Gantry Robot位置的異步電機(jī)驅(qū)動控制研究

趙丙昆 于海生

摘要： 針對Gantry Robot位置控制效果不佳的問題，本文提出了PD加重力補(bǔ)償控制與反步法相結(jié)合的控制方法。建立了機(jī)器人空間變換與動力學(xué)模型，外環(huán)控制采用PD加重力補(bǔ)償控制，內(nèi)環(huán)采用以轉(zhuǎn)速誤差和磁鏈誤差為輸入的反步控制，同時考慮異步電動機(jī)運(yùn)行過程中轉(zhuǎn)子磁鏈和負(fù)載轉(zhuǎn)矩未知情況，引入轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器和負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器，并用Lyapunov理論判別整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，機(jī)器人位置控制具有較好的跟蹤效果，響應(yīng)時間較短，靜態(tài)和動態(tài)性能都很好，轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器和負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器可以精確跟蹤轉(zhuǎn)子磁鏈和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。該方法解決了異步電動機(jī)運(yùn)行過程中轉(zhuǎn)子電阻變化帶來的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測效果不佳問題，具有一定的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞： 3D龍門直角坐標(biāo)機(jī)器人； 異步電動機(jī)； 反步法控制； 位置控制； 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器

中圖分類號： TP242.6； TM343文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

通訊作者： 于海生（1963），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡娔茏儞Q與電機(jī)系統(tǒng)非線性控制。Email： yhsh_qd@qdu.edu.cn直角坐標(biāo)機(jī)器人的研究通常將機(jī)器人的動力學(xué)與驅(qū)動電機(jī)分開進(jìn)行。近年來，許多研究者研究了機(jī)器人的高性能控制，有的采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制來實(shí)現(xiàn)機(jī)器人控制[1]，該方法依靠大量編程語言來實(shí)現(xiàn)，但程序語言太復(fù)雜；也有采用自適應(yīng)控制實(shí)現(xiàn)機(jī)器人控制[2]，該方式所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律有時太過繁瑣；而運(yùn)用SMC方法設(shè)計(jì)機(jī)器人控制算法[34]，無法克服滑模控制帶來的抖振問題。雖然這些方式能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)器人的高性能控制，但沒有考慮電機(jī)的因素，特別是以異步電動機(jī)作為驅(qū)動電機(jī)的機(jī)器人控制。為解決這個問題，以3D龍門直角坐標(biāo)機(jī)器人為研究對象，將異步電動機(jī)（induction motor，IM）作為Gantry Robot驅(qū)動電機(jī)，對機(jī)器人進(jìn)行綜合研究。異步電動機(jī)由于性能優(yōu)越、運(yùn)轉(zhuǎn)可靠等優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛關(guān)注[57]，特別是在港口貨物搬運(yùn)和裝卸等領(lǐng)域得到較多應(yīng)用。張春朋等人[8]中運(yùn)用反饋線性化進(jìn)行電機(jī)控制，在一定調(diào)速范圍內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)電機(jī)控制；哈密頓控制方法是基于能量理論，解決電動機(jī)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時能量損失最小問題[910]；反步法控制設(shè)計(jì)方法簡單，在設(shè)計(jì)不確定系統(tǒng)（特別是當(dāng)擾動或不確定不符合匹配前提時）魯棒或自適應(yīng)控制器方面已經(jīng)顯示出它的優(yōu)越性[1112]。本設(shè)計(jì)方案中外環(huán)位置控制器中x、y軸采取PD控制，z軸采用PD加重力補(bǔ)償控制，該方法具有較高的可靠性和較好的抗滋擾能力；內(nèi)環(huán)控制將轉(zhuǎn)速和磁鏈誤差作為反步控制器輸入，該方法控制簡單，具有良好的魯棒性。考慮異步電動機(jī)運(yùn)行過程中轉(zhuǎn)子磁鏈和負(fù)載轉(zhuǎn)矩未知情況，引入轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器和負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器。與傳統(tǒng)機(jī)器人控制相比，該方案考慮了電機(jī)因素，且設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡單，解決了異步電動機(jī)運(yùn)行過程中轉(zhuǎn)子電阻變化帶來的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測效果不佳問題。該研究具有一定的應(yīng)用前景。

