立新形象。

所謂逆向思維法，就是指人們?yōu)檫_(dá)到一定目標(biāo)，從相反的角度來思考問題，從中引導(dǎo)啟發(fā)思維的方法。

面對新事物、新問題的時(shí)候，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)從事物的不同方面，不同角度來分原研究新事物、解決新問題。我國古代有“曹沖稱象”的故鄉(xiāng)，曹沖沒有按通常思維去考慮如何直接稱象，而是反過來考慮大象的等重量物，即一堆石頭如何稱，這就是一個(gè)很好的逆向思維應(yīng)用的例子。19世紀(jì)40年代，英國的物理學(xué)家焦耳（1818-1889年）曾致力于研究不消耗能量的永動(dòng)機(jī)，他用去了許多時(shí)間，但毫無結(jié)果，驗(yàn)證永動(dòng)機(jī)是不可能制造出來的，從而發(fā)現(xiàn)了能量定恒和轉(zhuǎn)換定律。

逆向思維就運(yùn)算而言，主要為逆運(yùn)算的研究;就逆命題的研究而言，逆向思維的基本功能就是可以借以發(fā)現(xiàn)原命題中的前提是否為相應(yīng)結(jié)論的充要條件。這對于深入認(rèn)識有關(guān)概念的本質(zhì)特征并促進(jìn)概念的精確化顯然是有重要意義的。

例如，在證明（歐氏）平行公理的長期努力中，有不少數(shù)學(xué)家曾認(rèn)為自己已經(jīng)獲得了成功，但后來卻被發(fā)現(xiàn)往往是在證明中自覺或不自覺地引入了某種假設(shè)，而通過逆命題的分析又可發(fā)現(xiàn)這些假設(shè)中的大部分是與平行公理相等價(jià)的。由于這種研究澄清了原先的錯(cuò)誤認(rèn)識，從而也就加深了人們對平行公理（也即平行線概念）的理解。因此，逆向思維從另一側(cè)面促進(jìn)了認(rèn)識的發(fā)展。

鑒于此，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力。迅速而自然地從正向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力，它正是數(shù)學(xué)解題能力增強(qiáng)的一種標(biāo)志。而剛進(jìn)入中學(xué)的學(xué)生，還不習(xí)慣反過來思考，倒過來想，即不善于逆向思維。因此，在數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練。只要我們平時(shí)多注意公式、概念、定理、規(guī)律性例題的逆運(yùn)用，常常會(huì)使問題得到簡化，經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以讓學(xué)習(xí)者的思維得以靈敏。

2.逆向思維解題的原理及解題過程

【例題l】逆向思維分析法求證

分析法就是分析命題成立的充分條件，把命題轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立。針對這道題，可采用分析法來求證。

證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難，例如，在題3中，我們很難想到從“21<25”人手，因此，分析法是解決數(shù)學(xué)問題的一種有效捷徑。

【例題2】逆向思維定義法求解y=f（x）

在數(shù)學(xué)解題中，“定義法”是一種比較常見的方法，但我們經(jīng)常忽視定義的逆用，只要重視定義的逆用，進(jìn)行逆向思維，就能使問題解答簡捷。

根據(jù)函數(shù)和它的反函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，逆向考慮，先找出函數(shù)y=f（x）的圖像所通過的點(diǎn)，將函數(shù)y=f（2x-1）的圖像先向左平移，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的兩倍得到函數(shù)y=f（x）的圖像，這樣y=f（x）過點(diǎn)（0，1），則y=f（x）-1的圖像必過點(diǎn)（1，0），故選C.

【例題3】逆向思維反證分析法證明“圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分”

證明圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。

正面我們很難人手，我們采用反證法證明。

假設(shè)圓的兩條不是直徑的相交弦可以互相平分。

00中，AB與弦CD相交于點(diǎn)P，且AP=BP，CP=DP，連結(jié)OP.

AP= BP.

OPAB（平分弦的直徑垂直于弦）

同理CP= DP，

OP= CD.

這樣，過點(diǎn)P就有AB與CD兩條不同的直線與OP垂直這點(diǎn)“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”的定理相矛盾，所以，假設(shè)錯(cuò)誤，因此，原命題成立！即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。

【例題4】逆向思維在排除法求解f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+l

在有些數(shù)學(xué)問題中，正面復(fù)雜，反面簡單，只要逆向分析，進(jìn)行排除，就能使問題得到簡捷的解答，同時(shí)這也是借有些選擇題的有效捷徑解法。

題5，若二次函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)C，使f（c）>0，求實(shí)數(shù)P的取值范圍。分析：此題從反面分析，采取補(bǔ)集法則比較簡單。

如果在[-1，1]內(nèi)沒有點(diǎn)滿足f（c）>O

即為滿足條件的p的取值范圍。

3.結(jié)束語

在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)問題的特點(diǎn)，在應(yīng)用正向思維的同時(shí)，注意逆向思維的應(yīng)用，總結(jié)應(yīng)用逆向思維的題目，經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練，對我們題高數(shù)學(xué)解題能力有很大的作用。

參考文獻(xiàn)

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