以一類向量模的問題為例淺談追本溯源

蔣婷婷

摘 要： 教材中的基本知識始終是高考命題的主要來源。本文從真題出發，追本溯源，談談向量模的問題與教材之間千絲萬縷的的聯系。

關鍵詞： 教材；向量；三角不等式；模恒等式；極化恒等式

【中圖分類號】 G632 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2236-1879（2018）11-0062-02

高考試題雖然年年不同，但是教材中的基本知識、基本定理原理始終是考試的終點，教材是高考命題的主要來源。所以在高考復習中，尤其是后階段，教師適當引領學生回歸教材，重點研究高考題考查的內容和能力。只有具備了相關的知識與能力，方能贏得高考。

1 從真題出發思考。

例1 已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|b|=2，則|a-b|的最小值是____，最大值是____。

（2017年浙江省數學高考試題第15題）

分析：一方面，若向量a、b共線，方向相同或相反，都有|a+b|+|a-b|=4，若向量a、b不共線，如圖1， 其中OF=AE=a，OB=BD=b，OC=a+b，BA=CE=DC=a-b，數形結合可知：|a+b|+|a-b=|OC|+|CE|>|OE|=2|a|=2，|a+b|+|a-b|=|OC|+|CE|=|OC|+|CD|>|OD|=2|b|=4，所以|a+b|+|a-b|4。

另一方面，，平方和是定值10，利用重要不等式易得：

所以，當且僅當，即時取到最大值25。

筆者認為此題考查了向量模的性質，也稱向量模恒等式，又重點考查了三角不等式的應用能力。

（1） （向量三角不等式）

（2）（向量模恒等式）

它們都是教材的內容，都是高考的重點內容。

2 回歸教材，追本溯源

2.1 向量三角不等式的來源。

人教版數學必修4第二章平面向量中2.2平面向量的線性運算第81頁的【例題】：已知向量a、b，求作向量a+b。

在82頁安排了【探究】：處于什么位置時，（1）

（2）

根據三角形兩邊之和（差）與第三邊的大小關系，再結合等號成立的情況，得到不等式。這就是教材中對向量三角不等式的完整的介紹。那么例1中，只需令，即可得到最小值4。向量三角不等式在歷年的高考真題中數次考查，可見其重要性。

教材的82頁又安排了【思考】：當在數軸上表示兩個共線向量時，它們的加法與數的加法有什么關系？

筆者揣摩教材中作這樣的安排，旨在揭示數的絕對值與向量的模之間的關系。事實上，與向量的模的三角不等式相似，實數有絕對值不等式：

例2 已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，若對任意單位向量e，均有最大值是_____。

（2016年浙江省數學高考試題第15題）

或 恒成立，可得。這里應該引導學生注意向量的模與實數的絕對值之間的區別與聯系。

或者根據實數的絕對值不等式：，可以得到：，所以問題等價于對任意單位向量，

2.2 向量模恒等式的來源。

人教版數學必修4 2.5平面向量應用舉例中2.5.1平面幾何中的向量方法第109頁的【例題】：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。你能發現平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？

（向量模恒等式），它的幾何意義為“平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍”。這個恒等式在往年的高考中也常常出現。

（2014年浙江省數學高考試題第8題）

分析：正確理解分段函數的含義，并運用這些模的幾何意義，首先平行四邊形的對角線與其邊長不能比較大小，另一方面恒有 。從中感受到高考題來源于教材，綜合考查幾個知識點與幾個不同方面的如抽象邏輯計數等能力。

3 理解教材，挖掘教材。

仔細研讀教材，認真看了教材中的例題之后，如何理解教材編寫者的意圖，如何在自己的教學實踐中引領學生感受與發現，并且能有一定程度的升華，這就需要教師對教材進行再加工，再琢磨，充分挖掘教材。例如，

不妨嘗試（3）（4）可得：，即這個恒等式被稱為極化恒等式。它的幾何意義為“向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的平方差的14”。這個等式在高考題中有許多妙用[1]。筆者以江蘇省2016年的一個試題為例談談極化恒等式的應用。

例4 如圖4，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，

的值是_____。

（2016年江蘇省數學高考試題第13題）

分析： ，同理可得：，，所以容易得到。

事實上，在△ABC中，D是BC的中點，在三角形模型里，極化恒等式反映的是鄰邊的數量積是中線與半邊長的平方差。這樣推導：

所以，筆者揣測極化恒等式教材中并為給出，也許是這個理由，它可以由向量的線性表示，然后化簡得到，并不一定需要由極化恒等式出發。從這個角度出發，向量模的恒等式是更有研究意義的。但這并不影響極化恒等式受到重用。

4 結束語

數學家克萊因說：“教師掌握的知識要比他所教的知識多得多，才能引導學生繞過懸崖，渡過險灘。”復習的最后階段，返璞歸真，研讀教材，感知最基礎的知識，或許會有新的發現，閃現新的靈感！

參考文獻

[1] 王紅權，李學軍，朱成萬.巧用極化恒等式 妙解一類向量題 [J].中學教研（數學），2013（8）：24-25.