1.1Gantry Robot空間變換與動力學(xué)模型

Gantry Robot通常有x、y、z 3個軸，x、y軸在水平面內(nèi)，z軸垂直于水平面，3個軸兩兩垂直。機(jī)器人可實(shí)現(xiàn)橫向、縱向和末端抓手的裝卸運(yùn)動。直角坐標(biāo)系中，x、y、z軸都是直線運(yùn)動單元，且每個軸由鋼或鋁支撐的滑塊組成，驅(qū)動電機(jī)為異步電機(jī)。電機(jī)旋轉(zhuǎn)帶動滑塊沿直線方向運(yùn)動，機(jī)器人模型如圖1所示。

由于各運(yùn)動軸之間兩兩垂直且均為直線運(yùn)動單元，故直角坐標(biāo)系機(jī)器人運(yùn)動學(xué)中只存在空間位置的平移變換而沒有旋轉(zhuǎn)變換。因此，Gantry Robot靜態(tài)空間變換模型為

x

y

z=px/2π00

0py/2π0

00pz/2πθx

θy

θz，θx

θy

θz=px/2π00

0py/2π0

00pz/2π-1x

y

z（1）

其中，θ=θxθyθzT為電機(jī)轉(zhuǎn)角；pi、ki（i=x、y、z）為i軸絲杠螺距、運(yùn)動加速度與電機(jī)角加速度折算值。

機(jī)器人動力學(xué)模型為[13]

H（θ）+Rmθ+G（θ）=T（2）

式中，θ、分別表示3×1角位移、角加速度向量；H（θ）為正定且對稱3×3階混合慣性矩陣；G（θ）為3×1階重力矩向量；T表示為3×1機(jī)器人輸入力矩，T=τ-τL。式（2）中各系數(shù)矩陣為

Rm=＼[rx+br2ry+br2rz+br2＼]T

式中，m1、m2、m3和Jx、Jy、Jz分別表示x、y、z軸質(zhì)量和電機(jī)軸轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量，J為負(fù)載軸轉(zhuǎn)動慣量，r為折算比，Jmx、Jmy、Jmz為齒輪箱驅(qū)動側(cè)轉(zhuǎn)動慣量。

1.2異步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型

引入dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，且按轉(zhuǎn)子磁鏈定向，即λrdi=λri，λrqi=0，推導(dǎo)建立異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型[14]為

disdidt=-（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisdi+ωsiisqi+LmiRriσLsiL2riλrdi+1σLsiusdi

disqidt=-（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisqi-ωsiisdi-LmiωriσLsiLriλrdi+1σLsiusqi

dλrdidt=LmiRriLriisdi-RriLriλrdi

dωidt=τiJi-τLiJi

i=ωi（3）

τi=npiLmi（isqiirdi-isdiirqi）（4）

式中，isdi、isqi、usdi、usqi分別i（i=x、y、z）軸電機(jī)dq軸定子電流、電壓；λrdi、Lsi、Rsi、Lri、Rri、Lmi分別為轉(zhuǎn)子磁鏈、定子電感、定子電阻、轉(zhuǎn)子電感、轉(zhuǎn)子電阻、定子與轉(zhuǎn)子之間互感；σ=1-L2mi/LsiLri漏磁系數(shù)；ωei、ωi、ωri分別為電角速度、轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度、電角速度；τLi為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；npi和Ji分別極對數(shù)和轉(zhuǎn)動慣量。

2控制系統(tǒng)方案

考慮電機(jī)的Gantry Robot控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。給定機(jī)器人期望位置后，經(jīng)軌跡規(guī)劃得出異步電動機(jī)期望轉(zhuǎn)角，經(jīng)相應(yīng)控制器控制各軸電機(jī)，電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩給到機(jī)器人，最后機(jī)器人將實(shí)際角位置反饋給期望角位置。以異步電動機(jī)為機(jī)器人x、y、z軸驅(qū)動電機(jī)，外環(huán)輸入為位置誤差，經(jīng)PD加重力補(bǔ)償控制器得到參考轉(zhuǎn)速ω*i（i=x，y，z），內(nèi)環(huán)以轉(zhuǎn)速誤差和磁鏈誤差為反步控制器的輸入。

