Nuttall窗三譜線插值法在雷達輻射源識別中的應用

李 霄,石遠東,柴 恒

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所,江蘇 揚州225101)

0 引 言

隨著雷達技術的不斷突破,雷達信號復雜、工作模式多變等特性給電磁輻射源識別帶來了諸多困難。基于載頻(RF)、波達角(DOA)、脈間特征(PRI)、脈內特征(PMF)等變化規律的輻射源識別難以滿足指標要求,因此雷達的無意調制特征逐漸被重視。

雷達輻射源的諧波特征屬于無意調制特征。諧波特征的特點是在其他有意調制特征和雷達工作模式不斷變化的條件下,始終保持一定的規律性和穩定性[1],因此可用于輻射源識別。快速傅里葉變換(FFT)諧波分析的有力工具,在應用FFT進行諧波分析時,需要對采樣信號進行截斷處理。這個過程無法滿足截斷后的信號是自身的整數倍周期,因此經過FFT分析后的信號不可避免地產生頻譜泄漏,導致幅度較小的諧波分量被基波的泄漏影響,造成諧波幅度削弱甚至被淹沒,不能達到諧波測量的技術要求[2]。因此,FFT運算之前需要對原始采樣信號加窗處理。由于不同的窗函數在性能上各有側重,需要根據實際需求對窗函數進行選取。此外,FFT存在柵欄效應,需要對分析結果進行插值修正,以精確恢復諧波幅度特征。

1 雷達輻射源諧波特征

雷達在發射端采用高功率的信號增益放大器增加探測距離,以常見的正弦信號為例,如式1所示:

式中:s(t)為進入功放前的正弦信號;r(t)為幅度;f0為載波頻率;θ為初始相位。

不考慮增益器件的AM-PM轉移特性,則信號經過放大后可表示為:

對y(t)進行泰勒公式展開為:

式中:ai為各個諧波分量的幅度增益,與放大器的特性直接相關。

以三階模型為例,令r(t)=A,2πf0=ω,對功率放大器激勵后的y(t)進行三階泰勒展開為:

信號y(t)通過輻射源天線發射、經過空間線性信道傳輸,最后被接收機端接收。忽略直流分量,用幅度增益和相位偏移來近似這個過程:

式中:v(t)為接收系統混入的高斯白噪聲;G為從發射到接收的增益,它隨傳輸距離的增加而衰減;gi為接收系統對各個諧波的增益。

由式(5)可得各個諧波的幅度為:

根據放大器放大特性,并結合實際情況可知,各次諧波的能量遠小于基波能量,所以有:

其他多次諧波的幅度關系可依次類推。由式(9)可知,在雷達發射系統和偵察接收機系統參數不改變的情況下,即ai和gi不變的情況下,不同雷達輻射源發射的相同信號被接收系統偵收時,各次諧波的幅值有特定的比例關系。如果能夠精確分析出1部輻射源各個諧波的幅值,就能對雷達輻射源的特征進行提取,對不同的雷達輻射源進行識別。

2 窗函數的選擇

利用FFT進行頻譜分析是電子對抗系統采用的最廣泛、最成熟的方法。FFT過程中不可避免頻譜泄漏問題,泄漏是截取過程中的突變所致。頻譜泄漏能量雖然有限,但足以對諧波分量的有效提取造成很大影響,甚至淹沒諧波分量。因此需要在FFT運算前對接收的信號進行加窗,降低頻譜泄漏的影響。不同的窗函數具有不同的特點,常見的窗函數有矩形窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Nuttall窗[3]等。

四項五階Nuttall窗的窗函數為:

式中:a0=0.312 5;a1=0.468 75;a2=0.187 5;a3=0.0312 5;n=0,1,…,N-1,N為FFT運算點數。

它的特點是表達式由多個余弦分量組成,形式簡單,易于計算。將矩形窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、四項五階Nuttall窗的歸一化頻譜繪制到圖1中。

圖1 常見窗函數的頻譜

窗的選擇是一個權衡利弊的過程,窗函數的性能主要考慮因素為主瓣寬度、第一旁瓣電平、旁瓣隨頻率而減小的速度。由于窗函數泄露降低帶來的增益通常超過主瓣增益損失,且各次諧波在頻域上與基波相距較遠,所以主瓣寬度影響不是主要因素,主要考慮第一旁瓣的電平和旁瓣衰減率。依照上述標準,矩形窗作為其他窗性能的對比標準,主瓣最窄,但是第一旁瓣電平最高,旁瓣衰減慢。其他窗函數性能要求從低到高排序依次為Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、四項五階Nuttall窗。

