關于函數域中指數和的界

黎 嬌，曹亞萌，李國全

（天津師范大學 數學科學學院，天津 300387）

1 引言及主要結論

本文中使用的符號及定義可詳見文獻[1-4].設Fq為一個含有q個元的有限域，其特征為p.Fq[t]為Fq上的一元多項式環.設K=Fq（t）為Fq[t]的商域.對f/g∈K，定義其范數為|f/g|=qdegf-degg，此處約定deg 0=-∞，|0|=0.K在此范數下的完備化為K∞=Fq（（t-1）），即關于t-1的形式Laurent級數域.因此，對于ξ∈K∞，存在n∈Z與Fq中的序列，適合當時，記 ord ξ=n.特別地，當 ξ∈Fq[t]時，ord ξ=deg ξ.此外，約定 ord 0=-∞，則對一切 ξ∈K∞，有|ξ|=qordξ.稱為ξ的小數部分；稱a-1為ξ的留數，記為 res ξ.

對 N∈N，記GN={x∈Fq[t]：ord x＜N}，則其基數為|GN|=qN.

記T={α∈K∞：|α|＜1}，則T為 K∞的一個緊子群.用dξ表示K∞上正規的Haar測度，適合.

記 tr：Fq→Fp為跡映射，定義 eq：Fq→C×為：?a∈，則eq為Fq上一個非平凡的加法特征.利用eq可定義一個指數函數e：K∞→C×，?ξ∈K∞，e（ξ）=eq（res ξ）.對k、M∈N+，2≤k＜p，定義指數和.

近年來，關于指數和的研究受到相關學者的關注[5-8].其中，文獻[6]利用對|SM，2（α）|6的一個積分估計建立了關于2次冪的Sárk?zy型理論，但文獻[6]中并沒有給出對這個積分估計的證明.本文研究關于指數和SM，k的更一般的界，對|SM，k（α）|r的積分進行估計，并利用這個結果界定了齊次方程xk1+…+xkl=yk1+…+ykl（xi、yi∈Fq[t]，?1≤i≤l）的解數.

定理設r∈R，r＞2k，則存在只依賴于q、k、r的常數C＞0，使得.

設l∈N+，對于Fq[t]上2l元齊次方程

本文利用定理結果與關于指數函數e（·）的一個正交關系，得到了在 xi、yi∈GM（1≤i≤l）的限制下，這個方程解數上界的估計：

推論1設l∈N，l＞2k-1.存在只依賴于 q、k與l的常數C′＞0，使得

對于SM，k的加權形式·e（xkα），本文利用推論 1 估計了的上界：

推論2設l∈N，l＞2k-1.存在只依賴于q、k與 l的常數C″＞0，具有下列性質：設N∈N，α∈T，如果-N≤ord α ＜-kM+k，則.

文獻[6]的Lemma 9即為推論2在k=2與l=3時的特殊情形.

2 主要結論的證明

首先給出一些引理.

引理1[2]（1）對 x∈Fq[t]，有

（2）對 N∈N+與 ξ∈K∞，有

對于 x、y∈Fq[t]，當 x、y不同時為 0 時，以（x，y）表示x與y的首系數為1的最大公因式.特別的，（x，y）=1當且僅當x與y互素.

引理2[2（]Dirichlet原理） 設N∈N+，?α∈T，?（x，y）∈Fq[t]2，滿足下列條件：

（1）y首系數為 1，ord y≤N.

（2）ord x ＜ ord y，（x，y）=1.

應用引理2可得引理3.

引理3（1）設 x、x′、y、y′∈Fq[t]，如果 x/y、x′/y′∈A，則當且僅當 x/y=x′/y′.

引理4[5]存在僅依賴于q與k的常數C1＞0，具有下列性質：設 α∈T，如果|α|＜q-(k-1)(M-1)，則C1qM（1+qk(M-1)|α|）-1/k.

引理5[2]?ε＞0，存在僅依賴于q、k與ε的常數C2＞0，滿足：

引理6[2]（1）設 x/y∈A，如果 M（x，y）為一個優弧，則?α∈M（x，y），有

（2）存在只依賴于k的常數C3＞0，具有下列性質：設，如果（x，y）=1，則|S（x，y）|≤C3|y|1-1/k.

引理7存在只依賴于q與k的常數C4＞0，具有下列性質：設x/y∈A，如果M（x，y）為一個優弧，則

證明由引理6可得

由于|α-x/y|＜q-(k-1)M|y|-1≤q-(k-1)M，應用引理 4 可得

因此，取C4=C1C3即可.

引理8設r∈R，r＞2k，則存在僅依賴于q、k與r的常數 C5＞0，使得

證明設y首系數為1，有

此處，C5′＞0只與 q、k、r有關.

此處，C5″＞ 0只與 q、k、r有關.

引理9設r∈R，r＞2k，則存在只依賴于q、k與r的常數C6＞0，使得

證明首先，由積分性質有

對 ε=2-k應用引理 5（2），有，其中C2′＞0只與q、k有關.

由于 r＞2k，2-kr-1＞0.對 ε=2-kr-1 應用引理 5（1），有，其中常數 C2″＞ 0 只與 q、k、r有關.

定理的證明依次應用引理8與引理9，可得

因此，取C=C5+C6即可.

推論1的證明

由引理 1（1）可得

由于2l＞2k，對r=2l應用定理即可.

推論2的證明

由于

由推論1可得