圖2中，給定機(jī)器人末端位置（假設(shè)初始位置在坐標(biāo)原點(diǎn)），根據(jù)式（1）可計(jì)算出機(jī)器人各軸驅(qū)動電機(jī)期望轉(zhuǎn)角位置θ*i（i=x，y，z），機(jī)器人各軸驅(qū)動電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)角位置θi反饋回來，得到位置誤差。定義位置誤差e=θ*i-θi。位置環(huán)采取PD加重力補(bǔ)償方法，使位置誤差為零。基于直角坐標(biāo)機(jī)器人結(jié)構(gòu)，x、y軸無重力補(bǔ)償項(xiàng)，只在z軸方向增加常數(shù)重力補(bǔ)償項(xiàng)以此來抵消重力影響。控制律為

ωx=Kpxex+KDxx， ωy=Kpyey+KDyy， ωz=Kpzez+KDzz+G（θz）（5）

選取Lyapunov函數(shù)為V1=（TH（θ）+eTKPe）/2。由于H（θ）、Kp正定，則V1正定。根據(jù)文獻(xiàn)[15]可得

1=TH（θ）+TKp=-TKD≤0（6）

式中，Kp=diag（Kpx，Kpy，Kpz），KD=diag（KDx，KDy，KDz）。當(dāng)且僅當(dāng)e=0時，1=0。由Lyapunov穩(wěn)定性思想可知，位置控制子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

2.2轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器的設(shè)計(jì)

圖2中，設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子磁鏈λrdi，由式（4）磁鏈方程可知，其估計(jì)值rdi可通過定子電流isdi來估計(jì)，即

λrdi=LmiRriisdi/Lri-Rrirdi/Lri（7）

定義誤差eλi=λrdi-rdi，對其求導(dǎo)并結(jié)合式（3）磁鏈方程和式（7），得磁鏈觀測誤差λi=-Rrieλi/Lri。選取Lyapunov函數(shù)V2=e2λi/2，對其求導(dǎo)，得

2=eλrλr=-Rrie2λi/Lri≤0（8）

當(dāng)且僅當(dāng)eλr=0時，恒成立。因此磁鏈觀測器漸近穩(wěn)定。

式（7）轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器含Rri，而電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中Rri因?yàn)闇囟壬吆图w效應(yīng)等原因會發(fā)生變化，有時甚至?xí)兓?到3倍。因此，根據(jù)PCH方法，設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器，該轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器避免了電機(jī)運(yùn)行過程中轉(zhuǎn)子電阻發(fā)生波動的影響。轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器為

λr=Lrλs/Lm+（Lm-LsLr/Lm）is， s=-ωsJ2λs+us-Rsis（9）

2.3反步控制器設(shè)計(jì)

1）當(dāng)τLi已知時，定義轉(zhuǎn)速和磁鏈誤差ewi=ωi-ωi，eλdi=λrdi-λrdi。對誤差求導(dǎo)并結(jié)合式（3），得

wi=i-i=i-a1iλrdiisqi+τLi/Ji（10）

λdi=rdi-rdi=rdi+Rriλrdi/Lri-LmiRriisdi/Lri（11）

選取Lyapunov函數(shù)V3=（e2wi+e2λdi）/2，對其求導(dǎo)，得

3=ewiwi+eλdiλdi（12）

將式（10）和式（11）代入式（12），得

3=ewi（i-a1iλrdiisqi+τLi/Ji）+eλdi（rdi+Rriλrdi/Lri-LmiRriisdi/Lri）（13）

為使式（13）小于0，即3<0，選取以下控制

isqi=（k1iewi+i+τLi/Ji）/（a1iλrdi）（14）

isdi=Lri（k2ieλdi+rdi+Rriλrdi/Lri）/（LmiRri）（15）

為計(jì)算定子d、q軸電壓usdi、usqi，定義電流誤差esq=isqi-isqi，esd=isdi-isdi，對其求導(dǎo)，得

sq=sqi-sqi=sqi+isqi（L2miRri+L2riRsi）/（σLsiL2ri）+ωsiisdi+Lmiωriλrdi/（σLsiLri）-usqi/（σLsi）（16）