由圖1可知,與其他幾種窗函數相比,四項五階Nuttall窗第一旁瓣衰減最大,超過了-60 dB,而且其他各級旁瓣衰減速率最高,因此非常適合諧波的提取。

3 諧波幅度的修正

傅里葉變換還原的諧波幅度與真實諧波幅度的偏差不僅有頻譜泄漏帶來的影響,還有離散傅里葉變換(DFT)過程中,DFT的徑與實際頻率點存在的頻率偏差導致的柵欄效應,柵欄效應導致諧波的幅度以徑為中心呈現扇形損失。使用插值擬合方法減少DFT的扇形損失,可以對輻射源的諧波幅度做進一步真實逼近,對輻射源諧波個體特征的提取有重要的意義。

輸入信號y(t)的采樣形式y(n)為:

式中:Ai為各次諧波的采樣幅值;fi和θn為對應的諧波頻率和相位;H為諧波的次數;n為信號的采樣點數。

對y(n)加窗函數w(n),得到Yw(n)為:

諧波頻率點fi不與kiΔf重合,存在最高為0.5kiΔf的頻率差值。設諧波頻率點fi對應的抽樣最大值的橫坐標為ki2,以ki2為中心,左右各一個頻率值為ki1,ki3,則有:

式中:ki∈[0,1,…,N-1],則ki1,ki2,ki3對應的諧波幅度值依次為;令偏差值α=ki-ki2,則α∈[-0.5,0.5];令則把式(14)代入β并化簡可得:

式(18)建立了從β到α的映射關系,利用映射關系的反函數,可由β多次擬合求得偏差值α,此時:

得到第i次諧波的頻率修正值fi,然后運用ki1,ki2,ki3三譜線差值,由于ki2最近似于真實值,所以分配比例系數為2,此時根據式(14),有:

化簡得:

在N較大的情況下,式(21)可化簡為:

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再由式(14)、(15),可得到對應的諧波分量Ai的相位分量θi為:

在α∈[-0.5,0.5]值域范圍內指定某一值,由

式(18)、式(21)多次擬合,確定擬合多項式的系數,推導出諧波幅度修正多項式為:

把式(24)在式(19)、式(22)、式(23)中迭代,就可以依次得到輻射源多次諧波的修正頻率、幅度及相位。

三譜線插值法可以很好地配合四項五階Nuttall窗進行諧波分析,應用于輻射源5次諧波模型,進行仿真實驗,可以驗證算法的有效性。

4 仿真及實驗分析

令輸入信號為:

符合式(3)的形式,令An=[200,9.7,20.5,10.2,4.8],θn=[0.05°,39°,60.5°,123°,-52.7°]。根據圖1的情況,對上述窗函數中3種性能較好的函數加窗并進行1 024點FFT后,結果及諧波放大結果如圖2所示。

圖2 窗函數的諧波分析

由表1可知,四項五階Nuttall窗能夠很好地對諧波幅度近似。

使用與窗函數分析同樣的五次諧波模型,各次諧波幅值為An=[200,9.7,20.5,10.2,4.8],初始相位為θn=[0.05°,39°,60.5°,123°,-52.7°],轉化為[-π,+π]范圍內的表達形式,為θn=[0.000 87,0.680 7,1.055 9,2.146 8,-0.919 8],對式(25)的信號進行分析,結果如圖3所示。

令幅度的誤差計算公式為:

由表2和表3可以看出,利用四項五階Nuttall窗函數配合三譜線插值法對y(t)的諧波幅度進行估計能夠將誤差控制在10e-7量級,具有很高的準確度。

表1 不同窗函數的諧波幅度

圖3 諧波幅度與相位估計

表2 各次諧波幅度估計值

表3 各次諧波幅度誤差

5 結束語

本文研究了雷達信號輻射源對雷達信號各次諧波之間的非線性放大關系,分析了諧波特征提取過程中窗函數的使用方案。提出了利用四項五階Nuttall窗結合三譜線差值,對信號的各次諧波幅度進行精確還原,然后利用各次諧波幅度之間的比值對不同輻射源進行識別的方法。仿真結果表明,四項五階Nuttall窗相比于其他常用窗函數,具有良好的諧波提取特性,結合三譜線插值法,能夠對雷達輻射源諧波信號幅度進行精確還原,對于雷達輻射源識別分析有一定的實用價值。