sd=sdi-sdi=sdi+isdi（L2miRri+L2riRsi）/（σLsiL2ri）-ωsiisqi-LmiRriλrdi/（σLsiL2ri）-usdi/（σLsi）（17）

選取Lyapunov函數(shù)V4=（e2sq+e2sd）/2，對其求導(dǎo)，并將式（16）和式（17）代入導(dǎo)數(shù)方程，得

4=esq（sqi+（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisqi+ωsiisdi+LmiωriσLsiLriλrdi-usqiσLsi）+

esd（sdi+（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisdi-ωsiisqi-LmiRriσLsiL2riλrdi-usdiσLsi）（18）

為使式（18）小于0，即4<0，選取以下控制為

usqi=σLsi（sqi+ωsiisdi+k3iesq）+isqi（L2miRri+L2riRsi）/L2ri+λrdiLmiωri/Lri（19）

usdi=σLsi（sdi-ωsiisqi+k4iesd）+isdi（L2miRri+L2riRsi）/L2ri-λrdiLmiRri/L2ri（20）

將式（13）、（14）代入式（12），式（19）、（20）代入式（18），得

3=-k1ie2wi-k2ie2λdi<0，4=-k3ie2sq-k4ie2sd<0（21）

恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)k1i、k2i、k3i、k4i>0時，該子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2）電機(jī)實(shí)際運(yùn)行時，τLi未知，可設(shè)計(jì)τLi觀測器來估計(jì)其值。設(shè)負(fù)載估計(jì)值為Li，則式（14）變?yōu)閕sqi=（k1iewi+i+Li/Ji）/（a1iλrdi）。τLi恒定且已知時，由式（4）得

i=ωi， i=a1irdiisqi-τLi/Ji， Li=0（22）

電機(jī)實(shí)際運(yùn)行中，通常τLi未知，故要對其進(jìn)行估計(jì)。在式（22）基礎(chǔ)上引入位置誤差，獲得τLi觀測器方程為

θi=i+k1（θi-i）， ωi=a1irdiisqi-Li/Ji+k2（θi-i）， τLi=k3（θi-i）（23）

其中，k1、k2、k3是設(shè)計(jì)參數(shù)。定義估計(jì)誤差為i=θi-i，i=ωi-i，Li=τLi-Li，v=iiLiT。由式（22）和（23）得觀測器跟蹤誤差動態(tài)方程為

=Av（24）

其中

A=-k110

-k20-1/Ji

-k300

顯然式（24）線性自治。為證明式（24）漸近穩(wěn)定，選取Lyapunov函數(shù)V5=vTPv>0，P正定矩陣。由Lyapunov方程ATP+PA=-Q，解得P矩陣為

P=Jik2/（2k3+2k1k2Ji）01/（2k3+2k1k2Ji）

0Ji/（2k3+2k1k2Ji）0

1/（2k3+2k1k2Ji）0-k1/[（2k3+2k1k2Ji）k3]，Q=100

000

000

依次判斷P的順序主子式可得，當(dāng)k1>0，k2>0，k3<0時，P為正定矩陣，使V5=vTPv>0，5<0。故所設(shè)計(jì)的觀測器是漸近穩(wěn)定的。因此，τLi未知時，可用Li代替。式（24）特征方程為s3+k1s2+k2s-k3/Ji=0。假設(shè)所有極點(diǎn)都滿足sp<0，可得k1=-3sp，k2=3s2p，k3=Jis3p。

2.4整個系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

整個系統(tǒng)的Lyapunov方程為V=V1+V2+V3+V4+V5，按照以上分析1≤0，2≤0，3≤0，4≤0，5≤0，證得≤0，易得整個系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2.5軌跡規(guī)劃

采用逐點(diǎn)對照法實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)空間內(nèi)的直線插補(bǔ)。設(shè)點(diǎn)M（xm，ym，zm）為軌跡上移動點(diǎn)，根據(jù)式（1）可計(jì)算角度序列θxjθyjθzj（j=1，2…），這些角度序列可作為圖2中的給定值，然后依次進(jìn)行偏差計(jì)算，最終實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)空間的直線插補(bǔ)。

3系統(tǒng)仿真及其結(jié)果分析

仿真所用電機(jī)參數(shù)為：Rs=0687 Ω，Rm=0001 Ω，Rr=0842 Ω，Ls=0084 H，Lm=0081 3 H，Lr=0085 2 H，np=2，Lsc=0006 421 47 H，J=003 kg·m2，額定磁鏈為1 Wb。PD控制器、反步控制器、負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器設(shè)計(jì)參數(shù)為kp=10 000，kD=1，k1i=2 000，k2i=8 000，k3i=20 000，k4i=5 000，sp=-500。設(shè)定機(jī)器人初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，末端位置為（1，11，12 m）。為驗(yàn)證控制效果，對Gantry Robot的x、y、z軸電機(jī)進(jìn)行仿真。3個軸異步電機(jī)角位移誤差變化曲線如圖4所示，轉(zhuǎn)子磁鏈估計(jì)曲線如圖5所示，負(fù)載觀測器曲線如圖6所示，Gantry Robot末端運(yùn)動曲線如圖7所示，各軸向位移與時間關(guān)系曲線如圖8所示。

圖8各軸向位移與時間關(guān)系曲線由圖1可知，機(jī)器人各軸電機(jī)轉(zhuǎn)角誤差在t=006 s時收斂到零且響應(yīng)時間較快，表明電機(jī)運(yùn)行過程中動態(tài)和靜態(tài)性能較好；由圖2可知，兩種磁鏈觀測器對磁鏈的觀測效果基本一致，表明電機(jī)運(yùn)行過程轉(zhuǎn)子電阻的變化對磁鏈變化影響不大；由圖3可知，不含轉(zhuǎn)子電阻的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器觀測效果更好，基本與所給定的階躍負(fù)載信號一致。該方法解決了異步電動機(jī)運(yùn)行過程轉(zhuǎn)子電阻變化帶來的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測效果不佳問題；由圖4可知，末端軌跡契合規(guī)劃要求，進(jìn)行空間直線運(yùn)動，達(dá)到預(yù)期目標(biāo)；由圖5可知，各軸向移動距離均達(dá)期望距離，機(jī)器人x、y、z軸位置控制可很好的實(shí)現(xiàn)。

4結(jié)束語

本文對3D龍門式直角坐標(biāo)機(jī)器人位置的異步電動機(jī)伺服控制系統(tǒng)進(jìn)行研究，將機(jī)器人運(yùn)動控制與電機(jī)運(yùn)動控制相結(jié)合，并將機(jī)器人各軸向運(yùn)動轉(zhuǎn)化為異步電動機(jī)轉(zhuǎn)角運(yùn)動。外環(huán)控制采用PD加重力補(bǔ)償控制方法，內(nèi)環(huán)采用轉(zhuǎn)速和磁鏈的反步法控制。設(shè)計(jì)了負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器，解決了異步電動機(jī)在運(yùn)行過程中轉(zhuǎn)子電阻變化帶來的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測效果不佳問題。仿真結(jié)果表明，Gantry Robot位置控制具有較短響應(yīng)時間及較好的跟蹤效果，靜態(tài)和動態(tài)性能都很好。本文設(shè)計(jì)方法簡單，便于實(shí)現(xiàn)，在港口龍門機(jī)器人應(yīng)用方面前景廣闊。下一步可設(shè)計(jì)Rr自適應(yīng)估計(jì)律，以此實(shí)現(xiàn)高精度的Gantry Robot位置控制。

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